2° Par définition,
(3)
![{\displaystyle \mathrm {\left({\sqrt[{nk}]{a^{pk}}}\right)^{nk}=a^{pk}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecceb412ff55a3707be8fe5229008dee8a298e4d)
Les résultats (2) et (3) étant égaux, la relation (1) est donc exacte.
Inversement, si l’on donnait , en divisant par k l’indice et l’exposant, on trouverait le radical qui est égal au premier.
![{\displaystyle \mathrm {\sqrt[{nk}]{a^{pk}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931dff90ef0b3785aa6b3114d2f30da2908167bc)
![{\displaystyle \mathrm {\sqrt[{n}]{a^{p}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f968a84162ac4d204a92838ac7db3750c5bd49e)
108. — Applications. — I. Simplification d’un radical. On simplifie un radical en divisant l’indice et l’exposant par un même nombre.
Ainsi .
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt[{4}]{a^{6}}}={\sqrt {a^{2}}}\ ;\qquad {\sqrt[{6}]{a^{4}}}={\sqrt[{3}]{a^{2}}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed905c1a2ef322c13a75c86c3974b74961355b9)
Dans le cas particulier où l’exposant est un multiple de l’indice, on retrouve une règle appliquée en arithmétique, pour extraire la racine carrée ou la racine cubique d’un produit de facteurs : on divise par 2 ou par 3 les exposants de ces facteurs.
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt {a^{6}}}=a^{6:2}={\sqrt {a^{3}}}\ ;\qquad {\sqrt[{3}]{a^{12}}}=a^{12:3}=a^{4}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4ae3248d439460d44475b427949fc4b63150cc)
Enfin, on peut convenir de diviser toujours l’exposant par l’indice, ce qui conduit à la notion d’exposant fractionnaire :
; réciproquement, signifie
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt[{3}]{a^{4}}}=a^{\frac {4}{3}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12d6c232283c06e87baee6612ee1403530f0cad)
![{\displaystyle \mathrm {\sqrt[{7}]{a^{5}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02b453d5f51cdf51ec72b8e4762957e3342230c)
Nous n’utiliserons cette notation que dans certains problèmes d’intérêts composés (n° 293).
II. — Réduction de radicaux au même indice. — Pour réduire des radicaux au même indice : 1° on cherche le p. p. m. c. des indices ; 2° on le divise par chaque indice ; 3° on multiplie l’indice et l’exposant de chaque radical par le quotient correspondant.
Soient
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt {a^{3}}},\qquad {\sqrt[{3}]{ab^{2}}},\qquad {\sqrt[{4}]{a^{2}bc^{3}}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27d5004e527f264637fcd52dc82702364030507)
p. p. m. c. des indices ,
quotients respectifs : .
