SECTION CINQUIÈME.
Des Formes, et des Équations indéterminées du second degré.
153. Nous parlerons surtout dans cette section des fonctions de deux indéterminées de la forme
, où
,
,
sont des nombres entiers donné, fonctions que nous appellerons formes du second degré, ou simplement formes. Ces recherches nous conduiront à trouver toutes les solutions d’une équation indéterminée quelconque du second degré à deux inconnues, soit qu’on puisse en obtenir la solution en nombres entiers, ou seulement en nombres rationnels. Quoique ce problème ait déjà été résolu dans
toute sa généralité par Lagrange, et qu’il ait trouvé plusieurs propriétés des formes, auxquelles il faut encore joindre celles découvertes par Euler, ou démontrées par lui et annoncées par Fermat :
cependant un examen plus approfondi des formes nous a fait voir
tant de choses nouvelles, que nous avons cru utile de reprendre
ce sujet en entier, avec d’autant plus de raison que nous avons
remarqué que les découvertes de ces hommes illustres, répandues
dans divers ouvrages, étaient connues de peu de personnes.
D’ailleurs la méthode que nous avons employée nous appartient
presque en entier, et les choses que nous pouvions ajouter n’auraient pas été entendues sans une nouvelle exposition. Au reste
nous placerons en temps et lieu ce qui a rapport à l’histoire des
vérités remarquables.
Nous représenterons la forme
par le symbole
, quand il ne s’agira pas des indéterminées
et
. Ainsi
cette expression désignera d’une manière indéfinie la somme de
trois parties, dont la première est le produit d’un nombre donné
par le quarré d’une indéterminée quelconque, la seconde le double
du produit de
et de cette indéterminée multipliée par une autre,
et la troisième le produit de
par le quarré de cette seconde
indéterminée. Par exemple,
exprimera la somme d’un
quarré et du double d’un quarré. Au reste, quoique les formes
et
soient les mêmes, quant à leurs parties,
elles diffèrent cependant si l’on fait attention à l’ordre de ces parties ; aussi nous les distinguerons avec soin, et la suite fera voir
l’avantage qui en résultera.
154. Nous dirons qu’un nombre donné est représenté par une
forme donnée, si l’on peut trouver pour les indéterminées de cette
forme des valeurs qui la rendent égale au nombre donné.
Théorème. Si un nombre
peut être représenté par la forme
de manière que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles ;
sera résidu quadratique de
Soit
et
les valeurs des indéterminées, et qu’on ait
, et prenons les nombres
et
tels qu’on
ait
(no 40). On prouvera facilement par la multiplication, que
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
ou
![{\displaystyle M(a\nu ^{2}-2b\mu \nu +c\mu ^{2})=\{\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\}^{2}-(b^{2}-ac)\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5664c772285cae066a9421202ef7c91ba466641a)
donc
![{\displaystyle b^{2}-ac\equiv \{\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\}^{2}{\pmod {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfa85e4b04601c0cf576b19106a18315596d9ee)
c’est-à-dire que
est résidu quadratique de
.
Nous appellerons par la suite déterminant de la forme
le nombre
, dont nous verrons que dépendent en grande
partie les propriétés de cette forme.
155. Il suit de ce qu’on vient de voir que
est la valeur de l’expression
. Or
et
peuvent être déterminés d’une infinité de manières pour satisfaire à l’équation
il en résultera donc différentes valeurs pour cette expression ; examinons quelles relations elles ont
entre elles.
Soient
![{\displaystyle m\mu +n\nu =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f89b7da8af4fb352edef7cf951d22110e448bee)
,
![{\displaystyle m\mu '+n\nu '=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a144082bdf42abf7888799f0c0037c54034ca33e)
;
![{\displaystyle \mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)=V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de5ebd34e07553a431d1e5af3ea8569c241692d)
,
![{\displaystyle \mu '(mb+nc)-\nu '(ma+nb)=V'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ef4471ca8959732dcc3fe68e964f183aa258bc)
.
Si l’on multiplie la première équation par
, la seconde par
, et qu’on
retranche l’un des résultats de l’autre, il vient
;
en multipliant par
et
, on tirera de même
. Mais les deux dernières donnent alors
![{\displaystyle V'-V=(\mu '-\mu )(mb+nc)-(\nu '-\nu )(ma+nb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293e3cd75d538ebce6d9bc70a89ca3e0a7eacf45)
et substituant pour
,
leurs valeurs
![{\displaystyle V'-V=(\mu \nu '-\mu '\nu )(am^{2}+2bmn+cn^{2})=(\mu \nu '-\mu '\nu )M\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c96602bfcccef03fcc4300c8c4ec48cec172bfe)
![{\displaystyle {\text{ou}}\quad V'\equiv V{\bmod {M}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f1a4820f2ce9cdb4ce0dc12ea4eadeb158354f)
Ainsi, de quelque manière que
et
soient déterminés, la formule
ne peut donner des valeurs différentes, c’est-à-dire incongrues, de l’expression
. Si donc
est une valeur quelconque de cette formule, nous dirons que la représentation du nombre
par la forme
, dans laquelle
et
, appartient à la valeur
de l’expression
. Au
reste on peut faire voir facilement que si
est une valeur de
cette formule, et que
, on pourra prendre à la place de
et
d’autres nombres
, et
qui donnent
. Il
suffit de faire
,
et l’on aura
; mais la valeur de la formule résultante de
et
surpassera celle qui résulte de
et
de la quantité
qui devient
; donc cette valeur sera
.
156. Si l’on a deux représentations du même nombre par la
même forme
, et que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles, elles peuvent appartenir à la même valeur de l’expression
, ou à des valeurs différentes.
Soit
![{\displaystyle M=am^{2}+2bmn+cn^{2}=am'^{2}+2bm'n'+cn'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c4044584bc60c066dee7c3b9368de1d35f745e)
, et
![{\displaystyle \mu m+\nu n=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3269e94b835b6b7e96629a9bd865e67e4cf96b42)
,
![{\displaystyle \mu 'n'+\nu 'm'=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28055882c36695206a3ed83130059cba842cfa2)
il est clair que si l’on a
![{\displaystyle \mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\equiv \mu '(m'b+n'c)-\nu '(m'a+n'b){\bmod {M}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6818fd0c434923a899eff8999fd711a502381f6a)
la congruence aura toujours lieu quelques valeurs convenables que l’on prenne pour
et
,
et
, auquel cas nous dirons que la
représentation du nombre
appartient à la même valeur de l’expression
.
Mais si pour quelques valeurs de
, et
,
et
, cette congruence n’a pas lieu, elle n’aura lieu pour aucune, et les représentations appartiendront à des valeurs différentes. Et, si l’on
avait
![{\displaystyle \mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\equiv -\{\mu '(m'b+n'c)-\nu '(m'a+n'b)\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54bc1053cc5c1b7ef428adfd78672be0148d351)
nous dirions que les représentations appartiennent à des valeurs
opposées. Nous nous servirons de toutes ces dénominations
lorsqu’il s’agit de plusieurs représentations du même nombre par
des formes différentes, mais qui ont le même déterminant.
Exemple. Soit
la forme proposée dont le déterminant
. Elle donne pour le nombre
les représentations suivantes :
;
. Pour la
première on peut prendre
,
, d’où résulte la valeur
de
, à laquelle la représentation appartient
. De la même manière,
en faisant
,
, on trouve que la seconde représentation appartient à la valeur
. Donc les deux représentations
appartiennent à des valeurs opposées.
Avant d’aller plus loin, nous observerons que les formes dont
le déterminant est zéro doivent être exclues des considérations suivantes, parcequ’elles nuiraient à l’élégance des théorèmes, et
qu’elles exigent qu’on les traite en particulier.
157. Si la forme
, dont les indéterminées sont
,
, peut
être changée en une autre
, dont les indéterminées soient
,
, en y substituant
,
,
,
,
,
étant des nombres entiers, nous dirons que la première renferme
la seconde, ou que la seconde est contenue dans la première.
Soient
,
.
On aura les trois équations suivantes :
![{\displaystyle a'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79adc9168d7de020b08583ba23b8f0aed90fe8bb) |
,
|
![{\displaystyle b'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd0fc41ae8f469ccf25fe2f392514220c69fdc7b) |
|
![{\displaystyle c'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862f0f9be67cc8672206513fd57102f065541215) |
|
Multipliant la seconde par elle-même, la première par la troisième, et retranchant, il vient
![{\displaystyle b'^{2}-a'c'=(b^{2}-ac)(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728693de009d483c9af96efb333fd46f7730d1df)
d’où il suit que le déterminant de la forme
est divisible par
celui de la forme
et que le quotient est un quarré ; ainsi ces
déterminans seront de même signe. Si, de plus, la forme
pouvait être changée en la forme
par une transformation semblable,
c’est-à-dire, si
était contenue sous
et
sous
, les déterminans seraient égaux et
. Dans ce cas, nous
les appellerons formes équivalentes. L’égalité des déterminans est
une condition nécessaire pour l’équivalence des formes, mais il
s’en faut bien qu’elle soit suffisante.
L’analyse précédente fait voir clairement que la même chose
aura lieu pour les formes dont le déterminant est
; mais l’équation
ne peut pas s’étendre à ce cas-là.
Nous nommerons la substitution transformation propre, quand
, et transformation impropre, quand
, et
la forme
sera dite contenue proprement ou improprement dans
la forme
selon que
pourra être transformée en
par une transformation propre ou impropre. Si donc
et
sont équivalentes, la
transformation sera propre ou impropre, suivant que
.
Si plusieurs transformations sont toutes propres ou toutes impropres,
elles seront semblables ; mais une transformation propre et une transformation
impropre seront dissemblables.
158. Si les déterminans de deux formes
et
sont égaux, et que
soit contenue sous
sera aussi contenue sous
et le sera proprement ou improprement, suivant que
sera contenue sous
proprement ou improprement.
Supposons que
devienne
en posant
,
deviendra
en posant
,
. Car on déduira par là de
le même résultat
qu’en substituant dans
, à la place de
et de
,
et
, qui reviennent
à
et
. Or ce résultat serait évidemment
, puisque par hypothèse
. Or il
est aisé de voir que la seconde transformation est propre ou impropre en même temps que la première.
Si
est contenu proprement dans
, et
proprement dans
,
nous dirons que ces formes sont proprement équivalentes ; et si elles
se contiennent improprement, nous dirons qu’elles sont improprement équivalentes. On verra bientôt l’utilité de ces distinctions.
Exemple. Par la substitution
,
, la
forme
devient
; et celle-ci se
change en la première, par la substitution
,
.
Donc les formes
et
sont proprement équivalentes.
Nous allons maintenant nous occuper des problèmes suivans :
1o. Étant données deux formes quelconques qui ont le même
déterminant, chercher si elles sont équivalentes ou non, si elles
le sont proprement ou improprement, ou des deux manières à-la-fois, ce qui est possible. Quand elles ont des déterminans inégaux,
chercher si l’une ne renferme pas l’autre, proprement, improprement, ou des deux manières. Enfin trouver toutes les transformations tant propres qu’impropres de l’une dans l’autre.
2o. Étant donnée une forme quelconque, trouver si un nombre
donné peut être représenté par elle, et assigner toutes les représentations.
Mais comme les formes dont le déterminant est négatif exigent
une autre méthode que celles dont le déterminant est positif, nous
présenterons d’abord ce qu’il y a de commun aux deux cas, que
nous considérerons ensuite séparément.
159. Si la forme
renferme la forme
, et que la forme
renferme la forme
,
renfermera
Soient
,
;
,
;
,
, les indéterminées des formes
,
,
respectivement, que
devienne
en posant
![{\displaystyle x=\alpha x'+\beta y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e20124aaba4f70e81086f21ea687f1007b2a8be)
,
![{\displaystyle y=\gamma x'+\delta y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95dd28a1535a5472ab0ea7dbbaf9ae003f5c98f6)
et que
devienne
en posant
![{\displaystyle x'=\alpha 'x''+\beta 'y''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590f39dddb3a4a35adecee1b27bf03aacf71c2ac)
,
![{\displaystyle y'=\gamma 'x''+\delta 'y''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4643517ad28ee21444402e90bd950205a9fd490a)
Il est clair que
se changera en
, en faisant
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
|
|
|
et
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) |
|
|
:
|
Comme
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
qui sera positif si les deux facteurs sont de même signe, et négatif dans le cas contraire, la forme
renfermera donc
proprement, si F renferme
, et
,
de la
même manière, soit proprement ou non, et la forme
renfermera
improprement, dans le cas contraire.
