183. Problème. Étant donnée une forme quelconque dont le déterminant soit un nombre positif et non quarré, trouver une forme qui lui soit proprement équivalente, et dans laquelle soit positif et , et dans laquelle s’il est positif ou si est négatif, soit compris entre et
Nous supposons que les deux conditions ne se trouvent pas réunies
dans la forme proposée, autrement il serait inutile d’en chercher
une autre ; et nous observerons qu’aucun des termes extrêmes ne peut
être nul, car, sans cela, le déterminant serait un quarré (no 171).
Cela posé, soit et compris entre et
(en prenant le signe supérieur quand est positif, et
le signe inférieur quand il est négatif) ; il est aisé de démontrer
que l’opération est possible, par un raisonnement semblable à
celui du no 5. Soit ensuite , sera un nombre entier, parceque . Si ,
on prendra encore , et compris entre et
(suivant que sera positif ou négatif), et ;
si l’on a on prendra encore et
compris entre et , et , etc. On continuera ainsi jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme qui
ne soit pas plus petit que le précédent , ce qui doit arriver
nécessairement, car autrement une progression de nombres entiers
pourrait décroître à l’infini. Alors en faisant , ,
, la forme satisfera à toutes les conditions.
En effet :
1o. Puisque dans la suite de formes , , , etc.
une quelconque est contiguë à celle qui la précède ; la dernière
sera proprement équivalente à la première.
2o. Comme est compris entre et , en prenant
toujours le signe supérieur quand est positif, et le signe inférieur quand il est négatif, il est clair que si l’on fait
et , et seront des nombres positifs,
quel que puisse être le signe de . Or on s’assurera aisément que ; or le premier
membre est essentiellement positif, donc le second l’est aussi ; et
comme , il s’ensuit que ; mais
n’est pas plus grand que , donc nécessairement et sont de
signe contraire ; donc aussi, puisque , on a
et .
3o. Puisque et que , on a
(abstraction faite du signe) ; et comme est non , on a
aussi ; donc sera positif, et partant, qui
est compris entre et .
4o. Donc, à plus forte raison, ; et comme
, sera compris entre les limites
et.
Exemple. Soit la forme dont le déterminant est
; on trouvera la suite des formes : ,
, , . La dernière est la
forme cherchée.
Nous appellerons formes réduites les formes , dans
lesquelles pris positivement, est compris entre et
étant positif et et le déterminant étant
positif et non quarré. Ces formes réduites diffèrent un peu de
celles dont le déterminant est négatif ; mais à cause de leur grande
analogie, nous n’avons pas voulu introduire des dénominations
différentes.
184. Si l’on pouvait reconnaître l’équivalence de deux formes
réduites de déterminant positif, aussi facilement que nous l’avons
fait pour celles de déterminant négatif (no 172), on reconnaîtrait
sans peine l’équivalence de deux formes quelconques de déterminant
négatif : mais ici la chose est bien différente, et il peut arriver
qu’un grand nombre de formes réduites soient équivalentes entre
elles. Ainsi, avant d’entreprendre cette recherche, il est nécessaire d’examiner plus à fond la nature des formes réduites (de
déterminant positif non quarré, ce qu’on doit toujours sous-entendre
dans ce que nous aurons à dire).
1o. Si est une forme réduite, et seront de signe
contraire ; car en nommant le déterminant, on aura
et partant négatif, puisque .
2o. Le nombre pris positivement, est, ainsi que , compris
entre et ; car ; donc, abstraction
faite du signe, sera compris entre et
3o. Il suit de là que est aussi une forme réduite.
4o. et seront ; car chacun d’eux est , et
à plus forte raison .
5o. est compris entre et (en prenant le signe
supérieur lorsque est positif, et le signe inférieur quand il est
négatif). En effet, comme est compris entre et
, on aura , ou : d’ailleurs
, donc est compris entre et . On démontrerait absolument de la même manière que est compris entre
et (suivant que est positif ou négatif).
6o. Pour toute forme réduite , on peut en trouver une également réduite qui lui soit contiguë par l’une ou l’autre partie ; mais on n’en pourra trouver qu’une.
Soit , , et compris entre et
, ; la forme sera contiguë par la
dernière partie, à la forme ; et il est clair que s’il
existe une forme réduite contiguë à la forme par la
dernière partie, elle ne peut être autre que ; il reste
à faire voir que cette forme est effectivement réduite.
(A). Soit fait ; ,
il suit de la définition des formes réduites, et de (2o),
que , , sont positifs ; et si l’on fait encore
,
, et seront positifs, puisque tombe entre
et ; soit enfin , sera entier. Or il est
clair que , d’où il suit que , et
partant , et non ; et comme on a encore
, d’où l’on tire ,
il s’ensuit que est nécessairement positif, et comme ,
que .
(B). Or on a , d’où donc d’ailleurs
donc donc enfin est compris entre
et
La forme est donc une forme réduite.
On démontrera de la même manière, que si l’on fait
, et compris entre et ,
, sera une forme réduite. Il est manifeste d’ailleurs
qu’elle est contiguë par la première partie à la forme ,
et que nulle autre forme réduite ne peut jouir de la même propriété.
Exemple. Soit la forme réduite dont le déterminant est , on trouvera les réduites ,
dont la première est contiguë à par la dernière
partie, et la seconde par la première partie.
7o. Si la forme réduite est contiguë par la dernière partie à la forme , la réduite sera contiguë par la
première partie à la réduite et si la réduite
est contiguë par la première partie à la réduite , la réduite sera contiguë par la dernière partie à la réduite
. Or les formes , ,
seront des réduites, et la seconde sera contiguë à la première,
la troisième à la seconde, par la dernière partie ; ou bien, la
première sera contiguë à la seconde, la seconde à la troisième,
par la première partie. Il en est de même des formes ,
, , Ces vérités sont si évidentes,
qu’elles n’ont pas besoin d’explication.
185. Le nombre des formes réduites d’un déterminant donné
est toujours fini, et elles peuvent se trouver de deux manières.
Représentons indéfiniment par toutes les formes réduites
dont le déterminant est , ensorte qu’il s’agisse de trouver toutes
les valeurs de , , .
Première méthode. On prendra pour tous les nombres plus
petits que soit positivement, soit négativement, dont
est résidu quadratique ; et pour chaque valeur de , on fera
égal aux différentes valeurs de l’expression comprises
entre et , et . S’il en résulte quelques
formes dans lesquelles sorte des limites et,
il faudra les rejeter.
Deuxième méthode. On prendra pour tous les nombres positifs
pour chaque valeur de , on décomposera de
toutes les manières possibles en deux facteurs qui soient compris
entre et , abstraction faite du signe, et l’on
fera l’un d’eux et l’autre . Il est évident que chaque
décomposition en facteurs donnera deux formes, car l’un quelconque des deux facteurs peut être pris pour , et l’autre pour .
Exemple. Soit ; par la première méthode, on trouve
pour vingt-deux valeurs : , , , , , , , , , , ,
d’où résultent les 19 formes suivantes :
, |
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
.
|
On en trouvera encore autant en changeant les signes des fermes
extrêmes, par exemple : , , etc., ensorte qu’on en aura trente-huit en tout. Mais comme doit
être compris entre les limites et , il faut rejeter
les six formes : , , ;
et les trente-deux qui restent, forment toutes les formes réduites.
