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sement de $\mathrm {a^{x}}$ soit aussi petit qu’on voudra, et alors les valeurs de $\mathrm {a^{x}} ,$ pouvant être infiniment rapprochées les unes des autres, croissent d’une manière continue.

En résumé, la fonction exponentielle \rm y=a^x est une fonction continue pour toutes les valeurs de $\mathrm {x}$ variant de $\infty$ à $+\infty$

§ II. — Variation de la fonction exponentielle.

46. — 1^er Cas : $\mathrm {a} >1.$ — 1^o Faisons varier $\mathrm {x}$ de $-\infty$ à $0.$ — La fonction varie de $\mathrm {a} ^{-\infty }$ à $\mathrm {a} ^{0},$ ou de ${\frac {1}{\mathrm {a} ^{\infty }}}$ à ${\frac {1}{\mathrm {a} ^{0}}},$ qui a la même valeur que $\mathrm {a} ^{0},$ ou enfin de $\left({\frac {1}{\mathrm {a} }}\right)^{\infty }$ à $\left({\frac {1}{\mathrm {a} }}\right)^{0}.$ Puisque $\mathrm {a}$ est plus grand que $1,$ la fraction ${\frac {1}{\mathrm {a} }}$ représente un nombre plus petit que $1\,;$ la valeur $\left({\frac {1}{\mathrm {a} }}\right)^{\infty }$ représente donc $0,$ d’après le principe II, et comme $\left({\frac {1}{\mathrm {a} }}\right)^{0}$ représente $1,$ la fonction varie de $0$ à $1.$

2^o Faisons varier $\mathrm {x}$ de $0$ à $\infty .$ — La fonction varie de $a^{0}$ à $a^{\infty },$ soit de $0$ à $+\infty .$

Ainsi, $\mathrm {x}$ croissant de $-\infty$ à $+\infty ,$ $\mathrm {y}$ croît de $0$ à $+\infty .$

Le tableau ci-dessous résume ces observations ; on peut le confirmer en construisant le graphique (fig. 23), établi en faisant $\mathrm {a} =2,$ et en donnant à $\mathrm {x}$ quelques valeurs simples.

$\qquad a>1$ ${\begin{array}{|c|c|}\hline Variation&Variation\\de\ x&de\ y=a^{x}\\\hline -\infty &0\\0&1\\+\infty &+\infty \end{array}}$

Fig. 23.

2^e Cas $0<a<1.$ — 1^o Faisons varier $\mathrm {x}$ de $-\infty$ à $0.$ — La