Il suit de là que si l’on a tant de formes
,
,
,
, etc.
qu’on voudra, telles que chacune renferme la suivante, la première renfermera la dernière, et la renfermera proprement ou
improprement, suivant que le nombre des formes qui renferment
la suivante improprement sera pair ou impair.
Si la forme
est équivalente à la forme
et la forme
à la forme
la forme
sera équivalente à la forme
et le sera proprement ou improprement, suivant que
et
,
et
seront équivalentes de la même manière ou d’une manière différente.
En effet, puisque
,
sont équivalentes aux formes
respectivement, les premières renferment les dernières, et partant
renferme
, mais les dernières renferment aussi les premières,
donc
et
sont équivalentes. Or, de ce que nous avons vu
tout-à-l’heure, il suit que
renferme
proprement ou improprement, suivant que
et
,
et
sont équivalentes de
même ou de différente manière, et il en est de même de
et
; donc, dans le premier cas,
et
sont proprement équivalentes, et dans le second, improprement.
Les formes
sont équivalentes à la forme
savoir, les deux premières improprement et la dernière proprement.
En effet
se change en
,
en faisant
et
ce qui donne
et partant, la transformation est impropre ; elle se change en
par la transformation impropre
,
, et en
par la transformation
propre
,
.
Il suit de là qu’une forme quelconque équivalente à
est proprement équivalente à cette forme ou à la forme
.
De même, si une certaine forme renferme la forme
, où
est contenue, elle renferme proprement l’une des deux formes
ou bien elle est renfermée proprement
dans l’une des deux. Les formes
s’appelleront formes opposées.
160. Si les formes
ont le même déterminant, et qu’on ait
et
, nous dirons
qu’elles sont contiguës, et quand une désignation plus exacte sera
nécessaire, nous dirons que la première est contiguë à la seconde
par la première partie, et que la seconde est contiguë à la première
par la dernière partie.
Ainsi la forme
est contiguë à la forme
par
la dernière partie, la forme
est contiguë par les deux
parties à son opposée
.
Les formes contiguës sont toujours proprement équivalentes.
Car la forme
se change en la forme contiguë
en faisant
et
(où, par hypothèse,
est un entier), comme on s’en assurera
par le développement. Or
; donc la transformation est propre. Au reste, ces définitions et ces conclusions n’auraient plus lieu si
; mais ce cas n’arrive que lorsque
le déterminant des formes est un quarré.
Il suit de là que les formes
,
sont proprement équivalentes, si
et
, car la première est proprement équivalente à
(no précéd.) ; or
celle-ci est contiguë par la première partie à la forme
.
161. Si la forme
renferme la forme
tout diviseur commun des nombres
le sera aussi des nombres
et tout diviseur commun de
le sera aussi de
L’inspection des trois équations du no 157 suffit pour le démontrer, en ayant soin de multiplier la seconde par
pour la
seconde partie de la proposition.
Il suit de là que le plus grand commun diviseur des nombres
,
,
,
doit diviser celui des nombres
,
,
,
.
Si donc les formes sont équivalentes, ces deux plus grands communs diviseurs sont égaux, puisqu’ils doivent se diviser mutuellement, et si dans ce cas l’un des deux groupes n’a pas de commun
diviseur, l’autre n’en aura pas non plus.
162. Problème. Si la forme
renferme la forme
et qu’on connaisse une quelconque des transformations, déduire de celle-là toutes les transformations qui lui sont semblables.
Soit la transformation donnée,
,
;
Supposons d’abord qu’on en connaisse encore une autre semblable,
,
, et examinons ce qui doit en résulter. Nommons
,
les determinans des formes
,
, faisons
,
, on aura (no 157)
, et
partant
, puisque
et
sont de même signe par hypothèse.
Or on aura les six équations suivantes :
|
………………
|
(1)
|
|
………………
|
(2)
|
|
………………
|
(3)
|
|
………………
|
(4)
|
|
………………
|
(5)
|
|
………………
|
(6)
|
Si l’on multiplie la première par la seconde, on en déduira
![{\displaystyle \left(A\alpha \alpha '+B(\alpha \gamma '+\alpha '\gamma )+C\gamma \gamma '\right)^{2}=D(\alpha '\gamma -\alpha \gamma ')^{2}=a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770e57ff07655647f40a844492c2f08f57dd96a9)
ou si l’on fait
![{\displaystyle a'^{2}-D(\alpha '\gamma -\alpha \gamma ')^{2}=a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78020861acb9cf36b64630624d069eedbe886ed4)
…… (7)
Si l’on multiplie la première par la quatrième, et la seconde
par la troisième, et qu’on ajoute, on trouvera
![{\displaystyle a'\{A(\alpha \beta '+\alpha '\beta )+B(\alpha \delta '+\alpha '\delta +\beta \gamma '+\beta '\gamma )+C(\gamma \delta '+\delta '+\delta '\gamma )\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8f40822c814984f8761078fee95b232a95e6b3)
{
![{\displaystyle -D(\alpha \gamma '+\alpha '\gamma )(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )=2ab,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67c8a94f3461bf5441d9f338222fe2424288da0)
ou en représentant
par
,
![{\displaystyle 2a'b'-D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )=2ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2615b76af56a9d49fd218dcdbf7264006af2adb9)
…… (8)
Si l’on multiplie la première par la sixième, la seconde par
la cinquième, la troisième par la quatrième, et qu’on ajoute
les deux premiers produits et le double du troisième, on trouve
![{\displaystyle 4b'^{2}-D\{(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )^{2}+cc'\}=2b^{2}+2ac,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e7835c4ddfba0e70e9881c40bc6083ba92ffca)
ou bien comme
,
![{\displaystyle 4b'^{2}-D(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )^{2}=4b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6a35f057b2766cbcf8628e041ceb1f48f304d8)
……(9)
Si l’on multiplie la troisième par la quatrième, il vient
![{\displaystyle a'(A\beta \beta '+B(\beta \delta '+\beta '\delta )+C\delta \delta ')-D(\alpha \delta '-\gamma \beta ')(\beta \gamma '-\alpha '\delta )=b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca88c90d6522d0f3735cfc40ee998e0ddea9c1e4)
et comme
![{\displaystyle D(\alpha \delta '-\gamma \beta ')(\beta \gamma '-\alpha '\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e701468a552e6db64bdaf2b60a9781c789d42983) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e00662d757b9140104469760eec19f833699670) |
|
|
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
si l’on fait d’ailleurs
, on aura
![{\displaystyle a'c'-D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )=ac}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d848129997b4c57eb497386ca5f555e510e605c)
…… (10) ;
en ajoutant le produit de la troisième par la sixième à celui de la quatrième et de la cinquième, on aura
![{\displaystyle 2b'c'-D(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )=2bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2656ed7f9af033751dbfc8c0094090f883d7978)
…… (11) ;
en multipliant la cinquième par la sixième, on trouvera
![{\displaystyle c'^{2}-D(\beta \delta '-\beta '\delta )^{2}=c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11656b0d198dfb058c2ed11fd39238924aac08ef)
…… (12).
Supposons maintenant que
soit le plus grand commun diviseur des nombres
,
,
, et que les nombres
,
,
soient
déterminés, de manière qu’on ait
(no 40).
Multiplions les équations (7), (8), (9), (10), (11), (12), respectivement par
,
,
,
,
,
, et ajoutons les produits, en faisant pour abréger,
![{\displaystyle A'a'+2B'b'+C'c'=T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebefcedb9f884398f2a0f2788dbe3ed68144886d)
…… (13)
et
![{\displaystyle A'(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a807f739744a944a66c8ceef3ab81d733701500) |
|
![{\displaystyle +B'(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6457e31fb4263054450880bed894288b6e7d8acf) |
|
![{\displaystyle +C'(\beta \delta '-\beta '\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18a49ed804e8e59ba304670324019a469b2e300) |
,…… (14), |
|
on trouve
,
et
étant manifestement entiers.
Nous sommes donc conduits à cette conclusion élégante, que la solution de l’équation indéterminée
en nombres entiers dépend de deux transformations quelconques semblables de la forme
en la forme
en prenant
,
. Au
reste, comme dans nos raisonnemens nous n’avons pas supposé
que les transformations fussent différentes, une seule transformation prise deux fois doit donner une solution ; mais alors
,
, etc.,
,
, etc., et partant
et
,
solution qui se présentait d’elle-même.
Considérons maintenant comme connue la première transformation, et la solution de liquation indéterminée, et cherchons
comment on peut en déduire l’autre transformation, ou comment
,
,
,
dépendent de
,
,
,
,
et
.
Pour y parvenir, multiplions d’abord l’équation (1) par
,
l’équation (2) par
, l’équation (3) par
, et l’équation (4) par
, et ajoutons les produits, il en résultera
![{\displaystyle (e+e')a'=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c2f0984d22e13314f8171cfd91298629bafa41)
…… (15).
De même si nous multiplions (1)
(2) par
, (3)
(4)
par
et (5)
(6) par
, nous
aurons en ajoutant,
![{\displaystyle 2(e+e')b'=2(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b56d8546b21ead43e7c0f69244b0e3d6b2b460)
…… (16).
Enfin si nous multiplions (3)
(4) par
, (5) par
,
et (6) par
, on aura en ajoutant les produits,
![{\displaystyle (e+e')c'=2(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8003b4911cf91a4e3dbf1a6a8c1605a5ac55e4b2)
…… (17).
Substituant ces valeurs de
,
,
dans l’équation (13), il
vient
![{\displaystyle (e+e')T=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )(A'a+2B'b+C'c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a73511980f03a2631187112ff2c825706261c0e)
ou
![{\displaystyle 2eT=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3633151c98495c994e9df16a5c37e18424adc3cd)
…… (18) ;
d’où l’on peut tirer la valeur de
plus facilement que de l’équation (13).
Combinant cette équation avec les équations (15), (16), (17),
on en tire
![{\displaystyle ma'=Ta,\quad 2mb'=2Tb,\quad mc'=Tc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d328abcd4ac5efc9aa45933e8863fce68ac6758b)
Ces valeurs substituées dans les équations (7), etc. (12), en y mettant d’ailleurs
pour
, elles deviennent
![{\displaystyle (\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )^{2}m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8e192ffdfc9275befe30238d2a302ef914c767) |
|
![{\displaystyle (\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931a9346a86559c6fda1eac5d25e5f8f6a8a230c) |
|
![{\displaystyle (\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )^{2}m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68258c5b32b2090f8c18f519f1e3c645dc7c986) |
|
![{\displaystyle (\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )2m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0c4242f2210bc3084b5950f7f84ee3035a2d8a) |
|
![{\displaystyle (\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16855c8e313fdca11eb9a6bea82573dfd645be74) |
|
![{\displaystyle (\beta \delta '-\beta '\delta )^{2}m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656033c29084d2a1ffbe9d76bb8225c473d22c25) |
|
De là, à l’aide de l’équation (14) et de celle-ci
, on déduit facilement, en multipliant la 1ère, la 2e et la 4e ; la 2e, la 3e
et la 5e ; la 4e, 5e et la 6e par
,
,
respectivement, et
en ajoutant les produits
![{\displaystyle (\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )Um^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523fd494aee9aaaa15fe07e400f7ea0b40b483e1) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle (\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )Um^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90e210d71c7b06ed35bcedbd416e4954eccc008) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle (\beta \delta '-\beta '\delta )Um^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65e1f8bffb14dc81b61b5c576b4dd4c3324109d) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
équations qui, divisées par
[1], deviennent
![{\displaystyle aU}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4644f06ebe9c0595baedcb3a3ce15708865907) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle m(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4774c10c0ce0cd563eab1a43845c2ace1a94a658) |
…… (19) |
|
![{\displaystyle 2bU}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b004879da360826a807db83aadcc5e93c5e55d8e) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle m(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa8dd26cbe62d923ca5271aa93c0d8f44c3ea22) |
…… (20) |
|
![{\displaystyle cU}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a179e31fc7a96144e48a7d39c05de1e940e9a8) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle m(\beta \delta '-\beta '\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a8a3a44d840e8e472df71bb9a33ad616bfef16) |
…… (21) |
|
dont une quelconque peut donner la valeur de
plus facilement
que l’équation (14). Il suit aussi de là que de quelque manière qu’on
détermine
,
,
, et ces quantités peuvent être déterminées par
plusieurs méthodes différentes, on aura toujours les mêmes valeurs,
pour
et pour
.