Par la seconde méthode, on déduit les mêmes formes dans
l’ordre suivant :
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
.
|
186. Soit une forme réduite de déterminant D, et la forme
réduite contiguë à par la dernière partie ; soit de même la
réduite contiguë à , à , etc., il est clair que toutes les
formes , , , etc. sont absolument déterminées, et qu’elles
sont proprement équivalentes entre elles et à la forme . Mais
comme le nombre des formes réduites de déterminant donné est
toujours fini, il est manifeste que toutes les formes , , , etc.
ne peuvent pas être différentes. Supposons que et soient
identiques, et sont réduites et contiguës par la
première partie à la même forme réduite ; et partant identiques,
on a de même , etc., et enfin . Ainsi
dans la progression , , , etc., pourvu qu’on la continue assez
loin, on retrouvera enfin la forme ; et si nous supposons que soit la première identique avec , c’est-à-dire que toutes les
formes , ,… soient différentes de , il est aisé de voir
que toutes les formes , ,… seront différentes entre elles. Nous appellerons l’ensemble de toutes ces formes la période de la forme ; si donc on continue la suite après la dernière forme de la période, les formes , , etc. reparaîtront de nouveau, et la suite entière sera composée de cette période répétée à l’infini.
La progression , , , etc. peut aussi être continuée en sens inverse, en plaçant avant la forme une forme qui lui soit contiguë par la première partie, avant celle-ci une forme
, etc. On aura de cette manière une suite de formes infinie dans les deux sens,
et l’on verra facilement que est identique avec , avec
, etc. et que parconséquent la suite est aussi formée, vers la gauche, de la période de la forme répétée à l’infini.
Si l’on attribue aux formes , , , etc. , , etc. les indices , , , etc. , , etc., et généralement à la forme
l’indice , à la forme l’indice , il est clair que des formes quelconques de la suite seront identiques ou différentes, selon que leurs indices sont congrus ou incongrus, suivant le module . Il ne faut pas confondre les indices dont il est question ici, avec ceux du no 57. Les premiers ne sont que des accens, et les derniers de véritables exposans.
Exemple. La période de la forme , dont le déterminant est , se trouve ainsi être :
après la dernière, la première reparaît, et l’on a ici .
187. Voici encore quelques observations générales sur ces périodes.
1o. Si les formes , , , etc. , , etc. sont présentées
comme il suit : , , , etc.
, , , etc. tous les nombres
, , , , etc. , , , etc. auront le même signe (no 184 —1o.),
et les nombres , , , , etc. , , etc. seront nécessairement positifs.
2o. Il suit de là que le nombre des formes de la période est
toujours pair ; car le premier terme d’une forme quelconque
de cette période, aura évidemment le même signe que le premier
terme de la forme si est pair, et le signe contraire si
est impair ; or et sont identiques, donc est un nombre
pair.
3o. Dans le calcul indiqué (no 184—6o.), pour trouver les
différentes formes , , etc., au lieu des expressions
|
,
|
|
,
|
|
,
|
etc. |
|
on peut substituer les suivantes, qui sont plus commodes, lorsque est un grand nombre, et qui s’en déduisent facilement :
|
|
|
,
|
|
|
|
,
|
|
|
|
,
|
etc. |
|
4o. Une forme quelconque contenue dans la période de conduit à la même période qu’elle ; ensorte que la période de cette forme sera , …, , , … , dans laquelle les mêmes formes reviennent dans le même ordre, et qui ne diffère de la première que par le commencement et la fin.
5o. Il suit de là que toutes les formes réduites de même déterminant peuvent être distribuées en périodes. On prendra une quelconque de ces formes, et l’on cherchera sa période que nous désignerons par . Si ne renferme pas toutes les formes réduites dont le déterminant est , soit une des formes
qui n’y est pas contenue, et sa période, il est clair que et n’ont aucune forme commune, car autrement serait contenue
dans et les périodes coïncideraient. Si et n’épuisent pas encore toutes les formes réduites, une de celles qui y manquent fournira une troisième période , qui n’aura aucune forme commune avec et , et ainsi de suite, jusqu’à ce que toutes les formes réduites soient épuisées. Ainsi, par exemple, les formes
réduites dont le déterminant est se distribuent en six périodes,
1… |
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|
|
|
|
2… |
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|
|
3… |
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|
4… |
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5… |
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6… |
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6o. Nous nommerons formes associées, celles qui sont composées des mêmes termes, mais placés dans un ordre inverse,
comme , . On voit alors facilement
(no 184, 7o.) que si la période de la forme réduite est , ,
etc., que soit associée à , à , à etc.
à , à , la période de sera , , , …,
et contiendra, partant, le même nombre de formes que la période de . Nous nommerons périodes associées celles qui sont
ainsi composées de formes associées. Les périodes 3 et 6, 4 et 5
de l’exemple précédent sont dans ce cas-là.
7o. Mais il peut arriver aussi que la forme se trouve elle-même
dans la période de son associée, comme aux périodes 1 et 2 de
notre exemple, et que parconséquent la période de la forme
coïncide avec celle de la forme , c’est-à-dire que la période de la forme soit elle-même son associée. Toutes les fois que cette
circonstance a lieu, la période renferme deux formes ambiguës. Supposons en effet que la période de la forme contienne formes,
ou que . Soit l’indice de la forme dans la période de (car et ont leurs premiers termes de signe contraire, (2o.), c’est-à-dire que et soient associées ; il est
évident qu’alors et seront aussi associées, de même et
etc., et partant et . Soit ,
; on aura ; mais par la définition des formes associées .
donc c’est-à-dire que la forme
est ambiguë. De même, les formes et sont associées,
donc aussi et , et , etc. et enfin
et dont la dernière sera ambiguë, comme on
le prouvera par un raisonnement semblable. Mais comme
et sont incongrus suivant le module , les formes
et ne seront pas identiques (no 186, où représente
ce que représente ici ), Dans la période 1, les formes ,
; dans la période 2, les formes ,
sont ambiguës.
8o. Réciproquement, toute période qui renferme une forme ambiguë sera elle-même son associée. En effet, on voit aisément que si est une forme réduite ambiguë, sa forme associée, qui est aussi réduite, lui sera en même temps contiguë
par la première partie, c’est-à-dire que et sont associées. Mais alors toute la période sera elle-même son associée.
Il suit de là que dans une période, il faut nécessairement qu’il
y ait plus d’une forme ambiguë ; mais il ne peut y en avoir
plus de deux.
En effet, supposons que dans la période de la forme , il se
trouve trois formes ambiguës , , , , , étant ,
et inégaux. Alors les formes et seront associées ; de
même et , etc. et enfin et ; par la même
raison, et , et , seront associées. Donc les
formes , , seront identiques, et partant
leurs indices seront congrus suivant le module ; donc aussi
, ce qui est absurde, puisqu’il est évident
qu’il n’y a pas trois nombres différens congrus suivant le module , et plus petits que lui.
188. Comme toutes les formes de la même période sont proprement équivalentes, on est porté naturellement à chercher si deux
formes prises dans des périodes différentes peuvent être équivalentes. Mais avant de prouver que la chose est impossible, il
est nécessaire que nous nous occupions de la transformation des
formes réduites.
