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qu’on voudra le supposer, on peut toujours trouver une puissance de $(1+\mathrm {e} )$ supérieure à ce nombre.

En effet, la différence entre deux puissances consécutives peut s’écrire :

${\rm {(1+e)^{n+1}-(1+e)^{n}=(1+e)^{n}(1+e-1)=(1+e)^{n}e}}$

c’est-à-dire le produit de la plus petite par $\mathrm {e} \,;$ mais ${\rm {(1+e)^{n}}}$ étant plus grand que $1,$ ce produit est plus grand que $\mathrm {e} \,;$ par suite, entre les puissances ${\rm {(1+e)^{n}}}$ et $(1+\mathrm {e} )^{0}$ ou $1,$ qui comprennent $\mathrm {n}$ intervalles, il y a une différence plus grande que $\mathrm {n}$ fois $\mathrm {e} ,$ soit :

${\rm {(1+e)^{n}-1>ne}}$

${\rm {(1+e)^{n}>1+ne.}}$ou

Il suffit donc de faire :

${\rm {1+ne>A\quad {\text{ou}}\quad n>{\frac {A-1}{e}},}}$

ce qui est toujours possible, pour avoir :

${\rm {(1+e)^{n}>1+ne>A.}}$

PRINCIPE II

43. — Un nombre étant plus petit que $1,$ mais positif : 1^o ses puissances successives à exposants entiers, positifs, croissants, sont plus petites que $1\,;$ 2^o elles vont en décroissant ; 3^o elles tendent vers zéro.

Le nombre $(1+\mathrm {e} )$ étant supérieur à $1,$ la fraction ${\frac {1}{1+\mathrm {e} }}$ représente un nombre positif inférieur à $1\,;$ une puissance quelconque de ce nombre est ${\rm {\left({\frac {1}{1+e}}\right)^{n}}}$ ou $\mathrm {\frac {1}{(1+e)^{n}}} .$

1^o D’après le principe I, le dénominateur est toujours plus grand que $1\,;$ donc la fraction est toujours plus petite que $1\,;$

2^o Les puissances successives du dénominateur allant en croissant, les valeurs correspondantes de la fraction, c’est-à-dire les puissances successives du nombre donné, vont en décroissant ;

3^o Enfin, je dis que ces puissances successives tendent vers $0,$ c’est-à-dire que si $\mathrm {I}$ est un nombre aussi petit qu’on voudra