VI
THÉORÈMES SUR LES LIMITES
22. Soit une suite de nombres
(1)
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D’après les § 14 et 15, trois cas sont possibles :
1o Il y a une limite finie . Alors . Soit . Nous pouvons, d’après le § 19, prendre et rationnels tels que
et
.
Il y a un entier tel que, pour , on a
.
Si et sont deux entiers supérieurs à , on a donc (§ 21)
.
2o Il y a une limite infinie ; et sont égaux, soit à , soit à ; soit, par exemple,
.
Quel que soit l’entier , et quel que soit le nombre , il y a tel que .
Donnons-nous arbitrairement un nombre rationnel positif , prenons un terme quelconque de la suite (1), soit . Prenons un nombre rationnel ; est un certain nombre rationnel ; nous pouvons trouver tel que . Des conditions
,
on déduit (§ 21)
.
On remarquera que est arbitraire et que et peuvent être choisis supérieurs à tout entier .
On aurait une conclusion identique dans le cas de
.
3o Il n’y a pas de limite. On a . Soient deux nombres tels que
.
Quel que soit , il y a et tels que
,
,
d’où résulte
.
Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer les théorèmes suivants :
23. Théorème I. — La condition nécessaire et suffisante pour que la suite (1) ait une limite (finie) est que, à tout nombre positif corresponde un entier tel que les conditions , entraînent .
1o La condition est nécessaire, parce que, d’après l’étude du cas 1o (§ 22), elle est remplie si la suite a une limite finie.
24. Théorème II. — Si l’on a deux suites
(1)
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(2)
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dont la première a pour limite un nombre , la condition nécessaire et suffisante pour que la seconde ait aussi pour limite est que ait pour limite 0.
2o Pour montrer que la condition est suffisante, je vais montrer qu’elle n’est pas remplie si ne tend pas vers . Dans cette hypothèse, des deux nombres et relatifs à la suite (2), l’un au moins n’est pas égal à ; l’une au moins des deux hypothèses , est vérifiée, sans quoi on aurait , et comme , on aurait .
Soit, par exemple, . Soient deux nombres tels que
.
Quand dépasse une certaine valeur, on a
,
et, quel que soit , pour une certaine valeur de , on a
.
De
résulte
.
Il est donc impossible que ait pour limite 0.
La conclusion est la même dans le cas de , ce qui démontre le Théorème II.
25. En considérant le cas particulier où les nombres sont tous égaux à un même nombre , auquel cas la suite (1) a évidemment pour limite , on arrive à la conclusion suivante :
26. Théorème IV. — Si l’on a deux suites
ayant respectivement pour limites et , a pour limite .
Dans le cas où , ce théorème se réduit à la partie 1o du Théorème II.
Considérons le cas où .
Supposons par exemple . Soit un nombre rationnel positif. On peut déterminer quatre nombres rationnels tels que
(1)
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avec
(2)
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,.
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Quand dépasse un certain entier , on a
(3)
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.
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On déduit respectivement de (1) et (3)
d’où
.
Comme, d’après (2) ( étant rationnels)
,
et que est un nombre positif rationnel quelconque, on a
,
c’est-à-dire, d’après le Théorème III,
.
Comme les nombres opposés à et sont et (§ 20), on a aussi (§ 16)
.
et
.