Comme dans ce qui va suivre il sera souvent question de la
transformation des formes, et afin d’éviter autant qu’il est possible
la prolixité, nous nous servirons dorénavant de la manière suivante d’écrire. Si une forme se change
en la forme par la substitution ,
, nous dirons plus simplement que se
change en par la substitution , , , . De cette
manière il ne sera pas nécessaire de représenter par des caractères particuliers les indéterminées des formes dont il sera question ; mais il est clair qu’il faut bien distinguer dans toutes les
formes la première et la seconde indéterminée.
Soit proposée la forme réduite et dont le déterminant est ; on formera comme au no 186 une suite de formes
réduites qui s’étende indéfiniment dans les deux sens,… , ,
, , … ensorte que l’on ait
|
, |
— |
|
|
|
|
, |
— |
|
|
|
Faisons
,__ |
__,__ |
__, |
|
,__ |
__,__ |
__, |
|
Il est clair que si l’on calcule les nombres , , etc., , , etc. par le moyen des relations suivantes (comme au no 177).
|
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…
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|
|
…
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|
|
…
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|
|
…
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|
…
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…
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|
…
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|
|
…
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…
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…
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…
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|
|
…
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se changera en par la substitution et toutes ces transformations seront propres.
Comme se change en par la substitution propre , , ,
(no 161), se changera en par la substitution propre , , , ; par la même raison se changera en par la substitution propre
, , , , en par la substitution propre , , , , etc. ;
de là, et au moyen du no 159, on déduira comme au no 177 les
relations suivantes entre , etc. , , etc.
|
|
…
|
|
|
…
|
|
|
…
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|
|
|
|
|
…
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|
|
…
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|
…
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|
…
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|
…
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|
…
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…
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|
…
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|
|
…
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et,
se changera en |
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par la substitution |
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|
etc. |
etc.
|
et toutes ces transformations seront propres.
Si l’on fait ces nombres auront
la même relation avec la forme que avec la forme
avec la forme etc., avec etc.
C’est-à-dire, que par la substitution la forme se
change en mais alors les suites etc. etc.,
par intercalation de se joindront parfaitement, et n’en feront plus qu’une seule allant à l’infini dans les deux sens, et dont
tous les termes suivent la même loi …
La loi de cette suite est celle-ci :
|
, |
__
|
|
, |
__
|
|
,
|
|
, |
__
|
|
, |
__
|
etc.
|
ou généralement, en regardant l’accent négatif écrit à droite
comme l’accent positif écrit à gauche,
De même la suite , , , , , etc, sera continue, et la loi
de ses termes sera ; cette suite est la
même que la précédente, en remplaçant par , par , par , etc.
La loi de la progression etc. sera
et celle de la progression : etc. sera et en outre généralement
Exemple. La forme se changera ainsi
en———— |
——————par la substitution,
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, |
— |
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, |
— |
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, |
— |
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, |
— |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
— |
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, |
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, |
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, |
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, |
— |
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, |
— |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
— |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
— |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
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, |
— |
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etc. |
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189. À l’égard des calculs précédens, nous ferons plusieurs
remarques.
1o. Tous les nombres etc. etc. auront le même
signe, tous les nombres etc. etc. seront positifs, et les nombres … etc. seront alternatifs,
c’est-à-dire, que si etc. sont tous positifs, ou sera
positif quand est pair, et négatif quand est impair ; et le
contraire aura lieu, si etc. sont tous négatifs.
2o. Si est positif et partant etc., on aura
et ou
et puisque et et
puisque et etc. On conclut de là facilement
que les termes de la suite etc. vont toujours en
augmentant, et qu’il y en a toujours deux positifs et deux négatifs
alternativement, et de manière que a le signe
suivant que si est négatif, on trouvera
par un raisonnement semblable que les termes vont en augmentant,
et que le signe du terme est suivant
que
3o. On trouve de même que les quatre suites infinies etc. ;
etc. ; etc. ; etc., vont en augmentant, ainsi que les suivantes, qui leur sont équivalentes,
etc. ; etc. ; etc. ; etc.,
et suivant que le signe de est :
celui de
celui de celui de
celui de celui de
celui de celui de en prenant les
signes supérieurs quand est positif, et les inférieurs quand
est négatif. Il est surtout important de remarquer que indiquant un accent positif quelconque, et auront les mêmes
signes quand est positif, et des signes contraires quand est
négatif ; il en est de même pour et et le contraire a
lieu pour et et .
4o. On peut présenter, d’après la notation du no 32, les valeurs
de etc. En posant etc. ;
etc., de manière que etc.,
etc. soient positifs, on aura
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…… |
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…… |
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…… |
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…… |
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Quant aux signes, ils doivent être déterminés d’après ce qui
vient d’être dit (3o). Au moyen de ces formules, dont nous omettons la démonstration parcequ’elle est très-facile, le calcul devient extrêmement simple.
190. Lemme. Si désignent des nombres entiers quelconques, mais tels qu’aucun des trois derniers ne soit que soit compris entre et et qu’on ait le dénominateur sera plus grand que et
En effet sera compris entre et et partant
différera de chacune de ces limites d’une quantité plus petite que
leur propre différence, ainsi et
; ce qui donne et ,
et comme , ni ne peuvent être égaux à zéro,
car il en résulterait , ou , ce qui est contre l’hypothèse, et qu’ils ne peuvent être plus petits que , il s’ensuit
qu’on a et .
Il est donc clair que l’on ne peut avoir ; c’est-à-dire que
si , aucun nombre entier ne peut être compris
entre les fractions et , et qu’à plus forte raison zéro ne
peut y être compris, ce qui prouve que ces fractions ne peuvent
être de signes contraires.
191. Théorème. Si la forme réduite dont le déterminant est se change en la forme réduite de même déterminant, par la transformation , , , : 1o. tombera entre et , (pourvu que l’on n’ait ni , ni , c’est-à-dire que les deux limites soient finies), en prenant le signe supérieur, quand les deux limites sont de même signe que et le signe inférieur, quand elles sont toutes deux de signe contraire à celui de [1] ; 2o. tombera entre et (pourvu qu’on n’ait ni , ni ), en prenant les signes comme ci-dessus.
On a les équations
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…(1) |
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…(2) |
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d’où l’on tire
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Il faudrait rejeter celle de ces quatre équations dans laquelle le
dénominateur du premier membre serait nul ; mais il faut déterminer ici les signes dont les radicaux doivent être affectés. Or il
est évident que dans les équations (3) et (4), on doit prendre
le signe supérieur quand et sont de même signe que , car
en prenant le signe inférieur et deviendraient négatifs ; mais
comme et sont de même signe, tombe entre
et , et parconséquent, dans ce
cas, entre et .
On voit de même, dans les équations (5) et (6), qu’il faut
prendre nécessairement les signes inférieurs quand et sont tous les deux de signes contraires à ou , puisqu’en prenant le
signe supérieur, les produits , deviendraient positifs d’où
il suit sans difficulté que tombe dans ce cas entre
et . Si l’on pouvait faire voir avec la même facilité, dans
les équations (3) et (4), que l’on doit prendre les signes inférieurs quand et sont de signe contraire à , et dans les
équations (5) et (6), que l’on doit prendre les signes supérieurs
quand et sont de même signe que ou ; il s’ensuivrait
de la même manière, que dans le premier cas tombe
entre et , et que dans le second tombe entre et ,
ce qui compléterait la démonstration du théorème. Mais quoique
cela ne soit pas difficile, comme pour y parvenir on ne pourrait éviter certains embarras, nous préférons la méthode suivante.