Or en combinant l’équation (18) avec l’équation (20), on en
tire par soustraction et par addition les deux suivantes
![{\displaystyle eT-bU}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe7c92952a7a23355e6548e542235db3d7b37e3) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
…… (22) |
|
![{\displaystyle eT+BU}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c031a8dbd5d07b7c86d5875eeb3582ea7e0bb9) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
…… (23), |
|
et à l’aide des quatre équations (19), (21), (22), (23), qui ne sont
que du premier degré, on obtiendra sans peine les valeurs de
,
,
,
, au moyen des équations suivantes qui en dérivent,
![{\displaystyle me\alpha '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652b521a4b5a6122393fac75bffe345335aecabf) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle me\beta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704c08bc6c3d9c953bc9798a61b3a7851cd31368) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle me\gamma '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d79f4fd9dddcef906451b8cf8771ccedbb8e50) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle me\delta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e87076d4933b1f39141503c5dc7370b4f7a43b) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
, |
|
ou, en y substituant les valeurs de
,
,
, tirées des équations (1), (3), (5),
![{\displaystyle m\alpha '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f88f6f190546d002fb6c468d0c895bcae0a7cc) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle m\beta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a49fd706c13cf49b1302b998a9b79236aeb7625) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle m\gamma '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac47e918d1f254b396b4aacc0bd1357cad57bce) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle m\delta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1199202acee41071c95407bf440ad7ca0f8dbd42) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
. |
|
Il suit de l’analyse précédente, qu’il n’y a pas de transformation de
en
, semblable à la proposée, qui ne soit contenue
dans les formules
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle {\frac {1}{m}}\{\alpha t-(B\alpha +C\gamma )u\}x+{\frac {1}{m}}\{\beta t-(B\beta +C\delta )u\}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed7ecd53a50c1086f61d4bd12dc2a0c34384063) |
![{\displaystyle \left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79dd6f560650b235f4970c96c113b7232e92bc9) |
...... (I),
|
![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
et
désignant indéfiniment tous les nombres qui satisfont à
l’équation
. Nous ne pouvons pas encore conclure
que toutes les valeurs de
et de
qui satisfont à cette équation donnent des transformations convenables, lorsqu’on les substitue dans les formules (I). Mais ,
1o. On s’assurera par le développement, que la substitution de
valeurs quelconques de
et de
change
en
, au moyen des
équations (1), (3), (5) et
. Nous omettons, ce
calcul plus long que difficile.
2o. Toute transformation déduite des formules sera semblable
à la proposée ; car
|
|
|
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle {\frac {1}{m}}\{\beta t-(B\beta +C\delta )u\}\times {\frac {1}{m}}\{\gamma t+(A\alpha +B\gamma )u\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4148df5a2c9e9ef42f7c2139dc2061fe25e67d7) |
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle {\frac {1}{m^{2}}}(\alpha \delta -\beta \gamma )(t^{2}-Du^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53268181c9beae73f4123ed3b583220e3fe84d4) |
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
. |
|
3o. Si les formes
et
ont des déterminans inégaux, il peut
se faire que les formules (I) renferment des fractions, par la
substitution de certaines valeurs de
et de
, et que partant il
faille les rejeter ; mais toutes les autres seront des transformations
convenables, et seront les seules.
4o. Si les formes
et
ont des déterminans égaux, et que
parconséquent elles soient équivalentes, les formules (I) ne pourront jamais donner de transformations qui renferment des fractions, et parconséquent elles donnent la solution complète du
problème.
En effet, par le théorème du no précédent, on sait que dans ce
cas
sera aussi diviseur commun de
,
,
; or puisque
, on a
; donc
sera
divisible par
, et partant,
, ou, puisque
est divisible par
,
sera divisible par
ou
par
. Donc
et
seront entiers, et partant, comme la différence
de ces deux quantités est paire, elles seront ou toutes
deux impaires, ou toutes deux paires ; si elles étaient impaires,
leur produit
le serait aussi ; mais puisque
est divisible par
, ce produit est nécessairement pair ; donc
cette supposition ne peut subsister, et les deux quantités sont
paires, donc leurs moitiés
,
sont des entiers, et parconséquent
et
. Il suit de là, sans difficulté,
que les quatre coefficiens des formules (I) sont toujours entiers.
Concluons de ce qui précède, que si l’on connaît toutes les
solutions de l’équation
, on en déduira toutes les
transformations de la forme
en
, semblables
à une transformation proposée. Nous donnerons plus loin le moyen
de trouver les solutions de cette équation ; observons seulement
ici que leur nombre est fini quand
est négatif, ou positif et en
même temps un quarré ; mais qu’il est infini, si
est positif et
non un quarré. Quand ce cas a lieu, et qu’on n’a pas
(Voyez 3o.), il faudrait encore chercher comment on peut, a priori, distinguer les valeurs de
et de
qui donnent des transformations entières, et celles qui n’en donnent pas. Mais nous donnerons plus bas, pour ce cas-là, une autre méthode qui n’aura pas
le même inconvénient (no 214).
Exemple. La forme
se change par la transformation
propre
,
en
. On demande
toutes les transformations propres de
en
. Ici
,
; ainsi l’équation à résoudre est
. On
peut y satisfaire de six manières :
,
,
,
,
,
.
La 3e et la 6e donnent des résultats fractionnaires et sont parconséquent à rejeter des autres. Résultent les quatre substitutions :
![{\displaystyle x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52c38d57d310f38e2bbc90a27860263a3bb7309) |
![{\displaystyle \left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d66731efac03f5f366e6146acf339fbab28587b) |
|
![{\displaystyle 2x'+7y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225486208aa0289476486703f3ec0bb37b4a5108) |
______ |
![{\displaystyle y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b65dd6cfd102bf21539fdabb5b129901cbba4f8) |
![{\displaystyle \left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d66731efac03f5f366e6146acf339fbab28587b) |
|
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle 2x'+7y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225486208aa0289476486703f3ec0bb37b4a5108) |
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
|
|
![{\displaystyle 2x'+9y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70fb9d73f10e618f74ad70626e86afaa577fa0d) |
——— |
|
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle 2x'+9y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70fb9d73f10e618f74ad70626e86afaa577fa0d) |
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
|
dont la première est la solution proposée.
163. Nous avons dit plus haut, en passant, qu’il pouvait arriver
qu’une forme
en renfermât une autre
, tant proprement qu’improprement. On voit que cela aura lieu, si l’on peut interposer
une autre forme
, telle que
renferme
, et que
renferme
,
et que la forme
soit de nature à être proprement équivalente à
elle-même. Car si l’on suppose que
renferme
proprement ou
improprement, comme
se renferme lui-même improprement,
renfermera
improprement ou proprement, selon la supposition primitive, et partant le renfermera dans les deux cas, proprement ou improprement (no 159). On trouvera de même que
de quelque manière que
renferme
,
doit toujours renfermer
des deux manières. Or on reconnaît qu’il existe des formes
improprement équivalentes à elles-mêmes par un cas très-évident,
celui de la forme
, qui se change en
en faisant
et
. Plus généralement, toute
forme
jouit de cette propriété lorsque
est divisible
par
; en effet la forme
est contiguë à
par
la première partie (no 160), et partant lui est proprement équivalente, mais
(no 159) équivaut improprement à
;
donc
équivaut improprement à elle-même. Nous nommerons formes ambiguës les formes
dans lesquelles
est divisible par
. Nous avons donc le théorème suivant :
La forme
renfermera la forme
proprement et improprement, si on peut trouver une forme ambiguë que
renferme et qui renferme
La réciproque est également vraie, et c’est l’objet du numéro suivant.
164. Théorème. Si la forme
renferme tant proprement qu’improprement la forme
on pourra trouver une forme ambiguë que
renfermera et qui renfermera
Supposons que
devienne
par la substitution
,
, et par la substitution dissemblable
,
. Soit
,
, on aura
; donc
, et comme
et
sont de signe contraire
ou
; or il est clair
qu’on arrivera à la même forme en substituant dans
, pour
,
, pour
,
, qu’en substituant dans
ou bien |
|
pour x… |
|
|
|
![{\displaystyle +\beta (-\gamma 'x''+\alpha 'y'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77b1d8ee2fb4fbc47785e5e832535399a482761) |
|
|
|
![{\displaystyle +(\alpha '\beta -\alpha \beta ')y''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2c9cf47949d687b8ef1b85ed56e6706782e5c0) |
|
pour y… |
|
|
|
![{\displaystyle +\gamma (\delta 'x''+\beta 'y'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec15d5d488ef32cddf6a7a5b50f7a8e1514838a9) |
|
|
|
![{\displaystyle +(\alpha '\delta -\beta '\gamma )y''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36453f634c46285f2293da8e35eb8a681ec88b69) |
|
ou bien |
|
pour x… |
|
|
|
![{\displaystyle +\beta '(-\gamma 'x''+\alpha 'y'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21434335e44d0c2d93cbb42f66ed2cbeed262bd2) |
|
|
|
|
|
pour y… |
|
|
|
![{\displaystyle +\delta '(-\gamma 'x''+\alpha 'y'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00c3acea6f719d1af3664cde8108b12b3c94090) |
|
|
|
|
|
Ainsi en faisant
![{\displaystyle \alpha \delta '-\beta \gamma '=a\quad \alpha '\beta -\alpha \beta '=b\quad \gamma \delta '-\gamma '\delta =c\quad \alpha '\delta -\beta '\gamma =d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414f6f76f6eb117fb4fb3151f593a0a8da243b62)
la forme
se changera en une même forme par les substitutions
,
et
,
, ce qui donne les trois équations suivantes :
![{\displaystyle Aa^{2}+2Bac+Cc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b7d0f40f1c7dd6cb363a8ab136743af3f07ad8) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle Ae'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbdb8fd30cb8e6183de467f19b4b4c1730d1bbd) |
……… (1)
|
![{\displaystyle Aab+B(ad+bc)+Ccd}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4436cc7f568555c9b6c734662b85ed5ca7fa86c) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle Be'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a7a6e508aaa04e3d8e656b0753deae291b76b2) |
……… (2)
|
![{\displaystyle Ab^{2}+2Bbd+Cd^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154c983811dcbfd5942cde3d64016c3eed6f2233) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle Ce'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee8ee13e6097efa7654bb448ef52cca939fa608) |
……… (3)
|
mais des valeurs de
,
,
,
, on tire
![{\displaystyle ad-bc=ee'=-e^{2}=-e'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/962f00ae846a594eecf1381832f123f834948c74)
…………… (4)
Si l’on multiplie l’équation (I) par
, l’équation (2) par
, et qu’on retranche, on trouve
, et partant
.
En multipliant l’équation (2) par
et en retranchant le produit de l’équation (I) par
et de l’équation (3) par
, on trouve
, d’où
.
