Théorie du mouvement des corps célestes/Olbers

Carl Friedrich Gauss

Théorie du mouvement des corps célestes

Traduction par Edmond Dubois.
1864 (p. Olbers-380).

MÉTHODE D’OLBERS

Pour la détermination des éléments paraboliques d’une Comète
au moyen de trois observations complètes.

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Soient $\mathrm {A,\,B,\,C}$ (fig. 8), les trois positions d’une comète aux époques $\mathrm {T,\,T',\,T} '',$ temps moyen de Paris ; soient aussi $a,\,b,\,c$ les trois positions correspondantes de la Terre, et $\mathrm {S}$ le centre du Soleil.

Posons $\mathrm {T} '-\mathrm {T} =t'$ et $\mathrm {T} ''-\mathrm {T} '=t''.$

Les aires décrites par les rayons vecteurs étant proportionnelles aux temps employés à les décrire, on aura

${\frac {t'}{t''}}={\frac {\operatorname {sect.} \mathrm {ASB} }{\operatorname {sect.} \mathrm {BSC} }}={\frac {\operatorname {sect} asb}{\operatorname {sect} bsc}}.$

Si l’intervalle des observations n’est pas considérable, on pourra remplacer les rapports des secteurs par ceux des triangles correspondants

${\frac {\mathrm {ASD} }{\mathrm {DSC} }},\quad {\frac {asd}{dsc}},$

ou, comme ces triangles ont même hauteur, il viendra

${\frac {t'}{t''}}={\frac {\mathrm {AD} }{\mathrm {DC} }}={\frac {ad}{dc}}.$

Projetons maintenant les points $a,\,d,\,c,$ $\mathrm {A,\,D,\,C}$ sur un plan perpendiculaire au rayon vecteur $\mathrm {S} b$ de la Terre à sa position moyenne, et supposons que ce plan occupe, parallèlement à lui-même, trois positions, de manière à passer successivement par les points $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} .$

Soit $\mathrm {S}$ (fig. 9), le lieu du Soleil, $a,\,d,\,c$ les trois points $a,\,d,\,c$ de la figure (8), $a_{1},\,d_{1},\,c_{1},$ leurs projections orthogonales sur le plan perpendiculaire au rayon $d\mathrm {S}$ et passant par le point $\mathrm {A}$ de l’espace ; ce point étant à lui-même sa projection est représenté en $\mathrm {A} _{1},$ sur la figure (9) ; les points $\mathrm {D} _{1}$ et $\mathrm {C} _{1}$ sont les projections orthogonales des points $\mathrm {D}$ et $\mathrm {C}$ sur notre plan de projection, dont $xy$ représente l’intersection avec l’écliptique. Remarquons immédiatement que dans le mouvement du plan de projection parallèlement à lui-même, la position des points $\mathrm {A} _{1},\,\mathrm {D} _{1},\,\mathrm {C} _{1},$ $a_{1},\,d_{1},$ $s_{1},\,c_{1}$ sur ce plan ne change pas.

Abaissons les perpendiculaires $\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} '_{1},$ $\mathrm {D} _{1}\mathrm {D} '_{1},$ $\mathrm {C} _{1}\mathrm {C} '_{1}$ sur le plan de l’écliptique.

Désignons par $\beta ,\,\beta ',\,\beta ''$ les trois latitudes géocentriques de la comète ;

$\alpha ,\,\alpha ',\,\alpha ''$ ses trois longitudes géocentriques ;

$\Theta ,\,\Theta ',\,\Theta '',$ les trois longitudes géocentriques du Soleil ;

$\rho ,\,\rho ',\,\rho ''$ les trois distances accourcies de la comète à la Terre.