Quand aucun des nombres , , , n’est , et ont
les mêmes signes que et , et l’on sait que si ces deux dernières
quantités sont de signes différens à ou , tombe
entre et ; mais alors les deux quantités et seront aussi de
signes contraires à , et tombera entre et . Or comme
on a , il en résulte , qui tombe
parconséquent entre et . Ainsi la première partie du théorème est démontrée pour le second cas, en supposant que l’on
n’ait ni , ni . De la même manière, quand aucun
des nombres , , , n’est , et que et sont de même
signe que ou , tombe entre et , et partant
entre et ; d’ailleurs , donc tombe entre
et ,
qui sont de même signe que . Ainsi la seconde partie
du théorème est démontrée pour le premier cas, en supposant
que l’on n’ait ni , ni .
Il ne reste donc plus qu’à faire voir la vérité de la première
partie pour le second cas, même en supposant ou ,
et celle de la seconde partie pour le premier cas, même en supposant ou ; mais tous ces cas sont impossibles. Supposons en effet, pour la première partie du théorème, qu’on
n’ait ni , ni , que et soient tous deux de
signe contraire à , et qu’on ait en premier lieu . Alors
l’équation donne et ; donc l’équation (1) devient ; ainsi et et partant et
sont de signes contraires, ce qui rend ;
donc dans l’équation (4), il faut nécessairement prendre le signe
inférieur, car en prenant le signe supérieur, il s’ensuivrait que
aurait le même signe que , et l’on a alors (puisque, par la définition de la forme réduite, . Or
ne peut être plus grand que , puisque et que n’est
pas égal à zéro. En second lieu, soit ; l’équation
donne et ; donc l’équation (2)
devient ; ainsi et sont de même signe, ce qui rend
. Donc dans l’équation (3) on doit
prendre le signe inférieur, puisque en prenant le signe supérieur,
il s’ensuivrait que et seraient de même signe ; on a donc
, ce qui est absurde par la même raison que
ci-dessus. Pour la seconde partie du théorème, si nous supposons
qu’on n’ait ni , ni ; que et aient le même signe
que et qu’on ait, en premier lieu, , l’équation
donne , , donc l’équation (1) devient ,
ainsi et sont de même signe, ce qui rend
. Partant, dans l’équation (6), il faut
prendre le signe supérieur, et l’on a , ce qui est
absurde puisque , et que n’est . Enfin, en second lieu, si l’on a , l’équation donne ,
. Donc l’équation (2) devient , ce qui rend
. Ainsi dans l’équation (5), il faut
prendre le signe supérieur, et l’on a ; ce qui est
absurde.
Le théorème est donc maintenant démontré dans toute sa
généralité.
Puisque la différence entre et est , la différence entre
et ou sera . D’ailleurs entre et , ou
entre cette quantité et , il ne pourra tomber aucune fraction
dont le dénominateur ne soit et (lemme précéd.). De
la même manière, la différence entre et ou sera
, et il ne pourra tomber entre cette quantité et l’une
quelconque de ces fractions, aucune fraction dont le dénominateur ne soit plus grand que et .
192, De l’application du théorème précédent à l’algorithme du
no 188, il suit que la quantité , que nous désignerons par ,
tombe entre et , entre et , entre et , etc. : ou
entre , et , entre et etc. ; et l’on déduit sans peine de ce
qui a été dit no 189 (3o. à la fin) qu’aucune de ces limites ne sera
de signe contraire au signe de , et que partant on doit prendre positivement le radical . Ainsi toutes les fractions dont les accens
sont impairs différeront de dans un sens, et toutes celles dont
les accens sont pairs en différeront dans le sens contraire. Mais
comme , tombera hors et , et de même hors
et , hors et , etc. ; ainsi ces quantités se trouveront évidemment placées dans l’ordre suivant :
d’ailleurs la différence entre et sera plus petite que la différence entre et c’est-à-dire, de même la différence
entre et sera etc. Ainsi les fractions etc.
approcheront de plus en plus de la limite et comme
etc. vont toujours en augmentant indéfiniment, la différence
de ces fractions à peut être rendue aussi petite qu’on le voudra.
Il suit du no 189, qu’aucune des quantités , n’aura
le même signe que on déduit de là, par des raisonnemens
absolument semblables aux précédens, que ces fractions et
doivent être placées dans l’ordre suivant :
D’ailleurs la différence entre et est moindre que la
différence entre et est moindre que , etc. Ainsi les fractions , , etc. approchent de de plus en plus et continuellement, et la différence peut être rendue plus petite qu’aucune
quantité donnée.
Dans l’exemple du no 188, on a , et
les fractions convergentes sont : , , , , , , , , etc.
Or cette dernière est égale à . De même
, les fractions convergentes sont :
, , , , , , , , etc., dont la dernière est égale à .
193. Théorème. Si les formes réduites et sont proprement équivalentes, chacune d’elles est contenue dans la période de l’autre.
Soit , , leur déterminant commun, et supposons que la première se change en la deuxième par la substitution propre , , , . Je dis qu’en cherchant la période de la forme , et en calculant dans les deux sens la progression indéfinie des formes réduites et des transformations de en ces différentes formes, comme au no 188, ou bien sera égal à un des termes de la suite … , , , , …, et en le supposant , on aura , , ; ou bien
sera égal à un certain terme , et , , , à , , , respectivement. Dans l’un ou l’autre cas, sera évidemment identique avec .
I. On a quatre équations :
(1)… |
- |
(2)… |
, |
|
(3)… |
- |
(4)… |
|
|
considérons d’abord le cas où quelqu’un des nombres , , ,
est .
1o. Si , l’équation (4) donne , et partant , . Donc l’équation (1) devient ; l’équation (2)
ou. D’où il suit que la forme est contiguë à la forme par
la dernière partie ; mais puisque est une forme réduite, elle
sera nécessairement identique avec (no 184, 6o.). Donc ,
et partant l’équation (2) donne ; et comme d’ailleurs on a , on en tire ; Il suit de là qu’on a
, , , , , , , ou , , , , respectivement.
2o. Si , l’équation (4) donne , ; l’équation (3) l’équation (2) , ou ;
mais comme et sont des formes réduites, et tomberont
entre et , suivant que sera positif ou négatif
(no 184, 5o.) ; ainsi on aura nécessairement et , donc
les formes et sont identiques, et , , , ,
, , , , , respectivement.
3o. Si , l’équation (4) donne , ; l’équation (1) l’équation (2) Mais comme et
tombent entre et on aura nécessairement
Ainsi ce cas ne diffère pas du précédent.
4o. Si , l’équation (4) donne , ; l’équation (3) , et l’équation (2) , ou . Ainsi la forme est contiguë à la forme par la première partie, et partant elle sera identique avec la forme :
et comme on a et , on aura . Il suit de là
que , , , , , , , , , respectivement.
Il reste donc le cas où aucun des nombres , , , n’est
. Or par le lemme du no 190, les quantités , , , auront
le même signe, et il en résulte deux cas : celui où leur signe
est le même que celui de et et celui où il est contraire.
