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Puis, je multiplie tous les termes du multiplicande par le second terme, $+\mathrm {b}$, du multiplicateur, ce qui donne :

$\mathrm {a^{2}b-2ab^{2}+b^{3}} .$

Enfin, je fais la somme des deux produits partiels trouvés :

$\mathrm {a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-2ab^{2}+b^{3}} .$

La multiplication est terminée ici, mais je puis simplifier ce résultat en réduisant les termes semblables, ce qui donne finalement :

$\mathrm {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}} .$

Règle. — Pour multiplier un polynôme par un polynôme on multiplie successivement tous les termes du polynôme multiplicande par chacun des termes du polynôme multiplicateur, en observant avec soin la règle des signes.

Exemples :

${\begin{aligned}\mathrm {1^{o}\qquad (a^{2}+ab+b^{2})\ (a-b)} &=\mathrm {(a^{2}+ab+b^{2})a-(a^{2}+ab+b^{2})b} \\&=\mathrm {a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-(a^{2}b+ab^{2}+b^{3})} \\&=\mathrm {a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-b^{3})} \\&=\mathrm {a^{3}-b^{3}} \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {2^{o}\qquad (a^{2}-ab+b^{2})\ (a+b)} &=\mathrm {(a^{2}-ab+b^{2})a+(a^{2}-ab+b^{2})b} \\&=\mathrm {a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+(a^{2}b-ab^{2}+b^{3})} \\&=\mathrm {a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}} \\&=\mathrm {a^{3}+b^{3}} \end{aligned}}$

75. — Disposition pratique. — On rend l’opération plus claire, et l’on facilite la réduction des termes semblables, en la disposant comme il est indiqué ci-dessous. On place les produits partiels de façon à mettre les termes semblables, à mesure qu’on les trouve, dans une même colonne.

	$\mathrm {a^{2}+ab+b^{2}}$	$\mathrm {a^{2}-ab+b^{2}}$
	$\mathrm {a-b}$	$\mathrm {a+b}$
	——————————	——————————
	$\mathrm {a^{3}+a^{2}b+ab^{2}}$	$\mathrm {a^{3}-a^{2}b+ab^{2}}$
	$\mathrm {\quad \;-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}}$	$\mathrm {\quad \;+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}}$
	——————————	——————————
	$\mathrm {a^{3}\quad \ {\text{»}}\qquad \ {\text{»}}\ \ -b^{3}}$	$\mathrm {a^{3}\quad \ {\text{»}}\qquad \ {\text{»}}\ \ +b^{3}}$