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Ainsi, pour un placement de $3$ ans $8$ mois,

$\mathrm {n} =3+{\frac {8}{12}}=3+{\frac {2}{3}}={\frac {11}{3}}$ d’année

${\rm {A=a(1+r)^{\frac {11}{3}}}}$

et l’on écrit

$log\,\mathrm {A} =log\,a+{\frac {11}{3}}log\,(1+\mathrm {r} ).$d’où

Grâce aux logarithmes, les calculs sont aussi faciles avec $\mathrm {n}$ fractionnaire qu’avec $\mathrm {n}$ entier.

294. – Justification. – Soient le nombre $\mathrm {n}$ entier d’années et $\mathrm {\frac {p}{q}}$ la fraction d’année supplémentaire. Au bout de $\mathrm {n}$ années, le capital est devenu ${\rm {a(1+r)^{n}.}}$

Supposons l’année divisée en $\mathrm {q}$ périodes égales ; admettons que la capitalisation se fasse à la fin de chacune de ces périodes, et soit $\mathrm {r} '$ l’intérêt de $1^{\text{f}},$ en une période. Cette convention est équitable à condition qu’au bout de $1$ an l’intérêt total rapporté par $1^{\text{f}}$ soit encore $\mathrm {r} .$ Or, à la fin de la 1^re période, $1^{\text{f}}$ est devenu $1+\mathrm {r} '\,;$ au bout de l’année, qui comprend $\mathrm {q}$ périodes, $1^{\text{f}}$ devient $(1+\mathrm {r} ')^{\mathrm {q} }.$ On doit donc avoir

${\begin{aligned}(1+\mathrm {r} ')^{q}=&1+\mathrm {r} .\\1+\mathrm {r} '=&{\rm {{\sqrt[{q}]{1+r}}.}}\end{aligned}}$

Au bout de la $p$^e période, $1^{\text{f}}$ devient :

${\rm {(1+r')^{p}=\left({\sqrt[{q}]{1+r}}\right)^{p}={\sqrt[{q}]{(1+r)^{p}}}=(1+r)^{\frac {p}{q}}\quad }}$ (n^o 108).

Or, au début de ce mode de capitalisation, le capital était ${\rm {a(1+r)^{n}\,;}}$ il est donc finalement ${\rm {a(1+r)^{n}(1+r)^{\frac {p}{q}}=a(1+r)^{n+{\frac {p}{q}}}.}}$

Nous arrivons donc à une formule analogue à la formule (1), et qui rentre dans la forme générale ${\rm {a(1+r)^{n}\,;}}$ où $\mathrm {n}$ peut être entier ou fractionnaire.

295. – Exemples. – I. – Un livret de Caisse d’épargne indiquait un avoir de $854^{\text{f}},30$ en fin 1902. Quelle valeur aura-t-il en fin 1911, le taux servi par cette Caisse étant $3\%\ ?$ (On suppose bien entendu qu’il n’y a aucun autre dépôt ni retrait.)

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\rm {a(1+r)^{n}}}\\\mathrm {A} =&854{,}3\times 1{,}03^{9}\\log\,\mathrm {A} =&log\,854{,}3+9\,log\,1{,}03.\end{aligned}}$