II. Si et ont le même signe que , la quantité
tombera entre ces fractions (no 191). Nous allons démontrer que
est égal à quelqu’une des fractions , , , etc., et à
celle qui la suit immédiatement, c’est-à-dire, que si ,
en aura . Nous avons fait voir dans le no précédent que
les quantités , , , etc. (que nous désignerons par , ,
, etc.) et sont placées dans l’ordre suivant:
, ……(I).
La première de ces quantités est (puisque ) ; toutes les
autres ont le même signe que ou ; mais comme par hypothèse et ont le même signe, ils tomberont, par rapport à ,
du même côté que , et comme d’ailleurs tombe entre ces
deux mêmes quantités, elles seront l’une à droite, l’autre à gauche
de . Mais on peut faire voir aisément que ne peut tomber
après , autrement tomberait entre et ; d’où il suivrait, 1o. que tomberait entre et , et que partant le dénominateur de la fraction serait plus grand que (no 190) ; 2o. que
tombe entre et , et que partant est plus grand que le
dénominateur de , ce qui implique contradiction.
Supposons que ne soit égal à aucune des fractions , ,
, etc., et voyons ce qu’il en résulterait. Alors il est évident
que si est situé à gauche de , il tombera entre et , ou
entre et , ou entre et , etc., puisque est irrationnel
et parconséquent différent de , et que les fractions , , etc.
peuvent approcher de de plus près qu’aucune quantité donnée
qui ne serait pas lui-même. De même, si est à droite de ,
il tombera entre deux fractions consécutives de la suite …,
, . Supposons donc que tombe entre et , les fractions , , , se trouveront dans l’ordre suivant :
(II)
[2],
alors sera nécessairement ; car il doit être à droite de ,
et s’il était aussi à droite de , tomberait entre et ,
et l'on aurait ; mais comme tomberait entre et
, il s’ensuivrait qu’on aurait en même temps , ce
qui implique contradiction. Si était à gauche de , il tomberait entre et , et alors on aurait ; mais
comme tombe lui-même entre et , on aurait en même
temps , ce qui implique contradiction. On aura donc
Puisque , et seront premiers entre eux, et par
la même raison et le sont aussi ; d’où l’on voit facilement que l’équation ne peut avoir lieu à moins qu’on n’ait
et , ou et . Or comme la
forme se change par la transformation propre , ,
, en la forme on aura les
équations
|
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…(5)
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…(6)
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…(7)
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|
|
|
…(8)
|
Mais en substituant et pour et dans l’équation (3),
son premier membre devient égal à celui de l’équation (1) ; on
a donc . Or[3] en multipliant l’équation (2)
par , et l’équation (6) par , et retranchant, on voit facilement par le développement qu’on a
|
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|
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…(9),
|
ou comme et ,
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, |
|
ou |
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|
;
|
mais et tombent entre et ; on aura donc
nécessairement , partant , ou .
Ainsi, de la supposition que n’est égal à aucune des quantités , , etc., on fait voir qu’il est égal à l’une d’elles. Si
nous avions supposé d’abord , on aurait eu évidemment
, ; dans les deux cas, la comparaison des
équations (1) et (5) donne , et de l’équation (9),
, ou ; on conclut de
là, comme plus haut, que , partant , et comme
et , et sont premiers entre eux, , .
L’équation (7) donne alors, en la comparant à l’équation (3),
, ainsi les formes et sont identiques.
À l’aide de l’équation , on prouve
sans difficulté que si l’on prend et avec le signe ou avec
le signe , il faut prendre et de même.
III. Si le signe des quantités , etc. est opposé à celui de ,
la démonstration est tellement semblable à la précédente, qu’il
suffit d’ajouter seulement les points principaux.
tombera entre et ; sera égal à une des fractions
, , , etc., et en supposant donc , on aura .
La première de ces deux assertions se prouve comme il suit :
si n’est pas égal à une de ces fractions, elle devra tomber
entre deux et . Or on démontre, comme plus haut,
qu’alors sera nécessairement , et partant
et . Mais , par la substitution propre , , ,
, se change en , d’où naissent
trois équations qui, jointes à l’équation ,
et aux équations (1), (2), (3) et (4), prouvent d’abord que le
terme de la forme est égal au premier terme de la forme ,
ensuite que le terme moyen de la première est congru à celui de
la seconde, suivant le module , et que comme les deux formes
sont réduites, chacun d’eux tombe entre et , ces
deux termes moyens sont égaux ; et de là on conclut que .
Ainsi la vérité de cette première assertion est dérivée de la supposition même qu’elle fut fausse.
Or en supposant on démontre absolument de la même
manière et par les mêmes équations, que , et au moyen
de l’équation , on prouve que si l’on
prend pour et , et avec le signe ou le signe , il
faudra pour et prendre et avec le même signe, et partant que les formes et sont identiques.
194. Comme les formes que nous avons appelées associées
(no 187, 6o.), sont toujours improprement équivalentes (no 159, à la fin), il est clair que si les formes réduites et sont improprement équivalentes, et que la forme soit associée à
les formes et seront proprement équivalentes, et partant, la
forme 6 sera contenue dans la période de la forme ; si donc les
formes et sont équivalentes tant proprement qu’improprement,
on devra trouver et dans la période de . Cette période sera
donc elle-même son associée (no 187, 7o.) ; ce qui sert de confirmation au théorème du no 165, par lequel nous nous étions convaincus qu’on pouvait trouver une forme ambigue équivalente à
deux autres et .
195. Problème. Étant données deux formes et dont le déterminant est le même, distinguer si elles sont équivalentes, ou si elles ne le sont pas.
On cherchera deux formes réduites et , respectivement et
proprement équivalentes aux formes et (no 183). Selon que
ces formes réduites seront seulement proprement ou improprement
équivalentes, ou qu’elles le seront des deux manières, ou qu’elles
ne le seront point, les proposées le seront proprement, improprement, ou de deux manières, ou ne le seront d’aucune manière.
On cherchera la période de l’une de ces deux formes réduites,
par exemple de ; et si la forme s’y trouve sans que son associée
y soit, le premier cas aura lieu ; si cette dernière seule s’y trouve,
le second cas aura lieu ; si toutes deux y sont, ce sera le troisième
cas ; et le quatrième, quand il n’y aura ni l’une ni l’autre.
Exemple. Soient les formes dont
le déterminant est ; on trouve pour réduites équivalentes
, La période de la première est
et comme la forme n’y est pas comprise, mais seulement son associée , les formes proposées sont improprement équivalentes.
Si l’on distribue, comme ci-dessus (no 187, 5o.), toutes les
formes réduites d’un déterminant donné en périodes etc.,
et qu’on prenne dans chacune d’elles une forme quelconque,
dans dans dans , etc., il ne pourra y avoir parmi
ces formes deux qui soient proprement équivalentes ; mais toute
autre forme de même déterminant sera proprement équivalente à
une d’elles et à une seule. Il suit évidemment de là, que toutes les formes de même déterminant peuvent se distribuer en autant de classes qu’il y a de périodes, en renfermant dans la première
toutes celles qui sont proprement équivalentes à , dans la seconde,
toutes celles qui sont proprement équivalentes à , etc. Ainsi
toutes les formes renfermées dans la même classe, seraient proprement équivalentes, mais deux formes prises dans des classes
différentes ne le seront pas. Au reste nous n’insisterons pas davantage ici sur ce sujet, que nous expliquerons plus bas avec détail.
196. Problème. Étant données deux formes et proprement équivalentes, trouver une transformation propre qui change l’une en l’autre.