Le triangle rectiligne rectangle formé dans l’espace par les trois points $\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {A} '_{1}$ et $a,$ donne

$\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{1}'=\rho \operatorname {tang} \beta .$

Le triangle $\mathrm {A} _{1}'a_{1}a$ donne aussi,

$\mathrm {A} _{1}'a_{1}=\rho \sin \mathrm {A} _{1}'aa_{1}=\rho \sin({\text{♈ }}aa_{1}-{\text{♈ }}a\mathrm {A} _{1}')=\rho \sin({\text{♈ }}d\mathrm {S} -{\text{♈ }}a\mathrm {A} _{1}'),$

ou enfin,

$\mathrm {A} _{1}'a_{1}=\rho \sin(\Theta '-\alpha ).$

Le triangle $\mathrm {A} _{1}a_{1}\mathrm {A} _{1}'$ donne, en désignant l’angle $\mathrm {A} _{1}a_{1}\mathrm {A} _{1}'$ par $b,$

$\operatorname {tang} b={\frac {\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{1}'}{\mathrm {A} _{1}'a_{1}}}={\frac {\rho \operatorname {tang} \beta }{\rho \sin(\Theta '-\alpha )}}={\frac {\operatorname {tang} \beta }{\sin(\Theta '-\alpha )}}.$

Si nous supposons actuellement que le plan de projection se transporte au point $\mathrm {D} ,$ nous déduirons, par des triangles analogues et en désignant par $b'$ l’angle $\mathrm {D} _{1}d_{1}\mathrm {D} _{1}',$

$\operatorname {tang} b'={\frac {\operatorname {tang} \beta '}{\sin(\Theta '-\alpha ')}},$

et enfin, si nous supposons que le plan de projection se transporte parallèlement à lui-même en $\mathrm {C} ,$ nous obtiendrons, en désignant par $b''$ l’angle $\mathrm {C} _{1}c_{1}\mathrm {A} _{1}',$

$\operatorname {tang} b''={\frac {\operatorname {tang} \beta ''}{\sin(\Theta '-\alpha '')}}.$

Posons actuellement,

$a_{1}\mathrm {A} _{1}=\delta$ et  $c_{1}\mathrm {C} _{1}=\delta ''=\mathrm {N} \delta .$

Nous avons, dans le triangle $\mathrm {A} _{1}'a_{1}a,$ en supposant le plan de projection en $\mathrm {A} ,$

$\mathrm {A} _{1}'a_{1}=\rho \sin(\Theta '-\alpha )$

et, dans le triangle $\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{1}'a_{1},$

$\mathrm {A} _{1}'a_{1}=\delta \cos b\,;$

on en déduit

$\rho ={\frac {\delta \cos b}{\sin(\Theta '-\alpha )}}.$

En supposant le plan de projection en $\mathrm {C} ,$ nous obtiendrons, par des triangles analogues,

$\rho ''={\frac {\mathrm {N} \delta \cos b''}{\sin(\Theta '-\alpha '')}}=\mathrm {M} \rho .$

Les triangles $\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}o$ et $d_{1}c_{1}o$ donnent

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}o&={\frac {\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}}{\sin(b''-b')}},&c_{1}o&={\frac {d_{1}c_{1}\sin d_{1}}{\sin(b''-b')}}\end{aligned}}$

on en déduit

$\mathrm {C} _{1}c_{1}={\frac {1}{\sin(b''-b')}}\left(\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+d_{1}c_{1}\sin d_{1}\right).$

Des deux triangles $\mathrm {A} _{1}\mathrm {MD} _{1}$ et $a_{1}\mathrm {M} d_{1},$ on obtient de même

$\mathrm {A} _{1}a_{1}={\frac {1}{\sin(b'-b)}}\left(\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+a_{1}d_{1}\sin d_{1}\right)$

on a par suite,

${\frac {\delta ''}{\delta }}=\mathrm {N} ={\frac {\sin(b'-b)}{\sin(b''-b')}}{\frac {\left(\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+d_{1}c_{1}\sin d_{1}\right)}{\left(\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+a_{1}d_{1}\sin d_{1}\right)}}\,;$

mais on a évidemment,

${\frac {\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}={\frac {\mathrm {DC} }{\mathrm {AD} }},$  et  ${\frac {d_{1}c_{1}}{a_{1}d_{1}}}={\frac {dc}{ad}}$