Enfin en retranchant du produit de l’équation (3) par
celui de l’équation (2) par
, on trouve
,
d’où
. Or comme
,
,
ne peuvent dans aucun
cas être nuls en même temps, il s’ensuit que
![{\displaystyle a+d=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9d8d503a09681c8d0ecee1fd9b23cc2cb78dba)
……………………………… (5)
Si l’on multiplie l’équation (2) par
et qu’on en retranche l’équation (I) multipliée par
, il vient
, d’où
![{\displaystyle Ab-2Ba-Cc=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be1fe6b085cc92a7835b938f8c51a77a6969633)
…………………… (6)
Des équations :
,
ou
et
, on déduit
,
ou
. Représentons par
ce rapport, réduit à sa plus simple expression, de manière que
et
soient premiers entre eux[2], et soient pris
,
desorte
qu’on ait
. Soit d’ailleurs
le plus grand commun
diviseur de
,
,
, son quarré divisera
;
donc
divisera
. Cela posé, si la forme
, par la transformation
,
, se change en
……(G), cette forme
sera ambiguë et renfermera
.
Démonstration. I. Pour faire voir que la forme
est ambiguë, nous démontrerons que
; car alors
divisant
,
sera entier, et partant
un multiple de
.
Or
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle Nr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec4014fef30519bdc16e190b073458c621918f6) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
; |
|
d’ailleurs il est facile de s’assurer que l’on a
![{\displaystyle 2e+2a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d754c6a3e435a6dd3fdc38de285c1613db2e3ec7) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle e-e'+a-d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e79df31a249c61fc783ce69004de1e831b56476) |
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle (\alpha -\alpha ')(\delta +\delta ')-(\beta -\beta ')(\gamma +\gamma ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b283c7509e89395e8aefb51e8ad0e5ead1959b38) |
|
![{\displaystyle 2b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da45af0250645a54cab2ef45483c4399e4a40df) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
, |
|
et comme
,
, il en résulte
, ou
![{\displaystyle me+ma+nb=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d6b4c8c643a0454cded3227f8ab752bf4194c4)
……… (7)
De même
![{\displaystyle 2e-2a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772c48cfc8609d2b693700aa5edd478ab5aa5539) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle e-e'-a+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0e68f29bd8bfbde52cabcf6ed44e7f9afa2668) |
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle (\alpha +\alpha ')(\delta -\delta ')-(\gamma +\gamma ')(\delta -\delta ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b585ee2590d85170a90ea0e117ba39a85c9f5043) |
|
![{\displaystyle 2c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8389d669a77876483e5dded26a9112dc4013e23a) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
, |
|
d’où
… ou
… (8).
Maintenant si l’on ajoute à
la fonction
|
|
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
|
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
|
qui se réduit à zéro, puisque
,
,
, et qu’on effectue les produits en effaçant les termes qui se détruisent, on trouvera
; donc
![{\displaystyle m^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=2m\nu e+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911491a3782bb77b3ab6baa4b304932d0e870f2d)
…… (9)
De même, si l’on ajoute à
la fonction
|
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
|
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
|
on trouve
![{\displaystyle mn(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=(n\nu -m\mu )e-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4128aefb93c10b5c1fa16d7436c38fd1c5be4afb)
………(10).
Enfin si l’on ajoute à
la fonction
|
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
,
|
on trouve
![{\displaystyle n^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=-2n\mu e-c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d549c991ffab944a55084a4d6abae844f953f390)
……… (11)
Donc si l’on multiplie l’équation (9) par
, (10) par
et (11) par
, il vient
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
ou à cause de l’équation (6),
![{\displaystyle M(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=2Nr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49944c0482d83fdad8f9e807dc5536a177108de8)
II. Pour prouver que la forme
renferme la forme
nous
démontrerons
1o. Que
devient
en posant
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
…… (S).
|
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle {\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )x'+{\frac {r}{r}}(n\beta -m\delta )y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db09b5356d63e139c93fe34800f9ba7205be4259) |
|
2o. Que
et
sont entiers.
1o. Puisque
devient
en posant
,
, la forme
se changera par la transformation (S) en la même
forme que celle en laquelle
se changerait en posant
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68) |
![{\displaystyle m(\mu \alpha +\nu \gamma )x'+m(\mu \beta +\gamma \delta )y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a516e5333adab9a63ccfb8875e9536e346cd23a) |
|
|
|
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle \nu (n\alpha -m\gamma )x'+\nu (n\beta -m\delta )y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecee8f8b6539dc4f8865c3e533221e88d45b65f) |
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle (m\mu +n\nu )\alpha x'+(m\mu +n\nu )\beta y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e58f6fb7aa848e3180ed4a2fa35479fc6cbfcd3) |
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle \alpha x'+\beta y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64133cf4787882898cb398dac41faa950a491dac) |
|
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle n(\mu \alpha +\nu \gamma )x'+n(\mu \beta +\gamma \delta )y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca6927203f2dbd8cfe8a4aa1af688d71225cc59) |
|
|
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle \mu (n\alpha -m\gamma )x'-\mu (n\beta -m\delta )y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87da3ada634b22bab796a5494d22713404ddfc0) |
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle (m\mu +n\nu )\gamma x'+(m\mu +n\nu )\delta y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09eba505ebcc01c281ca6ce2457cd3d9faef6cfa) |
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle \gamma x'+\delta y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41df118662f1abb3d872c16bc816d1d8c0d3bf29) |
|
Mais par cette substitution,
se change en
; donc par la
substitution (S) la forme
se change en
.
2o. On déduit facilement des valeurs de
,
,
l’équation
ou comme
,
éliminant
au moyen de l’équation (7), il vient
![{\displaystyle (n\alpha -m\gamma )a=(m\gamma -n\alpha ')e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97dc7220e3b4b482eeff7fe6437fe658291d819a)
…… (12) ;
or on a
,
; donc
![{\displaystyle (n\alpha -m\gamma )b=(\alpha '-\alpha ')me}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814eb6dfb4f07ea21b7b46d457ee085e131da678)
…… (13) ;
enfin on trouvera
, éliminant
au moyen de
l’équation (8), il vient
![{\displaystyle (n\alpha -m\gamma )c=(\gamma -\gamma ')ne}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5485399b48cf215a899c5d8bc5aa42e2b5f36926)
…… (14) ;
On trouve de même
, ou
;
éliminant
au moyen de l’équation (7), il vient
![{\displaystyle (n\beta -m\delta )a=(m\delta -n\beta ')e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3cfd7da1eaa9b87cbee3fcf89c703c90988bb0)
…… (15) ;
or on a
,
; donc
![{\displaystyle (n\beta -m\delta )b=(\beta '-\beta )me}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1fd0d1a2f4d705c5ee7bc06dab027788035eed)
…… (16) ;
enfin on trouve
, et en éliminant
au moyen
de l’équation (8), on a
![{\displaystyle (n\beta -m\delta )c=(\delta -\delta ')ne}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab2a88d3ebf14fe97acf391067b918d5e1ff156)
…… (17).
Le plus grand commun diviseur des nombres
,
,
étant
, si l’on détermine
,
,
de manière qu’on ait
, on trouvera au moyen des équations (12)…(17),
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
et partant,
et
sont entiers.
165. Exemple. La forme
se change en la forme
, proprement en faisant
,
, improprement en faisant
,
. On a donc
,
,
,
; et
. Faisons donc
,
.
Comme on doit avoir
, on satisfera évidemment à
cette équation en faisant
et
; d’ailleurs on trouve
,
,
,
; leur plus grand commun
diviseur
: ce qui donne pour la transformation qui change
en
,
et
. La forme ambiguë
est elle-même
.
Si les formes
et
sont équivalentes, la forme
sera aussi
renfermée dans
puisqu’elle l’est dans
; mais comme elle renferme cette même forme, elle lui sera équivalente, et partant
à la forme
; ainsi dans ce cas le théorème s’énoncera ainsi :
Si
et
sont équivalentes tant proprement qu’improprement, on pourra trouver une forme ambiguë équivalente à chacune d’elles. Au reste, dans ce cas
, et partant
qui
divise
doit être aussi
.
Ce que nous avons dit suffit pour la transformation des formes
en général ; passons à la représentation des nombres.
166. Si la forme
renferme la forme
tout nombre qui pourra être représenté par
pourra l’être aussi par
Soient
,
;
,
les indéterminées des formes
et
respectivement, et supposons que le nombre
puisse être représenté
par
en faisant
et
, et que la forme
se change
en
par la transformation
,
, il est
évident que
deviendra
en faisant
,
.
Si
peut être représenté de plusieurs manières par
, savoir,
en faisant encore
,
, il pourra l’être aussi de plusieurs
manières par
: en effet, si l’on avait à-la-fois
,
et
, il s’ensuivrait
et
, ce qui exige que
, et
partant, que le déterminant de la forme
soit
, contre
l’hypothèse, ou que
et
, il suit de là qu’il y a au
moins autant de manières de représenter
par
que par
.
Si donc
et
sont équivalentes, tout nombre qui pourra
être représenté par l’une pourra l’être par l’autre et d’autant de
manières.
Observons enfin que dans ce cas le plus grand diviseur commun des nombres
et
est égal au plus grand diviseur commun des nombres
,
. Soit en effet
ce diviseur,
prenons les nombres
et
tels qu’on ait
, on aura
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
Donc le plus grand diviseur commun des nombres
,
divisera
; mais
le divise, puisqu’il divise évidemment
,
donc ce plus grand commun diviseur
est égal à
. Il suit de là que si
et
sont premiers entre eux,
et
le seront aussi.
167. Théorème. Si les formes
sont équivalentes, que leur déterminant soit
que la dernière se change en la première en faisant
que d'ailleurs le nombre
soit représenté par la forme
en faisant
et partant, par la forme
en faisant
et
et parconséquent
et
étant premiers entre eux, les deux représentations appartiendront à la même valeur de l’expression
ou à des valeurs opposées, suivant que la transformation de
en
sera propre ou impropre.
Soient déterminés les nombres
,
de manière qu’on ait
, et soient faits
,
[3]. On aura
(no précéd.)
. Soit d’ailleurs
![{\displaystyle \mu (bm+cn)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9058eee5aee7586958864c792b815cd50067f90d) |
![{\displaystyle -\nu (am+bn)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555fa11667c4cfed47e250e9cc44b5683f930ce4) |
|
![{\displaystyle \mu '(b'm'+c'n')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182e9059b45a7f9d7d38b681da831e6b1d32acec) |
![{\displaystyle -\nu '(a'm'+b'n')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8ca4b80249f3bcfaa6fd17a861def03f47fd18) |
|
et
sont les valeurs de l’expression
auxquelles
appartiennent la première et la seconde représentation. Cela
posé, si dans
on met pour
,
,
,
leurs valeurs, et dans
pour
…
, pour
…
pour
…
, on trouve, toutes réductions faites,
, et partant
ou
, suivant que
sera
ou
. Donc, etc.
Si donc on a plusieurs représentations d’un nombre
par la
forme
au moyen des valeurs de
,
premières entre
elles et qui appartiennent à des valeurs différentes de
l’expression
; les représentations par la forme
appartiendront aux mêmes valeurs, et s’il n’y a aucune représentation du nombre
par une certaine forme, qui appartienne
à une certaine valeur donnée, il n’y en aura aucune non plus
qui appartienne à cette valeur pour une forme équivalente.
168. Théorème. Si le nombre
peut être représenté par la forme
en donnant à
et
des valeurs
et
premières entre elles, et que
soit la valeur de l’expression
à laquelle cette représentation appartienne, les formes
et
seront proprement équivalentes.
Il suit du no 155 qu’on peut trouver des nombres entiers
et
qui satisfassent aux équations
![{\displaystyle m\mu +n\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd93ced54b64fe05200431aa148d69c8496c4f83) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle \mu (bm+cn)-\nu (am+bn)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba07e36727d56ddd859a1137e819968e15be2ea) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
Cela fait, la forme
se change, au moyen de la substitution
en une forme dont le déterminant
, c’est-à-dire en une forme équivalente. Si on suppose cette forme
on aura
d’ailleurs
![{\displaystyle A=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af9c8f62b6dd59911491b509a8705bc862c4429) |
![{\displaystyle am^{2}+2bmn+cn^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f2e616e45ecf66f0a50c94eb786530a76d794f) |
![{\displaystyle =M,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ceabd1b678385faa2f8689c46327669a4f4003) |
|
![{\displaystyle B=-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02838ec62cfce898ff6ceb20bd58b2f69dfc768) |
![{\displaystyle m\nu a+(m\mu -n\nu )b+n\mu c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6675bf3d3dbc6738e227f8c21e08cce3c6a4f17) |
; |
|
donc la forme
revient à
.