Par la méthode du no 183, on peut trouver deux suites de
, … , , , … , telles que chacune des formes
soit équivalente à celle qui la précède, et que les dernières
et soient des formes réduites ; et comme et sont supposées
équivalentes, doit se trouver dans la période de . Soit
et sa période prolongée jusqu’à la forme : , , , ……, ,
desorte que ; et désignons par , , …
les formes opposées (no 159) aux associées des formes , , …, respectivement ; alors dans la suite chaque forme est contiguë par la
dernière partie à celle qui la précède ; d’où, par le no 177, on
pourra trouver une transformation de la première en la dernière . Cette liaison entre les formes est évidente depuis jusqu’à
, et depuis jusqu’à . Quant aux formes et ,
on la prouvera comme il suit : soit ; , . La forme sera contiguë
par la dernière partie à chacune des formes , ;
ainsi , et ; donc la forme
est contiguë par la dernière partie à la
forme .
Si les formes et sont improprement équivalentes, la forme
sera proprement équivalente à la forme dont est l’opposée ; ainsi
on pourra trouver une transformation de en cette forme ; et si
elle se fait par la substitution , , , , on voit facilement
que se change improprement en par la substitution .
Il suit de là que si et sont équivalentes proprement et improprement, on peut trouver deux transformations, l’une propre
et l’autre impropre.
Exemple. Soit la forme à transformer en la
forme que nous avons trouvé lui être improprement
équivalente (no précéd.) ; il faudra commencer par trouver la
transformation propre de la forme en la forme
. Pour y parvenir, on établira la suite de formes
;
de là on déduit la transformation propre , qui
change en ; donc la transformation
impropre la changera en .
197. Si l’on connaît une transformation d’une forme
en une autre qui lui est équivalente, on pourra déduire de
celle-là toutes les transformations semblables, pourvu qu’on connaisse toutes les solutions de l’équation indéterminée ,
dans laquelle est le déterminant des formes et , et le
plus grand diviseur commun des nombres (no 162).
Nous allons attaquer, en supposant positif, ce problème que
nous avons déjà résolu pour le cas de négatif. Mais comme
il est évident que toute valeur qui satisfera à l’équation, y satisfera aussi avec un signe contraire, il suffira d’assigner les
valeurs positives de et de , et chaque solution en nombres
positifs fournira quatre solutions effectives. Pour y parvenir, nous
chercherons d’abord les plus petites valeurs de et (excepté
, qui se présentent d’elles-mêmes) ; et celles-ci une
fois connues, nous indiquerons le moyen d’en déduire les autres.
198. Problème. Trouver les plus petits nombres qui satisfont à l’équation indéterminée pourvu qu’il existe une forme dont le déterminant soit et que soit le plus grand diviseur commun des nombres
On prendra à volonté une forme réduite dont le
déterminant soit , et telle que soit le plus grand diviseur
commun des nombres , , , ce qui ne peut manquer d’arriver,
puisque l’on peut trouver une forme réduite équivalente à la
forme , et qu’alors (no 161) elle jouira de cette propriété. Mais pour la proposition actuelle, on pourra employer une
forme réduite quelconque, pourvu qu’elle satisfasse à cette condition. On formera la période de , où nous supposerons qu’il y
ait formes ; en reprenant tous les signes dont nous nous sommes
servis au no 188, on aura , parceque est
pair, et deviendra par la substitution propre , , ,
; mais comme et sont identiques, deviendra aussi
par la substitution propre , , , . De ces deux transformations semblables de en , on peut déduire, au moyen du
no 162, une solution en nombres entiers de l’équation ;
savoir, (équation (18), no 162),
(équation (19))[4]. Désignons par et ces valeurs prises positivement, si elles ne se présentent pas telles, et , seront
les plus petites valeurs de , (excepté et , auxquelles
elles ne pourront jamais revenir, parcequ’on ne peut pas avoir
.
Supposons en effet qu’il existe des valeurs et plus petites
que et et parmi lesquelles on n’ait pas . Alors, par
le no 162, la forme se transforme en elle-même par la substitution propre
Or (no 193, II) doit être égal à l’un des nombres
, par exemple.
En effet, comme on aura et partant positif ; donc la fraction qui répond à la fraction (no 193), aura le même signe que ou , ainsi l’on aura
respectivement ;
mais comme on a , c’est-à-dire, , et , on
aura et ; d’où il suit que les quantités , , , etc.
allant toujours en croissant, tombera entre et exclusivement ; mais la forme , qui correspond à l’accent est identique avec la forme , ce qui est absurde, puisque toutes les
formes , , , etc. jusqu’à sont supposées différentes.
Donc et sont les plus petites valeurs de et , excepté
et .
Exemple. Si et , on pourra employer la forme
réduite , pour laquelle et , ,
(no 188) ; d’où résultent et , qui sont
les plus petites valeurs de et qui satisfassent à l’équation
.
199. On peut trouver des formules encore plus commodes pour
la pratique. En effet, on aura , en multipliant (no ) l’équation (19) par , l’équation (20) par , et
changeant les caractères comme nous l’avons fait, on tire de là
, et partant
,
___
On tirera de même des équations (20) et (21)
,
___
Ces formules deviennent très-commodes, parcequ’on a ,
, et qu’en se servant de la première, il suffira de
calculer la suite , etc., et qu’en se servant de la seconde,
il suffira de calculer la suite , , , etc. En outre, on déduit facilement du no 189, 3o., que étant pair, et
auront le même signe, ainsi que et , desorte que dans la
première formule, on doit prendre pour une différence absolue
et une somme dans la seconde, sans qu’il soit besoin de faire
attention au signe.
Exemple. Pour et , on peut employer la forme
; on trouve , , , ,
, , . De là et
(abstraction faite du signe) ; d’où
et . On trouve la même chose par l’autre formule.
Au reste, il y a plusieurs autres artifices par lesquels on peut
simplifier le calcul mais le désir d’abréger ne nous permet pas
d’en parler avec plus d’étendue.
200. Pour tirer toutes les valeurs de et de de la connaissance des plus petites, nous mettrons l’équation
sous la forme ; d’où l’on tire
……(1),
étant un nombre quelconque. Faisons pour abréger,
|
|
|
……
|
|
|
|
|
ensorte que ces expressions soient représentées par et quand
(elles sont alors , ) ; par, quand (elles sont alors
et ) ; par et quand ; par et quand , etc. Nous
allons démontrer qu’en prenant pour tous les nombres entiers positifs depuis jusqu’à : 1o. toutes les valeurs de ces expressions
satisferont à l’équation proposée ; 2o. toutes ces valeurs sont entières ; 3o. il n’y a pas de valeurs de et qui ne soient contenues dans ces formules.
I. En substituant pour et leurs valeurs, on prouve sans
peine qu'on a , c’est-à-dire,
II. On démontre facilement de la même manière qu’on a
généralement , et . Il
suit de là que les deux progressions : , , , , etc. ; , ,
, , etc. sont récurrentes, et que l’échelle de relation est pour
chacune d’elles , , savoir, ; , etc.
, etc.
Or, par hypothèse, il existe une forme dont le déterminant est et dans laquelle , , sont divisibles par ,
et l’équation donne , ainsi
sera divisible par ; donc est un nombre entier et positif. Comme d’ailleurs , , , , les termes
des deux séries sont entiers ; il est clair aussi que étant ,
ces mêmes termes sont tous positifs, et vont en augmentant à
l’infini.
