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nombre de chiffres décimaux, on peut donc calculer $\mathrm {a^{x}}$ avec une approximation aussi grande qu’on le voudra ;

4^o négatif quelconque ; dans ce cas, on a vu (n^o 94), que :

$\mathrm {a} ^{-3}={\frac {1}{\mathrm {a} ^{3}}}\,;$

de même on aurait                       ${\rm {a^{-0{,}4}={\frac {1}{\sqrt[{5}]{a^{2}}}}\,;}}$

5^o nul ; dans ce cas, on a vu (n^o 83), que $\mathrm {a} ^{0}=1.$ Il est alors indifférent d’écrire $\mathrm {a} ^{0}$ ou ${\frac {1}{\mathrm {a} ^{0}}}.$

En résumé, quelle que soit la valeur de l’exposant, la puissance $\mathrm {a^{x}}$ peut être calculée, et a une valeur bien définie.

Remarque. — Ajoutons simplement que, si $\mathrm {a}$ était négatif, ces calculs ne seraient pas toujours possibles, ni définis ; c’est pourquoi, dans tout ce qui va suivre, on ne s’occupe que du cas où $\mathrm {a}$ représente un nombre positif.

PRINCIPE I

42. — Un nombre étant plus grand que $1\,:$ 1^o ses puissances successives à exposants entiers, positifs, croissants, sont plus grandes que $1\,;$ 2^o elles vont en croissant ; 3^o elles tendent vers l’infini.

Soit $(1+\mathrm {e} )$ un nombre plus grand que $1,$ $\mathrm {e}$ étant une quantité positive quelconque, même très petite.

On sait que, dans une multiplication, si le multiplicateur est supérieur à $1,$ le produit est supérieur au multiplicande. Donc :

1^o Puisque ${\rm {(1+e)^{n}=(1+e)(1+e)(1+e)\ldots ,}}$ il est évident que ce produit est toujours supérieur à $1+\mathrm {e} ,$ et par suite à $1,$ quel que soit $\mathrm {n} \,;$

2^o Etant donnée une puissance ${\rm {(1+e)^{n},}}$ on obtient la suivante ${\rm {(1+e)^{n+1}}}$ en multipliant la puissance donnée par $(1+\mathrm {e} ),$ nombre plus grand que $1\,;$ par suite ${\rm {(1+e)^{n+1}>(1+e)^{n}\,;}}$

3^o Je dis que les puissances successives de $(1+\mathrm {e} )$ tendent vers l’infini, c’est-à-dire que, si $\mathrm {A}$ est un nombre aussi grand