Au reste, des équations
![{\displaystyle m\mu +n\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd93ced54b64fe05200431aa148d69c8496c4f83) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle \mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b076a1a1e1f1e66ae76166c0fed0fc8f057b792e) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
on déduit
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
qui seront ainsi des nombres entiers.
Il faut observer que cette proposition n’a pas lieu quand
car dans ce cas on doit avoir
d’où il suit que
est indéterminé.
169. Si l’on a plusieurs représentations du nombre
par la
forme
qui appartiennent à la même valeur
de l’expression
, en supposant toujours les valeurs de
premières entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres
de la forme
…(F) en
… (G) ; savoir,
si une de ces représentations provient des valeurs
,
,
se changera en
par la substitution
![{\displaystyle x=m'x'+{\frac {m'N-m'b-n'}{M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d262b451230a99eefad248ee5309de09f8b4d7ee)
……
![{\displaystyle y=n'x'+{\frac {n'N-m'a-n'b}{M}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5859f65f88a16f853d48ef98bf183f334b23bd49)
Réciproquement, une transformation propre de
en
étant
donnée, on en déduira une représentation de
par la forme
,
qui appartiendra à la valeur
Si
se change en
en posant
et
, on représentera
par la forme
en posant
,
et comme
, la valeur de
l’expression
à laquelle appartient la représentation
sera
. En outre de plusieurs trans
formations propres différentes, on déduirait autant de représentations diverses appartenantes à la valeur
; car si l’on supposait que la même représentation pût dériver de deux transformations propres différentes, ces deux transformations étant
et
,
,
; des
deux équations
![{\displaystyle m\mu +n\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd93ced54b64fe05200431aa148d69c8496c4f83) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle m\mu '+n\nu '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a3309b2992f36a90912fc8921e751c9000117a) |
|
![{\displaystyle \mu (ma+nb)-\nu (ma+nb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78de071b495ac3d6916cceebea391b5c34c9d867) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
, |
|
on déduit sans peine qu’il faudrait qu’on eût
, ou bien
,
; or la première condition est déjà exclue, et nous
avons supposé
et
différens de
et
. Il résulte de là que
si on avait toutes les transformations propres de
en
, elles
donneraient toutes les représentations de
par
, qui appartiennent à la valeur
. La recherche des représentations d’un
nombre donné par une forme donnée, dans lesquelles les valeurs
des indéterminées sont premières entre elles, se réduit donc à
trouver toutes les transformations propres de cette forme en une
autre forme équivalente donnée.
En appliquant ici ce que nous avons dit no 162, on conclut
facilement que si une représentation du nombre
par la forme
appartenante à la valeur
, est donnée par les valeurs
,
, la formule générale qui comprend toutes les représentations
du même nombre par la forme
, sera
![{\displaystyle x={\frac {\alpha t-(\alpha b+\gamma c)u}{m}}\quad y={\frac {\gamma t+(\alpha a+\gamma b)u}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760cda590795beeecab4ab12f7f6a1e74b347835)
étant le plus grand commun diviseur des nombres
,
,
,
et
,
tous les nombres entiers qui satisfont indéfiniment à
l’équation
![{\displaystyle t^{2}-Du^{2}=m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab55b8a06b2a0be19646d9dd99eb01d3cbefb27c)
.
170. Si la forme
est équivalente à une certaine forme
ambiguë, elle sera équivalente, tant proprement qu’improprement,
à la forme
, ou encore elle sera proprement
équivalente tant à la forme
, qu’à la forme
(no 159) ; on aura donc les représentations
du nombre
par
appartenantes soit à la valeur
soit
à la valeur
. Et réciproquement, si on connaît plusieurs représentations du nombre
par la même forme
, et que ces représentations appartiennent à des valeurs opposées de l’expression
, la forme
sera équivalente à la forme
tant proprement qu’improprement, et l’on pourra assigner une forme
ambiguë équivalente à
.
Ces principes généraux sur la représentation des nombres nous
suffisent pour ce que nous avons à dire à présent. Nous parlerons
plus bas des représentations où les indéterminées ne doivent pas
avoir de valeurs premières entre elles. Quant aux autres propriétés,
les formes dont le déterminant est négatif, demandent à être traitées
d’une manière tout-à-fait différente que celles dont le déterminant
est positif. Aussi nous allons maintenant considérer séparément
chacun de ces cas : nous commencerons par le premier comme
étant le plus facile.
171. Problème. Étant proposée une forme quelconque
dont le déterminant est négatif, et
, trouver une forme
qui lui soit proprement équivalente, et dans laquelle
soit non
,
non
,
non
.
Nous supposons que ces trois conditions ne soient pas réunies
dans la forme proposée, autrement il serait inutile de chercher
la seconde forme. Soit
le résidu minimum absolu du nombre
suivant le module
[4] et
, qui sera entier, puisque
d’où
Maintenant,
si
soit encore
résidu minimum de
, suivant le
module
et
Si
, soit de même
résidu
absolu minimum de
suivant le module
, et
;
en continuant cette opération jusqu’à ce que l’on parvienne à un
terme
de cette progression qui ne soit pas plus petit que le
terme précédent
; ce qui arrivera nécessairement, sans quoi
on aurait une suite de nombres entiers plus grands que zéro
et décroissans à l’infini. Alors la forme
satisfera à
toutes les conditions.
En effet, 1o. dans la suite de formes
,
,
, etc., une quelconque est contiguë à celle qui la précède ; donc la dernière est proprement équivalente à la première
(nos 159 et 160).
2o. Comme
est le résidu minimum absolu de
suivant
le module
, il ne sera pas plus grand que
(no 4.).
3o. Puisque
, et que
non
,
ne sera
; et comme
est non
,
ne sera pas
, ou
ne sera pas plus grand que
;
donc enfin
non
.
Exemple. Soit la forme
dont le déterminant
, on trouve la suite de formes :
,
,
,
,
; et la
dernière est la forme cherchée. De même, pour la forme
dont le déterminant est
, on trouve les formes équivalentes :
,
,
; donc
est la
forme cherchée.
Nous appellerons formes réduites les formes
, qui sont
telles que, le déterminant étant négatif on ait
non
,
non
, et
non
; ainsi on peut trouver une forme
réduite proprement équivalente à une forme donnée quelle qu’elle
soit.
172. Problème. Trouver les conditions nécessaires pour que deux formes réduites non identiques et de même déterminant négatif, soient proprement équivalentes.
Soient les formes
,
dont le déterminant est
; supposons, ce qui est permis, que
ne soit pas
, et
que la forme
se change en
,
par la substitution propre
,
. On aura
les équations
![{\displaystyle a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf428ef3ef42c8d43c809ba45dd1baa6c6bcced5) |
![{\displaystyle =a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7bb089daba727a1ab181ef9e0053b4d9762a2f) |
……(1) |
|
![{\displaystyle a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40550f0a7d0cd88e521d28d01c7a9792796cf17d) |
![{\displaystyle =b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf980c0ecd74291a466dafe2af668b525948c8f) |
……(2) |
|
![{\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57c8d64556f22aa0a63f7df47c982539ff06dc7) |
![{\displaystyle =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282a76fe69ce05e31352dfd19b7700eb784fb3f8) |
……(3) |
|
L’équation (1) peut se mettre sous la forme
,
donc
est positif ; et comme on a d’ailleurs
,
, il s’ensuit que
,
,
sont positifs, et partant que
,
,
,
sont tous de même signe. Mais
et
sont non
donc
, et à plus forte raison
ne sera pas
; mais
doit être entier, il sera donc
ou
.
I. Si
, l’équation (3) donne
, et partant
,
et
: dans les deux cas, il résulte de l’équation (1),
,
et de l’équation (2)
; mais
est non
,
non
, et partant non
; donc l’équation
ne
peut avoir lieu si
est de même signe que
, à moins qu’on
n’ait
, d’où s’ensuivrait
, et partant, à moins que les formes
,
ne soient identiques, ce
qui est contre l’hypothèse. Si
et
sont de signe contraire, cette
équation n’aura lieu non plus qu’en supposant
, ce
qui donne de même
; la forme
sera donc
,
c’est-à-dire opposée à la forme
. On voit d’ailleurs
que ces formes sont ambiguës, puisque
(no 163).
II. Si
, l’équation (1) devient
; mais
n’est pas
, et parconséquent pas
; donc
n’est certainement pas
ainsi
n’étant pas
,
ne sera pas
, ce qui exige qu’on ait
, ou
.
1o. Si
, l’équation (1) donne
, et comme on a à-la-fois
non
et non
, il s’ensuit que
: or
l’équation (3) donne
, et partant l’équation (2) devient
. On pourra supposer seulement ici, comme
dans le cas précédent,
, ou
. Par la première supposition, les formes
(a', b’, c') seraient identiques, par
la seconde elles seront opposées.
2o. Si
, l’équation (1) donne
;
mais
et
sont tous deux non
, donc
sera non
et non
; d’ailleurs on a
non
et non
; donc nécessairement
. L’équation
donne
alors
, ainsi l’équation (2) devient
![{\displaystyle a(\alpha \beta +\gamma \delta )+b(\alpha \delta +\beta \gamma )=b',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60817a63d88ca38bedf6083edca66f45840979c)
ou comme
,
![{\displaystyle b'-b=a(\alpha \beta +\gamma \delta )+2b\beta \gamma )+2b\beta \gamma =a(\alpha \beta +\gamma \delta \mp \beta \gamma ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfab70704f29e2b1809bb55dd834c393a7080aa0)
ce qui exige, comme ci-dessus, que
, ou que
.
Or, dans le premier cas, les formes seraient identiques contre
l’hypothèse ; dans le second, elles sont opposées et ambiguës.
Il résulte de cette analyse que les formes
,
ne peuvent être équivalentes, à moins qu’elles ne soient opposées
et en même temps ambiguës, ou telles que
. Il
était évident, a priori, que dans ce cas les formes sont proprement équivalentes ; car, comme opposées, elles sont improprement
équivalentes, et comme ambiguës, elles le sont aussi proprement.
Mais si
, la forme,
sera contiguë,
et partant équivalente à
; mais comme
,
on a
, et la forme
est
ambiguë ; donc
sera aussi proprement équivalente à son
opposée.
On juge facilement par là si deux formes réduites
,
non opposées, peuvent être improprement équivalentes. En
effet, elles le seront, si
et
qui ne sont pas
identiques, sont proprement équivalentes ; sinon elles ne le seront pas.
Il suit de là que les formes proposées, pour être improprement équivalentes, doivent être identiques, et en outre ambiguës, ou telles
qu’on ait
. Mais les formes qui ne sont ni identiques, ni
opposées, ne peuvent être équivalentes ni proprement ni improprement.
173. Problème. Étant données deux formes
et
de même déterminant négatif, chercher si elles sont équivalentes.
Cherchons deux formes réduites
et
proprement équivalentes
aux formes
,
respectivement. Si les formes
,
sont équivalentes proprement ou improprement, ou des deux manières,
et
le seront aussi ; mais si
et
ne sont équivalentes d’aucune
manière,
et
ne le seront pas non plus.
Par le no précédent, il peut arriver quatre cas :
1o. Si
et
ne sont ni identiques ni opposées,
et
ne seront
équivalentes d’aucune manière.
2o. Si
et
sont d’abord identiques ou opposées, et ensuite
ambiguës, ou telles que leurs termes extrêmes soient égaux,
et
seront équivalentes proprement et improprement.
3o. Si
et
sont identiques, mais qu’elles ne soient pas ambiguës, ou qu’elles n’aient pas leurs termes extrêmes égaux,
et
ne seront que proprement équivalentes.
4o. Si
et
sont opposées, mais qu’elles ne soient point ambiguës, ou qu’elles n’aient point leurs termes extrêmes égaux, les
formes
et
seront seulement improprement équivalentes.