III. Supposons qu’il y ait d’autres valeurs positives de ,
qui ne soient pas contenues dans les progressions , , , etc.
, , , etc. ; et , par exemple. Puisque la série , , etc.
croît à l’infini, sera nécessairement compris entre deux termes
consécutifs et , ensorte qu’on ait et .
Pour démontrer l’absurdité de cette supposition, observons que :
1o. L’équation sera satisfaite en posant
, , ce qui peut se
confirmer sans peine par la substitution. Représentons ces valeurs
par et nous prouverons, comme il suit, que ce sont des
nombres entiers. Si est une forme dont le déterminant est , et que soit le diviseur commun des nombres
, , , et sont divisibles par , et partant l’est aussi ;
donc sera entier et par suite, puisque .
2o Il est clair que ne peut être ; en effet, il s’ensuivrait
, ou
d’où l’on tire , contre l’hypothèse par laquelle
. Mais comme est la plus petite valeur de , après
zéro, ne sera certainement pas .
3o. Des valeurs de , , , , on tire aisément
; donc ne sera pas plus petit que .
4o. L’équation donne ,
et l’on a de même ; d’où l’on conclut facilement que . De là et de la conclusion précédente, il suit que
|
|
|
|
En développant, et remplaçant , , par leurs
valeurs , , , on a
ou transposant, ce qui est permis puisque les quantités sont
positives,
résultat absurde, puisque , et que partant
. Ainsi la supposition ne peut avoir lieu, et les
séries , , , etc. ; , , , etc. ; renferment toutes les valeurs
positives de et .
Exemple. Pour et , nous avons trouvé que les
plus petites valeurs de et étaient , ; ainsi toutes les
valeurs positives seront données par les formules
|
A. |
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et l’on trouve
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,
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|
,
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,
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, etc.
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——
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|
|
,
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|
|
|
,
|
|
|
|
,
|
|
|
|
, etc.
|
201. Relativement au problème résolu dans les numéros précédens, nous ajouterons encore quelques observations.
I. Comme nous avons appris à résoudre l’équation ,
où est le plus grand diviseur commun des nombres , , ,
tels qu’on ait , il est utile d’assigner les nombres
qui peuvent être de tels diviseurs, c’est-à-dire, toutes les valeurs
de pour une valeur donnée de .
On fera , desorte que soit délivré de tout facteur
quadratique, ce qu’on obtiendra en prenant pour le plus grand
quarré qui puisse diviser . Si ne renfermait aucun facteur
quadratique, il faudrait prendre .
1o. Si est de la forme , tout diviseur de sera une
valeur de et réciproquement. En effet, si divise , on aura
la forme , dont le déterminant est , et dans
laquelle est évidemment le plus grand diviseur commun entre ,
, ; (car est évidemment un nombre
entier). Réciproquement, si est une valeur de , c’est-à-dire,
si est le plus grand commun diviseur des nombres , , ,
et qu’on ait , il est évident que ou sera
divisible par , et il suit de là que est nécessairement divisible par ; car si ne divisait pas , et auraient pour
plus grand commun diviseur un nombre , et en faisant
, serait un nombre entier ; mais est premier avec , et partant avec ; donc serait divisible par ,
contre l’hypothèse, puisque est délivré de tout facteur quadratique.
2o. Si est de la forme ou , tout diviseur de
sera valeur de , et réciproquement toute valeur de divisera .
En effet, si est diviseur de , on aura la forme ,
dont le déterminant est , et où est évidemment le plus grand
commun diviseur des nombres , , . Réciproquement, si
est supposé valeur de , c’est-à-dire, le plus grand commun
diviseur des nombres , , , pour lesquels on a ,
on prouvera, comme ci-dessus, que est un nombre entier. Or
supposons que ce quotient soit impair, le quarré sera ,
et partant ou . Mais
; ainsi serait ou
, ce qui est absurde, puisqu’un quarré doit être congru à zéro ou à l’unité, suivant le module . Donc étant pair,
sera entier et divisible par .
Ainsi il est clair que est toujours valeur de , c’est-à-dire
que l’équation est toujours résoluble par ce qui précède, pour toute valeur de positive et non quarrée. Le nombre
ne sera valeur de que dans le cas où sera de la forme ou
de la forme .
II. Si est plus grand que , mais qu’il soit un nombre convenable, la solution de l’équation pourra être ramenée à celle d’une équation semblable où ou . En effet
posons, comme plus haut, , si divise , divisera .
Alors si l’on suppose que pour l’équation , les plus
petites valeurs de et soient , les plus petites valeurs de , , dans l’équation seront , .
Mais si ne divise pas , il divisera au moins ; alors il sera
pair, et partant sera un nombre entier, et si les plus petites
valeurs de et dans l’équation sont , ,
les plus petites valeurs de , , dans l’équation ,
seront , .
Au reste, dans les deux cas, on peut déduire, non-seulement
les plus petites valeurs de , , de la connaissance des plus petites valeurs de , , mais toutes les valeurs des premières de
toutes les valeurs des secondes.
III. En désignant par , ; , ; , , etc. toutes les valeurs
positives de , dans l’équation , comme dans le
no précédent, s’il arrive que certaines valeurs dans cette série
soient congrues aux premières, suivant un module quelconque donné
; si, par exemple, on a , ,
et que les valeurs suivantes le soient aux secondes, ,
; on aura de même , , etc.,
ce qui se déduit facilement de la loi même des deux séries. En
effet, puisque , et que , on
aura , et ainsi des autres. Il suit de là qu’on a généralement , , étant un
nombre quelconque, et plus généralement si , on
aura et .
IV. Or on peut toujours satisfaire aux conditions de l’observation précédente, c’est-à-dire, on peut toujours trouver un indice pour lequel on ait , , , ,
suivant un module quelconque donné . En effet,
1o. On peut toujours satisfaire à la troisième condition, puisqu’il est aisé de s’assurer, par les caractères présentés dans la
première observation, que l’équation est résoluble ; et si les plus petites valeurs de , , sont , ,
on en déduira , ; ainsi et seront contenus dans
les suites , , etc., , , etc. ; et si , , on
aura . En outre on voit facilement qu’entre
et aucun terme ne sera congru à , suivant le module .
2o. Il est clair que si dans ce cas les trois autres conditions
sont remplies, c’est-à-dire, si , , ,
on pourra prendre ; mais si l’une de ces conditions manque,
on pourra prendre à coup sûr . En effet, de l’équation (1)
et des formules générales qui donnent et dans le no précédent, on déduit
et partant , qui est un nombre entier ; puisque
divise et que, divisant , à plus forte raison divisera . On trouvera de même , et comme
et est parconséquent divisible par ,
le sera par , et partant par , c’est-à-dire que
. On a encore , et
comme, par la même raison, est un nombre entier, on en
déduit : enfin on trouve ,
et comme est divisible par et par , il s’ensuit
que .
Au reste, on reconnaîtra par la suite l’usage de ces deux dernières observations.
