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fonction varie de $\mathrm {a} ^{-\infty }$ à $\mathrm {a} ^{0},$ ou de ${\frac {1}{\mathrm {a} ^{\infty }}}$ à ${\frac {1}{\mathrm {a} ^{0}}},$ ou enfin de $\left({\frac {1}{\mathrm {a} }}\right)^{\infty }$ à $\left({\frac {1}{\mathrm {a} }}\right)^{0}.$ Puisque $\mathrm {a}$ est plus petit que $1,$ la fraction ${\frac {1}{\mathrm {a} }}$ représente un nombre plus grand que $1\,;$ la valeur $\left({\frac {1}{\mathrm {a} }}\right)^{\infty }$ représente donc $+\infty ,$ d’après le principe I, et comme $\left({\frac {1}{\mathrm {a} }}\right)^{0}$ représente $1,$ la fonction varie de $+\infty$ à $1.$

2^o Faisons varier $\mathrm {x}$ de $0$ à $+\infty .$ — La fonction varie de $\mathrm {a} ^{0}$ à $\mathrm {a} ^{\infty }\,;$ or, $\mathrm {a} ^{\infty }=0,$ puisque $\mathrm {a}$ est plus petit que $1,$ (principe II) ; donc, la fonction varie de $1$ à $0.$

Ainsi, $\mathrm {x}$ croissant de $-\infty$ à $+\infty ,$ $\mathrm {y}$ décroît de $+\infty$ à $0.$

D’où le tableau et le graphique ci-dessous (fig. 24) ;

$\qquad 0<a<1$ ${\begin{array}{|c|c|}\hline Variation&Variation\\de\ x&de\ y=a^{x}\\\hline -\infty &+\infty \\0&1\\+\infty &0\end{array}}$

Fig. 24.

47. — Remarque I. — La fonction $\mathrm {y=a^{x}}$ est toujours positive, quelle que soit la valeur de $\mathrm {x} ,$ le nombre $\mathrm {a}$ étant positif.

48. — Remarque II. — On voit que la courbe de ces graphiques croît très vite dans le 1^er cas pour $\mathrm {x} >0$ (fig. 23), et décroît de même dans le 2^e cas pour $\mathrm {x} <0$ (fig. 24); il est facile de constater, de plus, que cette variation est d’autant plus rapide que le nombre $\mathrm {a}$ est plus grand : c’est pourquoi nous avons donné seulement la valeur $2$ à $\mathrm {a} .$

Si nous donnons maintenant à $\mathrm {a}$ la valeur $10,$ la variation est si rapide, pour les valeurs positives de $\mathrm {x} ,$ que le graphique, s’allonge démesurément en hauteur pour une faible variation de $\mathrm {x} \,;$ par suite, ses indications sont peu précises. Ainsi