et comme on a déjà

${\frac {\mathrm {DC} }{\mathrm {AD} }}={\frac {dc}{ad}}={\frac {t''}{t'}}$

il vient alors,

${\frac {\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}={\frac {d_{1}c_{1}}{a_{1}d_{1}}}$

d’où

${\frac {\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+d_{1}c_{1}\sin d_{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+a_{1}d_{1}\sin d_{1}}}={\frac {t''}{t'}}$

et par suite,

$\mathrm {N} ={\frac {t''\sin(b'-b)}{t'\sin(b''-b')}}\,;$

ou obtient alors, pour $\rho '',$

$\rho ''={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\sin(b'-b)}{\sin(b''-b')}}.{\frac {\delta \cos b''}{\sin(\Theta '-\alpha '')}}$

d’où

$\mathrm {M} ={\frac {\rho ''}{\rho }}={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\sin(b'-b)\sin(\Theta '-\alpha )}{\sin(b''-b')\sin(\Theta '-\alpha '')}}.{\frac {\cos b''}{\cos b}}.$

Transformons maintenant cette expression pour faire disparaître $b''$ et $b.$

En multipliant et divisant par $\cos b'$ nous avons

${\begin{aligned}\mathrm {M} &={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\sin(b'-b)}{\sin(b''-b')}}.{\frac {\sin(\Theta '-\alpha )}{\sin(\Theta '-\alpha '')}}.{\frac {\cos b''.\cos b'}{\cos b\cos b'}}\\[0.75ex]&={\frac {t''}{t'}}\left({\frac {\operatorname {tang} b'\sin(\Theta '-\alpha )-\operatorname {tang} b\sin(\Theta '-\alpha )}{\operatorname {tang} b''\sin(\Theta '-\alpha '')-\operatorname {tang} b'\sin(\Theta '-\alpha '')}}\right)\,;\end{aligned}}$

en substituant à $\operatorname {tang} b'',\,\operatorname {tang} b',\,\operatorname {tang} b$ les valeurs trouvées plus haut, et en posant

[1]

$m={\frac {\operatorname {tang} \beta '}{\sin(\Theta '-\alpha ')}}$

il vient

[2]

$\mathrm {M} ={\frac {t''}{t'}}\left({\frac {m\sin(\Theta '-\alpha )-\operatorname {tang} \beta }{\operatorname {tang} \beta ''-m\sin(\Theta '-\alpha '')}}\right)$

Désignons maintenant par $\mathrm {R,\,R} '$ et $\mathrm {R} ''$ les trois rayons vecteurs de la Terre correspondant aux observations.

Soient $\mathrm {A}$ (fig. 10), la première position de la comète dans l’espace, $\mathrm {S}$ et $\mathrm {T}$ les positions du Soleil et de la Terre correspondantes. Projetons $\mathrm {A}$ en $\mathrm {A} '$ sur l’écliptique, et joignons $\mathrm {AT} ,$ $\mathrm {A'T} ,$ $\mathrm {AS}$ et $\mathrm {A'S} .$

Le triangle $\mathrm {AST}$ donne, en désignant le rayon vecteur $\mathrm {AS}$ par $r,$

$r^{2}=\mathrm {AT} ^{2}+\mathrm {R} ^{2}-2\mathrm {R.AT} .\cos \mathrm {ATS} ,$

mais, en imaginant une sphère en $\mathrm {T}$ et le petit triangle sphérique rectangle $aa's,$ on a

$\cos \mathrm {ATS} =\cos \beta \cos(\Theta -\alpha )$

et comme on a aussi

$\mathrm {AT} ={\frac {\rho '}{\cos \beta }},$

il vient

(3)

$r^{2}=\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}\sec ^{2}\beta -2\mathrm {R} \rho \cos(\Theta -\alpha ).$

Pour les autres positions de la comète on aura aussi, par analogie,

(4)