Exemple. On trouve pour les formes
,
dont le déterminant est
, les réduites
,
qui leur sont respectivement équivalentes ; donc les formes proposées ne sont équivalentes en aucune manière. Mais les formes
,
ont la même réduite
, et
comme elle est en même temps ambiguë, les formes proposées
seront équivalentes proprement et improprement. Les formes
,
ont pour réduites
et
; comme elles sont opposées et que leurs termes
extrêmes sont égaux, les formes proposées sont équivalentes tant
proprement qu’improprement.
174. Le nombre des formes réduites qui ont un déterminant
donné
, est toujours fini, et même assez petit par rapport
au nombre
, et il y a deux manières de trouver ces formes
elles-mêmes ; désignons indéfiniment par
les formes réduites dont le déterminant est
, il s’agit de déterminer toutes
les valeurs de
,
, et
.
Première Méthode. On prendra pour
tous les nombres tant
positifs que négatifs qui ne sont pas plus grands que
, et
dont
est résidu quadratique ; et pour chaque valeur de
,
en prendra
successivement égal à toutes les valeurs de l’expression
, qui ne sont pas
, en les prenant tant
positiveraient que négativement. Quant à
, on le fera
.
S’il résulte de là quelques formes dans lesquelles
, elles
seront à rejeter, et les autres seront évidemment des fondes réduites.
Deuxième Méthode. Soient pris pour
tous les nombres positifs ou
négatifs qui ne surpassent pas
pour chaque valeur de
, on
décomposera
de toutes les manières possibles, en deux
facteurs pris positivement ou négativement, et non plus petits
que
, en prenant l’un des deux, le plus petit s’ils sont inégaux,
pour la valeur de
, et l’autre pour la valeur de
. S’il en résulte
quelques formes daüs lesquelles
elles seront à rejeter ; les autres seront visiblement des formes réduites. Il est
d’ailleurs évident qu’il n’y a pas une forme réduite qui ne puisse
se trouver par chacune des deux méthodes.
Exemple. Soit
. Par la première méthode, la limite
des valeurs de
est
qui tombe entre
et
. Or les
nombres compris entre
et
, et dont le résidu est
, sont :
,
,
,
, d’où résultent les douze formes suivantes :
,
;
,
,
,
;
,
;
,
,
,
.
Par la seconde méthode, la limite des valeurs de
est
qui tombe entre
et
. En supposant
, on trouve les formes :
,
,
,
; pour
:
,
. Il n’y en a aucune pour
, parceque
n’est pas décomposable en deux facteurs dont
chacun soit non
. La même chose a eu lieu pour
et
.
Enfin, pour
, il vient
,
.
175. Si parmi toutes les formes déduites d’un déterminant donné,
on supprime une des deux qui sans être identiques sont proprement
équivalentes, celles qui resteront jouiront de cette propriété remarquable, qu’une forme quelconque de même déterminant sera proprement équivalente à quelqu’une d’entre elles, et à une seule ;
car, sans cela, il resterait encore des formes réduites proprement
équivalentes entre elles. D’où il suit que toutes les formes de même déterminant peuvent se distribuer en autant de classes qu’il sera resté de formes réduites, en comprenant dans la même classe les formes qui sont proprement équivalentes à la même réduite.
Ainsi, pour
, il reste les huit formes réduites,
, |
, |
,
|
, |
, |
,
|
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
|
, |
, |
,
|
, |
, |
,
|
, |
, |
,
|
, |
, |
. |
|
Donc toutes les formes dont le déterminant est
, peuvent se
distribuer en huit classes, suivant qu’elles sont proprement équivalentes à la première, à la deuxième, etc. ; et il est clair que
les formes d’une même classe sont proprement équivalentes, tandis
que deux formes prises dans deux classes différentes ne sauraient
être proprement équivalentes. Mais nous traiterons ci-après, avec
plus de détail, le sujet de la classification des formes ; nous n’ajoutons ici qu’une observation. Nous avons déjà fait voir que si le
déterminant de la forme
est négatif,
et
sont de même
signe, et on s’assurera, comme nous l’avons fait pour les formes
réduites, que si
,
sont deux formes équivalentes
,
,
,
seront de même signe[5]. Il suit de là que
les formes dont les termes extrêmes sont positifs, sont absolument
distinctes de celles dont les termes extrêmes sont négatifs, et qu’il
suffit dans les formes réduites, de considérer celles qui ont leurs
termes extrêmes positifs, car les autres sont en même nombre, et
elles naissent des premières, en changeant les signes des termes
extrêmes. La même chose a lieu pour les formes réduites à rejeter
et à retenir.
176. Voici en conséquence une table qui contient, pour quelques
déterminans négatifs, les formes suivant lesquelles toutes celles du
même déterminant peuvent se distribuer en classes ; mais, suivant
la remarque du no précédent, nous n’en avons mis que la moitié,
c’est-à-dire celles dont les termes extrêmes sont positifs.
… |
|
… |
|
… |
![{\displaystyle (1,0,\;\ 3),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dbf7f72c4a9030a970479039c5a5e9ae35439a) |
|
… |
![{\displaystyle (1,0,\;\ 4),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18b58436df48f7cd244f9155b9d30f1f53cee1c) |
|
… |
![{\displaystyle (1,0,\;\ 5),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/321c03c65606744e5aa60aac2e4e011dea7b0ce0) |
|
… |
![{\displaystyle (1,0,\;\ 6),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35dd1ad657456ec6648934a01e3dfe0939a6c100) |
|
… |
![{\displaystyle (1,0,\;\ 7),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c619f95e7419fe5c76bf7db79a2d762044f875ed) |
|
… |
![{\displaystyle (1,0,\;\ 8),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a0553e4382fc2269e763d19f76d8d13784bc78f) |
![{\displaystyle (2,0,4),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea190cccda67026fdd5aadcb9442e36b7346bf8) |
|
… |
![{\displaystyle (1,0,\;\ 9),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3050f9cc2d2d1c5355186128332e8aeb1e6f00d4) |
![{\displaystyle (2,1,5),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f28041e6f56668640a1edc219edda4b871686d) |
|
… |
![{\displaystyle (1,0,10),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33d03d27c1df82f7765dbc573df894d0fbf006f) |
|
… |
![{\displaystyle (1,0,11),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8704d7c788c97145b30936571707758096bcc3b) |
![{\displaystyle (2,1,6),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393b32c753f87174db331275c2c1b31d679aac4d) |
![{\displaystyle (3,1,4),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c9c488ca3f55545c21973dd1c0fbd428b5950b) |
|
… |
![{\displaystyle (1,0,12),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ed25800f8534a206d10293627890a50730638d) |
![{\displaystyle (2,0,6),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1a87f24c1afcfd00b186c56fb081d9f37a838c) |
![{\displaystyle (3,0,4),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9768b1347db25263c327459731600fa2323b1d) |
|
Il serait superflu de continuer plus loin cette table, puisque nous
donnerons plus bas une bien meilleure manière de la disposer.
Il résulte de cette table que toute forme dont le déterminant
est -1, équivaut proprement à la forme
, si les termes
extrêmes sont positifs, et à la forme
, s’ils sont négatifs ; que toute forme dont le déterminant est
et dont les
termes extrêmes sont positifs, équivaut à la forme etc. ;
que toute forme dont le déterminant est
, et dont les termes
extrêmes sont positifs, équivaut à l’une des quatre :
,
,
,
, etc.
177. Problème. Étant donnée une suite de formes telle que chacune soit contiguë à celle qui la précède par la dernière partie, trouver une transformation propre de la première en une quelconque de la suite.
Soient les formes
,
,
,
… etc.
Faisons
,
,
, etc.
nommons
,
,…
,
…
,
, etc. les indéterminées des
formes
,
,
, etc. et supposons que
se change
en |
par la substitution |
, |
|
![{\displaystyle y=\gamma 'x'+\delta 'y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c7eecc13ab3279b031dd363d297f99455a4fdb) |
|
|
………………… |
, |
… |
![{\displaystyle y=\gamma ''x''+\delta ''y''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cf0f28b834e40852004add51993bfff213ee1a) |
|
|
………………… |
, |
… |
. |
|
Cela posé, comme
se change en
en faisant
et
,
en
en faisant
…
,
en
en faisant
et
, etc. on trouvera
facilement les équations suivantes :
![{\displaystyle \alpha '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb0468d39268c4405a9286d2cba77c2e4631fed) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) |
|
![{\displaystyle \beta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14001f211d8e272b5c10e45c739d320359c48c8) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac) |
|
![{\displaystyle \gamma '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e2b9e9e12e56bd62af445be6803ec4843e919a) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
|
![{\displaystyle \delta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab2d3fbf71b804a6005c7546c058e15f4ea3685) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle \alpha ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4651b4e0cb2e6bf7726effc97a1c4ca63c799a67) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \beta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14001f211d8e272b5c10e45c739d320359c48c8) |
… |
![{\displaystyle \beta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea133d868709de57c71dcb6f576628d79c9fbe8) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle h''\beta '-\alpha '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa59f7847f030c8ae7db2a1a44486c55d851b03c) |
… |
![{\displaystyle \gamma ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8bb7728f3ec6d2715921dbd21f68b5be7e22d6) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \delta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab2d3fbf71b804a6005c7546c058e15f4ea3685) |
… |
![{\displaystyle \delta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c98b36e888b2dffe5c9a7bd7e29dda444adada) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle \alpha '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118ccafdeb1e780b722fbfcfda7ccc389662434e) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \beta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea133d868709de57c71dcb6f576628d79c9fbe8) |
… |
![{\displaystyle \beta '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d8aeca3a0b1a51d26bd9f5ec0ffa26757c6247) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle h'''\beta ''-\alpha ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919d5dd0bcdbc165f4dec3ef8123b44b78388655) |
… |
![{\displaystyle \gamma '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e210e56606e31f94140ccc7846a4ac3fc8e3c89) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \delta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c98b36e888b2dffe5c9a7bd7e29dda444adada) |
… |
![{\displaystyle \delta '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a83df20d091000db81dbb64d31bdb948776ff70) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle \alpha ^{IV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74575957401dab8470f807fea3e46cf3780f853) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \beta '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d8aeca3a0b1a51d26bd9f5ec0ffa26757c6247) |
… |
![{\displaystyle \beta ^{IV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c803a66c9715dd677dba9f6ed8c94b6f8d1f97) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle h'''\beta '''-\alpha '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30fea9fe429034a0c5360f7adac402e584e7920) |
… |
![{\displaystyle \gamma ^{IV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3526686b31b6051bf8eabac9978d5feb90815c) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \delta '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a83df20d091000db81dbb64d31bdb948776ff70) |
… |
![{\displaystyle \delta ^{IV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d3c2d84bcf02d1c0f6dd3af14f8a01be67e7785) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
|
etc. |
|
|
|
etc. |
|
|
|
etc. |
|
|
|
etc.
|
d’où l’on tire
![{\displaystyle \alpha '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb0468d39268c4405a9286d2cba77c2e4631fed) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) |
|
![{\displaystyle \beta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14001f211d8e272b5c10e45c739d320359c48c8) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac) |
|
![{\displaystyle \gamma '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e2b9e9e12e56bd62af445be6803ec4843e919a) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
|
![{\displaystyle \delta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab2d3fbf71b804a6005c7546c058e15f4ea3685) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle \alpha ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4651b4e0cb2e6bf7726effc97a1c4ca63c799a67) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \beta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14001f211d8e272b5c10e45c739d320359c48c8) |
… |
![{\displaystyle \beta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea133d868709de57c71dcb6f576628d79c9fbe8) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle h''\beta '-\alpha '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa59f7847f030c8ae7db2a1a44486c55d851b03c) |
… |
![{\displaystyle \gamma ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8bb7728f3ec6d2715921dbd21f68b5be7e22d6) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \delta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab2d3fbf71b804a6005c7546c058e15f4ea3685) |
… |
![{\displaystyle \delta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c98b36e888b2dffe5c9a7bd7e29dda444adada) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle \alpha '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118ccafdeb1e780b722fbfcfda7ccc389662434e) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \beta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea133d868709de57c71dcb6f576628d79c9fbe8) |
… |
![{\displaystyle \beta '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d8aeca3a0b1a51d26bd9f5ec0ffa26757c6247) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle h'''\beta ''-\alpha ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919d5dd0bcdbc165f4dec3ef8123b44b78388655) |
… |
![{\displaystyle \gamma '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e210e56606e31f94140ccc7846a4ac3fc8e3c89) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \delta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c98b36e888b2dffe5c9a7bd7e29dda444adada) |
… |
![{\displaystyle \delta '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a83df20d091000db81dbb64d31bdb948776ff70) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle \alpha ^{IV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74575957401dab8470f807fea3e46cf3780f853) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \beta '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d8aeca3a0b1a51d26bd9f5ec0ffa26757c6247) |
… |
![{\displaystyle \beta ^{IV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c803a66c9715dd677dba9f6ed8c94b6f8d1f97) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle h'''\beta '''-\alpha '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30fea9fe429034a0c5360f7adac402e584e7920) |
… |
![{\displaystyle \gamma ^{IV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3526686b31b6051bf8eabac9978d5feb90815c) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \delta '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a83df20d091000db81dbb64d31bdb948776ff70) |
… |
![{\displaystyle \delta ^{IV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d3c2d84bcf02d1c0f6dd3af14f8a01be67e7785) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
|
etc. |
|
|
|
etc. |
|
|
|
etc. |
|
|
|
etc.
|
il suit du no 159, et de la formation de ces quantités, que les
différentes transformations sont propres.
