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algébrique dont les produits par $+8$ et par $+4$ auront le même signe ; la somme de ces produits sera donc équivalente à la somme de leurs valeurs absolues précédée du signe commun. Il est évident que le terme unique $\mathrm {+12a^{3}b}$ donnerait la même valeur absolue et le même signe. Donc les expressions $\mathrm {8a^{3}b+4a^{3}b}$ et $\mathrm {12a^{3}b}$ sont équivalentes.

De là l’identité : $\qquad \mathrm {8a^{3}b+4a^{3}b=12a^{3}b}$.

On dit que les deux termes semblables du premier membre sont réduits en un seul, et cette simplification s’appelle réduction de termes semblables.

Grâce à elle, le polynôme (1) prend la forme équivalente et plus simple :

$\mathrm {12a^{3}b-5c+2d^{3}}$

II. — Soit $\qquad \mathrm {5abc-7a^{2}d+2bc^{2}-2a^{2}d}$. (2)

On montrerait d’une manière analogue que les termes $\mathrm {-7a^{2}d}$ et $\mathrm {-2a^{2}d}$ peuvent être remplacés par $\mathrm {-9a^{2}d}$, et que le polynôme (2) peut s’écrire sous la forme équivalente et plus simple :

$\mathrm {5abc-9a^{2}d+2bc^{2}}$.

III. — Soit $\qquad \mathrm {7ab^{3}+3ab^{4}+8a^{3}-9ab^{4}}$.(3)

Le terme $\mathrm {-9ab^{4}}$ peut s’écrire :

$\mathrm {-3ab^{4}-6ab^{4}}$

et le polynôme (3) devient :

$\mathrm {7ab^{3}+3ab^{4}+8a^{3}-3ab^{4}-6ab^{4}}$

(4)

Les valeurs numériques des termes $\mathrm {+3ab^{4}}$ et $\mathrm {-3ab^{4}}$ seraient des nombres opposés, qui s’annulent, et la valeur numérique de l’expression (4) serait la même que celle de

$\mathrm {7ab^{3}+8a^{3}-6ab^{4}}$

expression équivalente au polynôme (3), mais plus simple.

IV. — Soit $\quad \mathrm {6a^{2}b+2ab^{2}-5a^{4}+8ab^{2}-5ab^{2}+3ab^{2}-4ab^{2}}$.

D’après le raisonnement de l’exemple I :

$\mathrm {2ab^{2}+8ab^{2}+3ab^{2}=13ab^{2}}$.