${\begin{alignedat}{9}r'^{2}&=\mathrm {R} '^{2}&{}+{}&\rho '^{2}&&\sec ^{2}&&\beta '&{}-{}&2\mathrm {R} '&&\rho '&&\cos(\Theta '-\alpha ')\\r''^{2}&=\mathrm {R} ''^{2}&{}+{}&\rho ''^{2}&&\sec ^{2}&&\beta ''&{}-{}&2\mathrm {R} ''&&\rho ''&&\cos(\Theta ''-\alpha '').\end{alignedat}}$

Soient actuellement, $\mathrm {SX',\,SY',\,SZ} '$ (fig. 11), trois axes de coordonnées rectangulaires passant par le Soleil ; imaginons aussi par la Terre $\mathrm {T} ,$ trois axes parallèles, prenons l’écliptique pour plan des $\mathrm {XY}$ et la ligne des équinoxes pour axe des $\mathrm {X} .$

Si $\mathrm {A}$ représente le premier lieu de la comète dans l’espace, nous aurons, en nommant $x,\,y,\,z$ ses trois coordonnées,

$x=ed=\mathrm {T} d-\mathrm {T} e,$$y=ki=\mathrm {T} i-\mathrm {T} k,$$z=\mathrm {AA} '\,;$

d’où

$x=\rho \cos \alpha -\mathrm {R} \cos \Theta ,$$y=\rho \sin \alpha -\mathrm {R} \sin \Theta ,$$z=\rho \operatorname {tang} \beta .$

Si $\mathrm {C}$ (fig. 11), représente le troisième lieu de la comète, on aura aussi,

$x''=\rho ''\cos \alpha -\mathrm {R} ''\cos \Theta '',$$y''=\rho ''\sin \alpha -\mathrm {R} ''\sin \Theta '',$$z''=\rho ''\operatorname {tang} \beta ''.$

En désignant la corde $\mathrm {AC}$ par $\mathrm {K} '',$ on aura

$\mathrm {K} ''^{2}=(x''-x)^{2}+(y''-y)^{2}+(z''-z)^{2},$

ou

$\mathrm {K} ''^{2}=r''^{2}+r^{2}-2xx''-2yy''-2zz'',$

en mettant à la place de $x,\,y,\,z,$ $x'',\,y'',\,z''$ les valeurs que nous venons de trouver, et en remplaçant $\rho ''$ par $\mathrm {M} \rho ,$ il vient

(5)

${\begin{aligned}\;\;\mathrm {K} ''^{2}&=r''^{2}+r^{2}-2\mathrm {RR} ''\cos(\Theta ''\!\!-\!\Theta )+2\rho \mathrm {R} ''\cos(\Theta ''\!\!-\!\alpha )\\+{}&2\rho \mathrm {MR} \cos(\Theta \!\!-\!\alpha '')-2\mathrm {M} \rho ^{2}\!\cos(\alpha ''\!\!-\!\alpha )-2\mathrm {M} \rho ^{2}\!\operatorname {tang} \beta \operatorname {tang} \beta ''.\end{aligned}}$

Nous avons trouvé dans la note III, en nous appuyant sur l’art. 18, la relation

$t=27^{\mathrm {jours} }\!,403895.\,q^{\frac {3}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\right),$

dans laquelle $q$ est la distance périhélie et $v$ l’anomalie vraie.

Pour les deux époques $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} ''$ des observations extrêmes de la comète, on aura donc, en appelant $\theta$ l’époque du passage du périhélie, et en représentant par $\mathrm {C}$ la quantité 27^j,403895,