Cet algorithme très-simple, et auquel on applique facilement
le calcul, est analogue à celui du no 27[6], auquel même il
est facile de le ramener. Au reste, cette solution n’est pas restreinte au cas des formes de déterminant négatif ; elle convient à
tous les cas, pourvu qu’aucun des nombres
,
,
, etc. ne soit
égal à zéro.
178. Problème. Étant données deux formes
et
de même déterminant négatif et proprement équivalentes, trouver une transformation propre de l’une en l’autre.
Supposons que
soit la forme
; par la méthode
du no 171, on cherchera la suite des formes
etc. jusqu’à la réduite
Soit
l’autre forme
on cherchera de même la suite
etc. jusqu’à
qui est la réduite. Alors
il peut se présenter deux cas :
1o. Si les formes
,
sont identiques, ou à-la-fois opposées et ambiguës, les formes
,
seront contigues,
désignant l’avant-dernier terme de la suite
,
,
, etc. (il
en est de même de
,
,
; car,
,
d’où
mais si les formes réduites
sont identiques,
; si elles sont opposées et ambiguës,
; donc dans les deux cas
. Il
suit de là que dans la suite de formes :
![{\displaystyle (A,B,A')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366122743bd0148b41698f54cd26bfa37d1ed8f4)
,
![{\displaystyle (A',B',A'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae898c91e739a1ed7573c64849ee0ae7c04b9a7a)
…
![{\displaystyle (A^{(m-1)},B^{(m-1)},A^{(m)}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3587c3f0c68ef92dae665dd1c48b680020ff30d)
![{\displaystyle (a^{(n)},-b^{(n-1)},a^{(n-1)}),(a^{(n-1)},-b^{(n-2)},a^{(n-2)})\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c1c629dd37bfa925de256413c60ab60951ce7a)
![{\displaystyle (a',-b,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164a2d6c4277185c9a53205ccc56c4354ed5b0ce)
,
![{\displaystyle (a,b,a').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43dd3feb1b4d0b8d7faccd7d06fcf519f45ae60d)
Une quelconque est contiguë à celle qui la précède, et parconséquent
(no précéd.) on pourra trouver une transformation propre de
en
.
2o. Si les formes
,
n’étant pas
identiques, sont opposées et que leurs termes extrêmes soient
égaux, on aura
, d’où
, et
, et partant divisible par
; donc la
forme
est contiguë à la forme
,
et la suite :
![{\displaystyle (A,B,A')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366122743bd0148b41698f54cd26bfa37d1ed8f4)
,
![{\displaystyle (A',B',A'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae898c91e739a1ed7573c64849ee0ae7c04b9a7a)
…
![{\displaystyle (A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1cd74b7b29196e39e340a382ff087f390a4e4d)
![{\displaystyle (a^{(n)},-b^{(n-1)},a^{(n-1)}),(a^{(n-1)},-b^{(n-2)},a^{(n-2)})\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c1c629dd37bfa925de256413c60ab60951ce7a)
![{\displaystyle (a',-b,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164a2d6c4277185c9a53205ccc56c4354ed5b0ce)
,
![{\displaystyle (a,b,a').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43dd3feb1b4d0b8d7faccd7d06fcf519f45ae60d)
jouit de la même propriété que la précédente. On pourra donc
trouver une transformation propre de
en
.
Exemple. Soient les deux formes
,
;
On trouvera
pour |
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6c8720c9e6598cfd716fc7231ca52f5ece9b3e) |
la 1ère… |
![{\displaystyle (23,38,63),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713223f8f891e67d58c186fe8897c7937e893f2c) |
![{\displaystyle (63,25,10),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9ed808f4c3a43463cce4d37ea326699c8e5e62) |
![{\displaystyle (10,5,3),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d4c8a48d018b15a4e0df5170e32214777bbbc0) |
![{\displaystyle (3,1,2),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761760e9c1a4894c9dba64ae4879bc22c43c5c91) |
.
|
la 2e… |
![{\displaystyle (15,20,27),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903792ebc74210d69dca45bc7e5977bc1203a006) |
![{\displaystyle (27,\ \ 7,\ \ 2),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b77b3353aabd07a8a9e55ab8ad5198802d38489) |
|
Les deux réduites sont opposées et ambiguës ; les deux formes proposées se rapportent parconséquent au premier cas. La suite de formes contiguës sera donc
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
. |
|
Il en résulte
,
,
,
,
,
, d’où l’on déduit
,
,
,
. Donc en faisant
et
, la
forme
se change en
.
De la solution du problème précédent on déduit facilement la solution de celui-ci :
et
étant deux formes improprement équivalentes, trouver une transformation impropre de
en
Soit en effet
, la forme
, qui est opposée à
sera proprement équivalente à
. On n’a donc qu’à chercher une transformation propre de
en
; soit
,
cette transformation ; il est clair (nos 158 et 159) que
deviendra
par la transformation
,
qui sera impropre.
Si donc les formes
,
sont équivalentes tant proprement
qu’improprement, on pourra trouver une transformation propre
et une transformation impropre.
179. Problème. Étant données deux formes équivalentes
trouver toutes les transformations de
en
Si les formes
et
ne sont équivalentes que d’une manière,
c’est-à-dire, proprement ou improprement, on cherchera par
le no précédent une transformation de
en
, et il est clair
qu’il ne peut y en avoir d’autres que celles qui sont semblables
à celle-là. Si les formes
,
sont équivalentes des deux manières, on cherchera deux transformations, l’une propre, l’autre
impropre. Soit
,
et
le plus
grand commun diviseur des nombres
,
,
. Alors, par le
no 162 il est constant que toutes les transformations de
en
se déduiront d’une seule dans le premier cas, et que dans le
second toutes les transformations propres se déduiront d’une transformation propre, et toutes les transformations impropres, d’une
transformation impropre, pourvu qu’on ait toutes les solutions de
l’équation
. Dès qu’elles seront trouvées, le problème sera résolu.
Or comme on a
, il s’ensuit que
,
ou
; donc
est un nombre entier. Cela posé,
1o. Si
, on aura
, et partant, dans l’équation
, on a nécessairement
et
. Donc si
et
ne sont équivalentes que d’une manière, et qu’on ait une
transformation
,
, on n’en trouvera pas
d’autres que celle-là même qui résulte de la supposition
(no 162), et la transformation
,
;
mais si
et
sont équivalentes des deux manières, et qu’on
ait une transformation propre
,
, et
une impropre
,
, on n’en trouvera
pas d’autres que ces deux, qui naissent de la supposition
,
et les deux
,
, …
,
, que fournit la valeur
.
2o. Si
ou
, l’équation
admettra quatre
solutions :
,
;
,
;
,
;
,
. Donc si
,
sont équivalentes d’une seule manière,
et qu’on ait la transformation
,
, on
en tirera en tout les quatre suivantes :
, |
——— |
, |
|
, |
|
; |
|
mais si
et
sont équivalentes des deux manières ; c’est-à-dire
si, outre la transformation donnée, il y en a encore une qui soit
dissemblable, cette dernière en fournira encore quatre, desorte
qu’il y aura huit transformations. Au reste il est aisé de démontrer que si
,
et
sont toujours équivalentes des deux
manières. En effet, comme on a alors
,
lui-même sera divisible par
, et si l’on considère la forme
, son déterminant sera
, et partant elle sera équivalente à l’une des formes
,
. Or on voit
facilement que la même transformation qui change
en
, changera la forme
en
,
qui est ambiguë ; donc la forme
étant équivalente à
une forme ambiguë, sera équivalente des deux manières, à la
forme
(nos 163 et suiv.).
3o. Si
ou
,
sera nécessairement pair, et
comme dans l’équation
, il faut que
, on aura
six solutions :
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
. Si donc
on connaît deux transformations dissemblables,
, |
——— |
; |
|
, |
——— |
![{\displaystyle y=\gamma 'x'+\delta 'y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c7eecc13ab3279b031dd363d297f99455a4fdb) |
|
on en déduira douze autres, savoir, six semblables à la première, et
qui sont :
![{\displaystyle x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52c38d57d310f38e2bbc90a27860263a3bb7309) |
![{\displaystyle \pm \alpha x'\pm \beta y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fcf0e862d5920aefbb24d9b24294a87a657bd2) |
; |
|
![{\displaystyle x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52c38d57d310f38e2bbc90a27860263a3bb7309) |
![{\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}}\alpha -{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}\right)x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0291de71c4b74ef3e0b016a57a71976b433d7ba) |
![{\displaystyle +\left(\pm {\frac {1}{2}}\beta -{\frac {\beta B+\delta C}{m}}\right)y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e9707b163bae68cea60be7675c588f5a23bdfe) |
|
![{\displaystyle y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b65dd6cfd102bf21539fdabb5b129901cbba4f8) |
![{\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}}\gamma +{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}\right)x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6c3dcd5fe57999c18e8382ab427033b875b63f) |
, |
|
![{\displaystyle x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52c38d57d310f38e2bbc90a27860263a3bb7309) |
![{\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}\right)x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5207af17bdd45dcaf6b85955dc540effe1b86d42) |
![{\displaystyle +\left(\pm {\frac {1}{2}}\beta +{\frac {\beta B+\delta C}{m}}\right)y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a45794ef887c1acd7878832ba5f843ba1d9d26) |
|
![{\displaystyle y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b65dd6cfd102bf21539fdabb5b129901cbba4f8) |
![{\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}\right)x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b435ea8070aa2d39180bb8c255c1e1cb858e46a3) |
, |
|
et six semblables à la seconde, qu’on obtiendra en mettant dans celles-ci
pour
. Mais on peut faire voir que dans
ce cas
et
sont équivalentes des deux manières ; car la forme
aura
pour déterminant, et sera
par-conséquent équivalente à la forme
ou à celle-ci
(no 176), d’où l’on voit facilement que la forme
équivaut à l’une des formes
,
,
qui sont toutes deux ambiguës. Donc, etc.
4o. Si
, on a
, et partant
. Mais comme aucun quarré ne peut être
(no 103), cette hypothèse est inadmissible.
5o. Si
, on a
, ce qui
est impossible ; donc cette hypothèse est encore inadmissible.
Comme d’ailleurs
ne peut être ni
, ni
, il n’y a
pas d’autres cas que ceux que nous venons de parcourir.
180. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné
par la forme
…F, dont le déterminant est négatif, les valeurs de
et de
étant premières
entre elles.