202. Le cas particulier où l’équation est a déjà été
traité par les géomètres du siècle dernier. Fermat avait proposé ce
problème aux analystes anglais, et Wallis rapporte (Algèb. chap. 98, T. II de ses Œuvres, p. 418), une solution qu’il attribue
à Brounker. De son côté, Ozanam prétend qu’elle est de Fermat ;
enfin Euler, qui s’en est occupé, (Comm. Petrop. VI, p. 175 ; Comm. Nov. XI, p. 28[5] ; Algèbre, T. II, p. 226, Opusc. Anal. I, p. 310), dit que Pellius l’a trouvée le premier, ce qui a fait
donner par quelques-uns à ce problème, le nom de Pellien. Toutes
ces solutions, en n’en regardant que l’esprit, retombent dans celle que nous obtenons, si, dans le no 198, nous nous servons d’une
forme réduite dans laquelle ; mais personne, avant Lagrange,
n’avait démontré rigoureusement[6] que l’opération qu’elles
prescrivent devait nécessairement finir, c’est-à-dire, que le problème était toujours résoluble (Mélanges de la Société de Turin, T. IV, p. 19, et d’une manière plus élégante, Hist, de l’Acad. de Berlin, 1767, p. 237), Cette recherche se trouve encore dans les
Supplémens à l’Algèbre d’Euler. Au reste, notre méthode, tirée
de principes absolument différens, ne se borne pas au cas de ,
et donne le plus souvent différens moyens de parvenir à la solution,
puisque dans le no 198, nous pouvons partir d’une forme réduite
quelconque .
203. Problème. Si les formes et sont équivalentes, trouver toutes les transformations de l’une en l’autre.
Quand ces formes ne seront équivalentes que d’une seule manière,
c’est-à-dire, ou proprement ou improprement, on cherchera, par
le no 196, une transformation , , , de la forme en , et
il est clair qu’il n’y aura pas d’autres transformations qui ne soient
semblables à celle-là. Mais quand et seront équivalentes des
deux manières, on cherchera deux transformations dissemblables,
c’est-à-dire, une propre et une impropre, , , , ; , , , ,
et toute autre transformation sera semblable à l’une d’elles. Si donc
et que son déterminant soit , que soit, à
l’ordinaire, le plus grand commun diviseur des nombres , ,
et , les valeurs indéterminées qui satisfont à l’équation
; dans le premier cas, toutes les transformations
de en seront contenues dans la première (1) des formules
suivantes, et dans le second cas, dans la première (1) et dans
la seconde (2) :
(1)…… |
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; |
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(2)…… |
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Exemple. Ou demande toutes les transformations de la forme
en la forme . Nous avons trouvé (no 195)
qu’elles étaient improprement équivalentes, et dans le no suivant
nous avons eu cette transformation impropre : , , , ;
ainsi toutes les transformations semblables seront contenues dans
les formules
, étant les nombres indéterminés qui satisfont à l’équation
; ils sont donnés par les formules
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où l’on doit prendre pour tous les nombres entiers positifs.
204. Il est évident que la formule générale qui donne toutes les
transformations, devient d’autant plus simple, que la transformation initiale d’où elle est tirée l’est elle-même davantage, et
comme il est indifférent de quelle transformation on parte, on
peut souvent rendre la formule générale plus simple, si de la
première qu’on trouve, on déduit une transformation plus simple
en attribuant à , des valeurs déterminées, et si l’on forme
avec une autre formule. En faisant, par exemple, dans la formule de l’exemple précédent, , , il en résulte une
transformation plus simple que celle d’où nous étions partis, savoir,
, , , ; d’où l’on déduit la transformation générale
Ainsi, lorsqu’on a trouvé la formule générale au moyen de ce qui précède, on pourra essayer si en attribuant à , les valeurs
déterminées , , , etc. ; , , , etc. on
obtient une transformation plus simple que celle d’où l’on a déduit la formule, et dans ce cas on pourra trouver une formule
plus simple. Au reste, il y a quelque chose d’arbitraire dans le
choix, desorte qu’il serait utile de l’amener à une règle certaine
et d’assigner dans la progression , ; , , etc. des limites après
lesquelles on n’obtient que des transformations moins simples,
desorte qu’il fût suffisant de faire les essais parmi elles. Cependant
comme le plus souvent, par les méthodes que nous avons données,
on obtient la transformation la plus simple, soit sur-le-champ, soit
en employant les valeurs , , nous supprimons cette recherche.
205. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée dont le déterminant positif non quarré est
Observons d’abord que la recherche des représentations par des
valeurs de , non premières entre elles, peut se ramener ici
absolument de la même manière que pour les formes de déterminant négatif (no 181), au cas où ces valeurs sont premières entre
elles. Or pour qu’il soit possible de représenter le nombre par
des valeurs premières entre elles, il faut que soit résidu quadratique de , et si les valeurs de l’expression sont :
, , , , etc. qu’on peut prendre telles qu’aucune ne
soit toute représentation du nombre par la forme proposée appartiendra à une de ces valeurs. Ainsi, avant tout, on
devra chercher les nombres , , etc. et ensuite les représentations qui appartiennent à chacun d’eux. Il n’y aura pas de représentations appartenantes à la valeur , si les formes ,
ne sont pas proprement équivalentes ; mais si elles
le sont, on cherchera une transformation propres, , , , de la
première en la seconde, alors on aura, en faisant ,
une représentation du nombre appartenante à la valeur , et
toutes les représentations seront données par les formules
Au reste, il est évident que cette formule générale sera d’autant
plus simple, que la transformation , , , , dont elle est déduite, le sera elle-même davantage. Ainsi il sera utile de trouver,
d’après le no précédent, la transformation la plus simple de la
forme en la forme . On trouvera absolument de la même manière les formules générales qui donnent
les représentations appartenantes aux valeurs , , , etc.,
s’il en existe.
Exemple. On cherche les représentations du nombre par la forme .
Pour ce qui regarde les représentations par des valeurs de ,
non premières entre elles, il est clair qu’il ne peut y en avoir
d’autres que celles où le plus grand diviseur commun des nombres
, serait puisque est le seul diviseur quadratique de .
Ainsi quand on aura les représentations du nombre par
la forme , dans lesquelles et sont premiers
entre eux, on en tirera toutes les représentations du nombre ,
par la forme , en posant et .
Les valeurs de l’expression sont , .
On trouve que la représentation du nombre appartenante à
la valeur , est , , d’où il suit que toutes les représentations de appartenantes à la même valeur seront données
par la formule , , et partant toutes
les représentations du nombre , par la formule ,
. De la même manière, on trouve que les représentations du nombre appartenantes à la valeur sont données
par la formule générale , , et
celles qui en naissent pour par ,
Mais il n’y a aucune représentation du nombre appartenante à
la valeur .
Pour trouver les représentations de par des valeurs de ,
premières entre elles, il faut d’abord trouver les valeurs de l’expression qui sont , , , .
On trouve qu’aucune représentation n’appartient aux valeurs
, , . Mais pour la valeur on a la
représentation , , d’où l’on tire la formule générale
, . Pour la valeur , on a de même
la représentation , , et la formule qui contient
toutes les transformations semblables est ,
.
On a donc quatre formules générales, dans lesquelles sont contenues toutes les représentations du nombre par la forme
,
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Pour abréger, nous ne nous arrêterons pas davantage aux applications particulières des recherches précédentes, parceque chacun
pourra y parvenir de lui-même, en imitant ce qui a été fait
nos 176, 182, et nous passons aux formes de déterminant positif
quarré qui nous restent à examiner.