${\begin{aligned}\mathrm {T} -\theta &=q^{\frac {3}{2}}\mathrm {C} \left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\right)\\\mathrm {T} ''\!-\theta &=q^{\frac {3}{2}}\mathrm {C} \left(\operatorname {tang} ^{3}\!{\frac {1}{2}}v''+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v''\right),\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\mathrm {T} ''\!-\mathrm {T} &=q^{\frac {3}{2}}\mathrm {C} \left[\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v''\!-\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v''-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\right)\right]\\&=q^{\frac {3}{2}}\mathrm {C} \left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v''\!-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\right)\left(3+{\frac {\operatorname {tang} ^{3}\!{\dfrac {1}{2}}v''\!-\operatorname {tang} ^{3}\!{\dfrac {1}{2}}v}{\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v''-\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}}\right)\end{aligned}}$

ou

${\begin{aligned}\mathrm {T} ''&\!-\mathrm {T} =q^{\frac {3}{2}}\mathrm {C} {\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(v''-v)}{\cos {\dfrac {1}{2}}v''\cos {\dfrac {1}{2}}v}}\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\!v''+\!1+\operatorname {tg} ^{2}\!v+1+\operatorname {tg} v\operatorname {tg} v''\right)\\&=q^{\frac {3}{2}}\mathrm {C} {\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(v''-v)}{\cos {\dfrac {1}{2}}v''\cos {\dfrac {1}{2}}v}}\!\left({\frac {1}{\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}v''}}+{\frac {1}{\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}v}}+{\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}(v''-v)}{\cos {\dfrac {1}{2}}v''\cos {\dfrac {1}{2}}v}}\right)\end{aligned}}$

ou enfin,

${\begin{aligned}\mathrm {T} ''\!-\mathrm {T} &=q^{\frac {3}{2}}\mathrm {C} {\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(v''-v)}{\cos {\dfrac {1}{2}}v\cos ^{3}\!{\dfrac {1}{2}}v''}}+q^{\frac {3}{2}}\mathrm {C} {\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(v''-v)}{\cos ^{3}\!{\dfrac {1}{2}}v\cos {\dfrac {1}{2}}v''}}\\&+q^{\frac {3}{2}}\mathrm {C} {\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(v''-v)\cos {\dfrac {1}{2}}(v''-v)}{\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}v\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}v''}}.\end{aligned}}$

Mais on sait qu’on a les relations

[β″]

${\begin{aligned}r&={\frac {q}{\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}v}},&r''&={\frac {q}{\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}v''}}\,;\end{aligned}}$

il vient alors, en ayant égard à ces expressions,

${\begin{aligned}\mathrm {T} ''\!-\mathrm {T} &={\frac {r^{\frac {1}{2}}r''^{\frac {3}{2}}\mathrm {C} \sin {\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{q^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {r''^{\frac {1}{2}}r^{\frac {3}{2}}\mathrm {C} \sin {\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{q^{\frac {1}{2}}}}\\&+{\frac {rr''\mathrm {C} \sin {\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{q^{\frac {1}{2}}}}.\end{aligned}}$

Les relations (β) donnent aussi,

$q$	${}=\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}v''$
	${}={\frac {1}{2}}\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {1}{2}}(v''\!-v)+\cos {\frac {1}{2}}(v''\!+v)\right)$
	${}={\frac {1}{2}}\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {1}{2}}(v''\!-v)+{\frac {\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v+v'')-\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v+v'')}{\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v+v'')+\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v+v'')}}\right)$
	${}={\frac {1}{2}}\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {1}{2}}(v''\!-v)+{\frac {1-\operatorname {tang} ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v+v'')}{1+\operatorname {tang} ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v+v'')}}\right).$

Ces mêmes relations (β) donnent encore

${\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}v}{\cos {\dfrac {1}{2}}v''}}={\frac {r''^{\frac {1}{2}}}{r^{\frac {1}{2}}}}$

d’où

${\begin{aligned}{\frac {r''^{\frac {1}{2}}+r^{\frac {1}{2}}}{r''^{\frac {1}{2}}-r^{\frac {1}{2}}}}&={\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}v+\cos {\dfrac {1}{2}}v''}{\cos {\dfrac {1}{2}}v-\cos {\dfrac {1}{2}}v''}}={\frac {\cos {\dfrac {1}{4}}(v+v'')\cos {\dfrac {1}{4}}(v''\!-v)}{\sin {\dfrac {1}{4}}(v+v'')\sin {\dfrac {1}{4}}(v''\!-v)}}\\&=\operatorname {cotang} {\frac {1}{4}}(v''\!+v)\operatorname {cotang} {\frac {1}{4}}(v''\!-v)\,;\end{aligned}}$