On a vu (no 154) que l’on ne pouvait résoudre ce problème que
dans le cas où
est résidu quadratique de
on cherchera
donc d’abord toutes les valeurs différentes, c’est-à-dire, incongrues de l’expression
soient ces valeurs
,
etc. Pour rendre le calcul plus simple, on
peut prendre toutes ces valeurs telles qu’elles ne soient pas
Cela posé, comme une quelconque des représentations appartient à
quelqu’une de ces valeurs, nous considérerons chacune en particulier.
Si les formes
,
ne sont pas proprement équivalentes, il n’y aura aucune représentation de
qui appartienne
à la valeur
(no 168) ; mais si elles le sont, on n’a qu’à chercher une transformation propre de
en
, qui
soit
,
, et l’on aura
,
pour
la représentation du nombre
par la forme
, qui appartient
à la valeur
. Soit
le plus grand diviseur commun des nombres
,
,
, et nous pourrons distinguer trois cas :
1o. Si
, il n’y aura pas d’autres représentations que ces
deux-ci :
,
;
,
(nos 169, 180).
2o. Si
, il y aura quatre représentations :
,
,
,
.
3o. Si
, il y aura six représentations :
, |
—— |
; |
|
, |
|
; |
|
, |
|
. |
|
On cherchera de la même manière les représentations que donnent
les valeurs
etc.
181. La recherche des représentations du nombre
par la
forme
, dans laquelle
et
ont des valeurs quelconques, peut
se ramener au premier cas. Supposons que cette représentation ait
lieu en faisant
,
, ensorte que
soit le plus grand
diviseur commun des nombres
,
, ou que
et
soient premiers entre eux ; on aura
, et parconséquent
est divisible par
; et la substitution
,
fournira une représentation du nombre
par la forme
, dans laquelle
et
ont des valeurs premières entre elles. Si donc
n’est divisible par aucun quarré, il n’y aura pas de telles représentations ;
mais s’il renferme des diviseurs quarrés, que nous appellerons
,
,
, etc ; On cherchera d’abord toutes les représentations du
nombre
par la forme
, dans lesquelles les valeurs
de
,
sont premières entre elles ; ces valeurs multipliées par
,
donneront toutes les représentations de
, dans lesquelles
est
le plus grand commun diviseur de
et de
; de la même manière on trouvera toutes les représentations dans lesquelles
est
le plus grand commun diviseur de
et de
, etc.
On peut donc, par les méthodes que nous venons d’exposer,
trouver toutes les représentations d’un nombre donné, par une
forme donnée de déterminant négatif.
182. Descendons maintenant à quelques cas particuliers remarquables autant à cause de leur élégance, que par l’assiduité avec
laquelle Euler s’en est occupé.
1o. Aucun nombre, à moins que son résidu quadratique ne soit
, ne peut être représenté par la forme
, dans laquelle
et
sont premiers entre eux, ou sont décomposables en
deux nombres quarrés premiers entre eux ; mais tous les nombres
qui jouiront de cette propriété pourront se décomposer en deux
quarrés. Soit
un de ces nombres, et
,
,
, etc.
les valeurs de l’expression
; alors par le no 176
la forme
sera proprement équivalente à la forme
; soit
,
une transformation
propre de la forme
en la forme
; on
aura les quatre représentations suivantes du nombre
par la forme
, savoir,
,
;
,
. 2o.— no 180).
Comme la forme
est ambiguë, il est évident que la
forme
lui est aussi proprement équivalente,
et que la première se change en la seconde par la transformation propre
,
, d’où naissent quatre
représentations de
appartenantes à
,
,
;
,
. Il suit de là qu’il y a huit représentations
du nombre
, dont quatre appartiennent à la valeur
, et quatre
à la valeur
. Mais toutes ces représentations donnent la même
décomposition du nombre
en deux quarrés,
, tant
qu’on ne considère que les quarrés, et non l’ordre et les signes
des racines.
Si donc il n’y a pas d’autres valeurs que
et
pour l’expression
, ce qui arrive, par exemple, toutes les fois
que
est un nombre premier,
ne pourra être décomposé que
d’une manière en deux quarrés. Or comme
est résidu de tous
les nombres premiers de la forme
(no 108), et qu’un nombre
premier ne peut évidemment se partager en deux quarrés non
premiers entre eux, nous aurons le théorème suivant.
Tout nombre premier de la forme
peut être décomposé en deux quarrés, et ne peut l’être que d’une seule manière.
Ainsi :
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 13}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d478c234d544278fb494e9610b7b3310567302b0) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 17}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64120a0494859d76d7b9621af60dab553bd82dc) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
,
|
![{\displaystyle 29}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7da87a63c962a07867681e0ef399d022c7f05ec) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 37}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e90c7510ed098d88f9e035a632975433544834) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 41}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ce816360a606ee8881ba721749349034d4b21e) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960615e346e1c003a911f45b1225113ea01b4ff7) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 53}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f879d91aeaa649623dac6606b17928a66fb1042) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
,
|
![{\displaystyle 61}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e82a258f1b668483f493f6d54bc1d5ae478bc27) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8acf6937f13156a1301ebb614c5364d16597e42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 731}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbca7cd42147d372a0d2af460aea188cffa3c8ae) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 89}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0f63bb0e0e4403e59445ee4051c4360da06448) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8acf6937f13156a1301ebb614c5364d16597e42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 97}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5424b3c5933c8f3b2f87d44c950a2a4d74b51e91) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960615e346e1c003a911f45b1225113ea01b4ff7) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
etc.
|
Ce théorème élégant a été donné par Fermat, mais Euler est le
premier qui l’ait démontré, Comm, nov. Petr. T. V. ann. 1754 et 1755. p. 3. Dans le T. IV, il existe une dissertation sur le même
sujet, p. 8 ; mais alors il n’était pas parvenu à son but.
Si donc un nombre de la forme
ne peut pas être décomposé en deux quarrés, ou peut l’être de plusieurs manières,
on sera sûr que ce n’est pas un nombre premier.
Mais réciproquement, si l’expression
a encore
d’autres valeurs que
et
, il y aura d’autres représentations
de
. Ainsi, dans ce cas,
peut se décomposer en deux quarrés
de plusieurs manières ; par exemple :
![{\displaystyle 65=1+64=16+49,\quad 221=25+196=100+121.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45c3cc0b22902c1b94a6a657af1c06031756e29)
Les autres représentations dans lesquelles
et
prennent des
valeurs non premières entre elles, se trouvent facilement par notre
méthode. Observons seulement que si le nombre
renferme des
facteurs de la forme
, dont on ne puisse pas le délivrer en
le divisant par un quarré, ce qui arrivera toutes les fois que le
nombre
renfermera des puissances impaires de ces facteurs, il
ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés[7].
2o. Pour qu’un nombre puisse être représenté par la forme
et
étant premiers entre eux, il faut que ce nombre
ait
pour résidu. Soit donc
un nombre qui ait
pour résidu,
et soit
une valeur de
alors (no 176) les formes
seront proprement équivalentes. Supposons que la première se change en la seconde par la transformation propre
on aura deux
représentations
du nombre
appartenantes
à la valeur
et il n’y en aura pas d’autres (no 180 — 1o.) D’ailleurs
on voit, comme ci-dessus, que les représentations qui appartiennent
à
sont
Mais ces quatre représentations ne
donnent qu’une seule décomposition du nombre
en un quarré
et le double d’un quarré, et si l’expression
n’a
pas d’autres valeurs que
et
il n’y aura pas d’autre décomposition, De là, à l’aide des propositions du no 116, on déduit
facilement le théorème suivant :
Tout nombre premier de la forme
ou
peut être décomposé en un quarré et le double d’un quarré, et cela d’une seule manière ; ainsi,
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6aabe7c6af49fe640b2d401cb2dbe909bb7475) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 17}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64120a0494859d76d7b9621af60dab553bd82dc) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
,
|
![{\displaystyle 19}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12e89044b8eb4a6034d16a39e9c9d0b5c2518ba) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 41}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ce816360a606ee8881ba721749349034d4b21e) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 43}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c7b3694c74a05bcf03e265ed8531afecc44610) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8acf6937f13156a1301ebb614c5364d16597e42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 59}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566ac8d785505c91c8d7db51fbf641a6467fcdbd) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
,
|
![{\displaystyle 67}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00887c5100c2333e4b2b56c086499550a57d069a) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 49}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e854adb3d39762b45aea9e0b4df5188127c7a74) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 73}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af104862bafc7194cdeb00a33a8f210db45197b7) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 83}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3e3618c8ac0e3416e547af0540683796d95b38) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 81}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5dd0d669be9acefe32df36db4fae87c7752248) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 89}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0f63bb0e0e4403e59445ee4051c4360da06448) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 81}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5dd0d669be9acefe32df36db4fae87c7752248) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
,
|
![{\displaystyle 97}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5424b3c5933c8f3b2f87d44c950a2a4d74b51e91) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8acf6937f13156a1301ebb614c5364d16597e42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
etc.
|
Ce théorème, ainsi que plusieurs autres semblables, était connu
de Fermat ; mais Lagrange l’a démontré le premier (Suite des Recherches Arithmétiques. Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin, 1775, p. 323). Euler avait déjà trouvé beaucoup de choses qui appartenaient à ce sujet (Specimen de usu observationum in mathesi purâ. Com. nov. Petr. T. V. ) ; mais la démonstration, complète lui a toujours échappé, p. 220. On peut voir aussi, T. VIII,
la dissertation intitulée : Supplementum quorumdam theorematum arithmeticorum.
3o. Par la même méthode on démontrera que tout nombre dont
est résidu quad., peut être représenté par la forme
,
ou par la forme
de manière que
et
soient
premiers entre eux. Donc, comme
est résidu de tous les nombres
de la forme
(no 119), et qu’il n’y a que des nombres pairs
qui peuvent être représentés par la forme
, on
aura, comme plus haut, le théorème suivant :
Tout nombre premier de la forme
peut se décomposer en un quarré et le triple d’un quarré, et cela d’une seule manière,
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee716ec61382a6b795092c0edd859d12e64cbba8) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 13}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d478c234d544278fb494e9610b7b3310567302b0) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 19}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12e89044b8eb4a6034d16a39e9c9d0b5c2518ba) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960615e346e1c003a911f45b1225113ea01b4ff7) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
,
|
![{\displaystyle 31}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3401a982f566c6555f8196ab4c4fea0e46012539) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 37}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e90c7510ed098d88f9e035a632975433544834) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8acf6937f13156a1301ebb614c5364d16597e42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 43}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c7b3694c74a05bcf03e265ed8531afecc44610) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960615e346e1c003a911f45b1225113ea01b4ff7) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 61}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e82a258f1b668483f493f6d54bc1d5ae478bc27) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 49}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e854adb3d39762b45aea9e0b4df5188127c7a74) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
,
|
![{\displaystyle 67}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00887c5100c2333e4b2b56c086499550a57d069a) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 64}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482f6722cbd449a0df54e03c71143afc7cb1ea4b) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 73}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af104862bafc7194cdeb00a33a8f210db45197b7) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8acf6937f13156a1301ebb614c5364d16597e42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
etc.
|
Euler a donné le premier la démonstration de ce théorème
dans le mémoire déjà cité (Comm. nov. T. VIII.). Nous pourrions continuer de la même manière, et démontrer, par exemple,
que tout nombre premier de la forme
,
,
,
(ceux dont
est résidu) peuvent être représentés par
l’une ou l’autre des formes
et
; savoir,
les nombres de la forme
,
, par la première ; ceux
de la forme
,
, par seconde ; tandis que les
nombres doubles de ceux de la forme
,
seraient
représentés par la forme
, et que les nombres
doubles de ceux de la forme
,
, le seraient par
la forme
: mais chacun, déduis facilement cette proposition, et une infinité d’autres particulières, tant de ce qui précède
que de ce que nous allons exposer.
Nous passerons donc aux formes de déterminant positif, et comme
leur nature diffère quand le déterminant est quarré, et quand il
ne l’est pas, nous commencerons par exclure ici le premier cas, que
nous considérerons ensuite à part.