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56. — Expressions équivalentes. — Ce sont deux expressions qui ont toujours la même valeur numérique quelles que soient les valeurs particulières attribuées aux lettres, ces valeurs étant, bien entendu, les mêmes pour les mêmes lettres dans les deux expressions. L’indication de leur égalité s’appelle identité.

exemple : $\mathrm {(a+b)^{2}}$ est équivalente à $\mathrm {a^{2}+2ab+b^{2}}$
xxxxxcar, si l’on fait par exemple $\mathrm {(a=3,\;b=2}$,
xxxxxil vient $\mathrm {(a+b)^{2}=(3+2)^{2}=5^{2}=25}$
xxxxxet $\mathrm {a^{2}+2ab+b^{2}=3^{2}+2\times 3\times 2+2^{2}=9+12+4=25}$.

On écrit $\quad \mathrm {(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$
et cette égalité est une identité.

Le calcul algébrique consiste dans les transformations d’expressions en d’autres qui leur sont équivalentes mais dont la forme est plus avantageuse pour le but qu’on se propose.

§ V. — Termes semblables.

57. — On appelle termes semblables des termes, ou monômes, qui renferment les mêmes lettres, affectées chacune des mêmes exposants.

Ainsi : $\mathrm {3a^{5}b^{2}}$ ; $\mathrm {-12a^{5}b^{2}}$ ; $\mathrm {{\frac {5}{7}}a^{5}b^{2}}$ sont des termes semblables.

58. — Réduction des termes semblables. — I. — Soit :
$\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {8a^{3}-5c+4a^{3}b+2d^{3}}$.xxxxxxxxxx(1)

Rapprochons les termes semblables en $\mathrm {a^{3}b}$ :
$\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {8a^{3}b+4a^{3}b-5c+2d^{3}}$.xxxxxxxx(2)

Si nous donnions aux mêmes lettres les mêmes valeurs particulières dans les polynômes (1) et (2), chaque terme deviendrait un certain nombre algébrique ; chaque polynôme deviendrait par suite une somme de nombres algébriques. Ces deux sommes étant composées de termes identiques, mais non placés dans le même ordre, seraient égales (n° 27). Le polynôme (2) est donc équivalent à celui qui est proposé.

D’autre part, le produit $\mathrm {a^{3}b}$ deviendra un certain nombre