de là, en posant

$\operatorname {tang} z=\left({\frac {r}{r''}}\right)^{\frac {1}{2}},$

on déduit l’équation

${\begin{aligned}\operatorname {tang} {\frac {1}{4}}(v''\!+v)=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!-z)\operatorname {cotang} {\frac {1}{4}}(v''\!-v).\end{aligned}}$

Cette relation est appelée relation de Nicolic, son inventeur.

En introduisant cette expression dans la valeur de $q,$ nous avons

$q={\frac {1}{2}}\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\!\left(\cos {\frac {1}{2}}(v''\!\!-\!v)+{\frac {1-\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)\operatorname {cotang} ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)}{1+\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)\operatorname {cotang} ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)}}\right)\!,$

en réduisant au même dénominateur dans la parenthèse et en substituant $2\cos ^{2}\!{\frac {1}{4}}(v''\!-v)-1$ à $\cos {\frac {1}{2}}(v''\!-v),$ il vient

$q={\frac {1}{2}}\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\!\left({\frac {2\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)-2\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)\operatorname {cotang} ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!-v)\sin ^{2}(v''\!-v)}{1+\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)\operatorname {cotang} ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)}}\right)$

ou

${\begin{aligned}q=\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}&\sin ^{2}\!{\frac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)\cos ^{2}\!{\frac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)\\.&\left[{\frac {1-\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)}{\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)+\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)}}\right].\end{aligned}}$

Mais on a

$\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!-z)={\frac {\left(r''^{\frac {1}{2}}-r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\left(r''^{\frac {1}{2}}+r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}$

Il vient donc en substituant cette valeur

${\begin{aligned}q=&\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\!{\frac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)\cos ^{2}{\frac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)\\.&\left[{\frac {\left(r''^{\frac {1}{2}}+r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\left(r''^{\frac {1}{2}}-r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\left(r''^{\frac {1}{2}}+r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)+\left(r''^{\frac {1}{2}}-r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)}}\right]\end{aligned}}$

ou, en développant les carrés dans la parenthèse et réduisant,

${\begin{aligned}q&={\frac {rr''\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{r''+r-2\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\left(\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!-v)-\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!-v)\right)}}\\&={\frac {rr''\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{r''+r-2\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}}\end{aligned}}$

d’où l’on obtient

$q^{\frac {1}{2}}={\frac {\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\sin {\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{\left(r''\!+r-2\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)\right)^{\frac {1}{2}}}}$

Si nous portons cette valeur de $q^{\frac {1}{2}}$ dans $\mathrm {T} ''-\mathrm {T} ,$ nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {T} ''\!\!-\!\mathrm {T} &=\mathrm {C} \left(r''\!\!+\!r-2\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\frac {1}{2}}(v''\!\!-\!v)\right)^{\!{\frac {1}{2}}}\left(r''\!\!+\!r+\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\frac {1}{2}}(v''\!\!-\!v)\right)\\&=\mathrm {C} \left(r''\!\!+\!r\right)^{\frac {3}{2}}\!\left(\!1+{\frac {\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!\!-\!v)}{(r+r'')}}\!\right)\!\left(\!1-{\frac {\left(2rr''\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!\!-\!v)}{(r+r'')}}\!\right)^{\!{\frac {1}{2}}}\\&=\mathrm {C} \left(r''\!\!+\!r\right)^{\frac {3}{2}}\!\left(\!1+{\frac {\left({\dfrac {r}{r''}}\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!\!-\!v)}{1+{\dfrac {r}{r''}}}}\!\right)\!\left(\!1-{\frac {2\left({\dfrac {r}{r''}}\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!\!-\!v)}{1+{\dfrac {r}{r''}}}}\!\right)^{\!{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}$

ou, en mettant $\operatorname {tang} ^{2}\!z$ à la place de ${\frac {r}{r''}},$ et réduisant,

