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111. — Applications. — I. — Faire passer un facteur sous un radical.

Je peux écrire :$\qquad \mathrm {a{\sqrt[{}]{b}}\ ={\sqrt {a^{2}}}{\sqrt {b}}\ ={\sqrt {a^{2}b}}}$
de même :              $\qquad \mathrm {a^{2}{\sqrt[{3}]{b}}={\sqrt[{3}]{a^{6}}}{\sqrt[{3}]{b}}={\sqrt[{3}]{a^{6}b}}}$
                              $\qquad 4{\sqrt {3}}\ \;={\sqrt {16}}{\sqrt {3}}\ ={\sqrt {48}}$
                              $\qquad 2{\sqrt[{3}]{5}}\ \;={\sqrt[{3}]{8}}\;{\sqrt[{3}]{5}}\ \ ={\sqrt[{3}]{40}}$

II. — Faire sortir un facteur d’un radical.

Je peux écrire, à l’inverse des exemples précédents :
                                   $\mathrm {{\sqrt[{3}]{a^{6}b}}={\sqrt[{3}]{a^{6}}}\;{\sqrt[{3}]{b}}=a^{2}{\sqrt[{3}]{b}}}$
de même               ${\sqrt {20}}={\sqrt {4\times 5}}={\sqrt {4}}\;{\sqrt {5}}=2{\sqrt {5}}$

${\sqrt {4800}}={\sqrt {100\times 16\times 3}}={\sqrt {100}}\;{\sqrt {16}}\;{\sqrt {3}}=10\times 4\times {\sqrt {3}}=40{\sqrt {3}}$

Il faut s’habituer à faire mentalement ces transformations, et à écrire de suite, par exemple :

${\sqrt {50}}=5{\sqrt {2}}\ ;\quad {\sqrt {75}}=5{\sqrt {3}}\ ;\quad {\sqrt {7200}}=60{\sqrt {2}}$.

Remarque. — Si l’on a, par exemple, ${\sqrt {68^{2}-32^{2}}}$, on ne peut pas faire sortir les carrés du radical, car ce sont des termes d’une différence ; mais il est très avantageux de remplacer cette différence par un produit de facteurs ; parfois même, l’opération est ainsi très simplifiée :

${\sqrt {68^{2}-32^{2}}}={\sqrt {(68+32)(68-32)}}={\sqrt {100\times 36}}=60.$

${\sqrt {328^{2}-216^{2}}}={\sqrt {(328+216)(328-216)}}={\sqrt {554\times 112}}$

$={\sqrt {16\times 34\times 16\times 7}}=16{\sqrt {34\times 7}}=16{\sqrt {238}}.$

112. — Division. — Le quotient de deux radicaux de même indice est un radical de même indice renfermant le quotient des quantités placées sous les radicaux primitifs.

Je dis que :                         $\mathrm {{\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}}$(1)

En effet, le premier membre est une fraction dont la puissance $\mathrm {n}$ est :

$\mathrm {\left({\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\right)^{n}={\frac {\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}}{\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n}}}={\frac {a}{b}}} .$