Page:Trénard - Algèbre, cours complet 1926.djvu/85

Par définition, la puissance $\mathrm {n}$ du second membre est aussi $\mathrm {\frac {a}{b}}$ ; donc la relation (1) est exacte.

Application. — $\quad {\frac {\sqrt {75}}{\sqrt {3}}}={\sqrt {\frac {75}{3}}}={\sqrt {25}}=5$.

113. — Puissance. — Pour élever un radical à une puissance, on peut élever à cette puissance la quantité placée sous le radical.

Je dis que                         $\mathrm {\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{k}={\sqrt[{n}]{a^{k}}}}$(1)

En effet, élevons les deux membres à la puissance $\mathrm {n}$.

1^o                           $\mathrm {\left[\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{k}\right]^{n}=\left[\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}\right]^{k}=(a)^{k}=a^{k}}$

2^o                                          $\mathrm {\left({\sqrt[{n}]{a^{k}}}\right)^{n}=a^{k}}$.

Par suite, la relation (1) est exacte.

Application. — $\left({\sqrt[{3}]{12}}\right)^{2}={\sqrt[{3}]{12^{2}}}={\sqrt[{3}]{2^{4}\times 3^{2}}}=2{\sqrt[{3}]{18}}$
                                  $\left({\sqrt[{6}]{48}}\right)^{3}={\sqrt[{6}]{48^{3}}}={\sqrt {48}}=4{\sqrt {3}}.$

114. — Racine. — Pour extraire une racine d’un radical, on peut multiplier l’indice du radical primitif par celui de la nouvelle racine.

Je dis que                         $\mathrm {{\sqrt[{p}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{np}]{a}}}$(1)

En effet, élevons chaque membre à la puissance $\mathrm {np}$ :

1^o                           $\mathrm {\left({\sqrt[{p}]{\sqrt[{n}]{a}}}\right)^{np}=\left[\left({\sqrt[{p}]{\sqrt[{n}]{a}}}\right)^{p}\right]^{n}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}} =a$

2^o                                                    $\mathrm {\left({\sqrt[{np}]{a}}\right)^{np}=a}$

Par suite, la relation (1) est exacte.

Application. — Pratiquement, on se sert plutôt de la transformation inverse. Ainsi :
                                         ${\sqrt[{6}]{64}}={\sqrt {\sqrt[{3}]{64}}}={\sqrt[{3}]{\sqrt {64}}}=2$.
                                         ${\sqrt[{4}]{625}}={\sqrt {\sqrt {625}}}={\sqrt {25}}=5$.