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D’où :                         $\mathrm {{\sqrt {a^{3}}}={\sqrt[{2\times 6}]{a^{3\times 6}}}={\sqrt[{12}]{a^{18}}}}$

$\mathrm {{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}={\sqrt[{3\times 4}]{(ab^{2})^{4}}}={\sqrt[{12}]{a^{4}b^{8}}}}$

$\mathrm {{\sqrt[{4}]{a^{2}bc^{3}}}={\sqrt[{4\times 3}]{(a^{2}bc^{3})^{3}}}={\sqrt[{12}]{a^{6}b^{3}c^{9}}}}$

D’une manière analogue, on peut placer une quantité sous un radical d’indice donné, en élevant cette quantité à une puissance d’exposant égal à l’indice. Ainsi

$\mathrm {a={\sqrt {a^{2}}}\ ;\qquad a^{2}b={\sqrt[{3}]{(a^{2}b^{3})^{3}}}={\sqrt[{3}]{a^{6}b^{3}}}}$

OPÉRATIONS

109. — On n’effectue pas une addition ni une soustraction de radicaux, sauf dans le cas où ces radicaux ne diffèrent que par un coefficient ; ainsi :

$3{\sqrt {2}}+8{\sqrt {2}}-5{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}(3+8-5)=6{\sqrt {2}}$.

Mais il faut bien se garder d’écrire, par exemple, cette absurdité :

${\sqrt {16}}+{\sqrt {9}}={\sqrt {16+9}}$

Il est facile de constater que : ${\sqrt {16}}=4\ ;\quad {\sqrt {9}}=3\ ;\quad$leur somme est donc 7, tandis que : ${\sqrt {16+9}}={\sqrt {25}}=5$.

110. — Multiplication. — Le produit de deux radicaux de même indice est un radical de même indice renfermant le produit des quantités placées sous les radicaux primitifs.

Je dis que :                         $\mathrm {{\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$(1)

En effet, élevons chaque membre au carré :

1° $\qquad \mathrm {\left({\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}\right)^{2}=\left({\sqrt {a}}\right)^{2}\left({\sqrt {b}}\right)^{2}\times =a\times b=ab}$.

2°                                      $\mathrm {\left({\sqrt {ab}}\right)^{2}=ab}$

Donc la relation (1) est exacte.

Si les radicaux n’ont pas le même indice, on les y réduit d’abord.

Ainsi : $\qquad {\sqrt {2}}\times {\sqrt[{3}]{3}}={\sqrt[{6}]{2^{3}}}\times {\sqrt[{6}]{3^{2}}}={\sqrt[{6}]{2^{3}\times 3^{2}}}={\sqrt[{6}]{72}}$.