$\mathrm {T} ''\!\!-\!\mathrm {T} =\mathrm {C} \left(r''\!\!+\!r\right)^{\frac {3}{2}}\!\left(\!1+\sin z\cos z\cos {\frac {1}{2}}(v''\!\!-\!v)\!\right)\!\left(\!1-2\sin z\cos z\cos {\frac {1}{2}}(v''\!\!-\!v)\!\right)^{\!{\frac {1}{2}}}$

Posons

$2\sin z\cos z\cos {\frac {1}{2}}(v''\!\!-\!v)=\sin x$

et remarquons que

$\left(1-\sin x\right)^{\frac {1}{2}}=\cos {\frac {1}{2}}x-\sin {\frac {1}{2}}x$

et

$\left(1+{\frac {1}{2}}\sin x\right)=1+\sin {\frac {1}{2}}x\cos {\frac {1}{2}}x$

on aura, toutes réductions faites,

${\begin{aligned}\mathrm {T} ''\!\!-\!\mathrm {T} =\mathrm {C} \left(r\!+\!r''\right)^{\frac {3}{2}}\left(\cos ^{3}\!{\frac {1}{2}}x-\sin ^{3}\!{\frac {1}{2}}x\right)\end{aligned}}$

ou

$\mathrm {T} ''\!-\!\mathrm {T} =\mathrm {C} \left[\left({\frac {(r\!+\!r'')+(r\!+\!r'')\cos x}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}\!-\left({\frac {(r\!+\!r'')-(r\!+\!r'')\cos x}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}\right].$

Mais nous avons aussi, relativement à la corde $\mathrm {K} '',$

$\mathrm {K} ''^{2}=r^{2}+r''^{2}-2rr''\cos(v''\!-v)$

ou

$\mathrm {K} ''^{2}=\left(r+r''\right)^{2}\left(1-{\frac {4rr''\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{\left(r+r''\right)^{2}}}\right).$

Des deux relations

$\sin x=2\sin x\cos x\cos {\frac {1}{2}}(v''\!-v)$

et

$\operatorname {tang} z=\left({\frac {r}{r''}}\right)^{\frac {1}{2}},$

nous déduisons aussi,

$\sin x={\frac {2\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{r+r''}}\,;$

on a donc

$\mathrm {K} ''^{2}=(r+r'')^{2}(1-\sin ^{2}x)=(r+r'')^{2}\cos ^{2}x,$

et par suite, on obtient enfin la relation suivante, démontrée d’une autre manière par Gauss, dans l’art. 108,

(6)

$\mathrm {T} ''\!-\mathrm {T} =\mathrm {C} \left[\left({\frac {r+r''+\mathrm {K} ''}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}-\left({\frac {r+r''-\mathrm {K} ''}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}\right].$

Cette formule, connue sous le nom de relation de Lambert, complète les équations à l’aide desquelles nous allons chercher la distance $\rho$ de la comète à la Terre, au moment de la première observation.

Récapitulons d’abord les six relations que nous venons de trouver.

Nous avons

(1)	$m={\frac {\operatorname {tang} \beta '}{\sin(\Theta '-\alpha ')}}\,;$
(2)	$\mathrm {M} ={\frac {t''}{t'}}.{\frac {m\sin(\Theta '-\alpha )-\operatorname {tang} \beta }{\operatorname {tang} \beta ''-m\sin(\Theta '-\alpha '')}}\,;$
(3)	$r^{2}=\mathrm {R} ^{2}-2\mathrm {R} \cos(\Theta -\alpha )\rho +\sec ^{2}\!\beta .\rho ^{2}\,;$
(4)	$r''^{2}=\mathrm {R} ''^{2}-2\mathrm {MR} ''\cos(\Theta ''-\alpha '')\rho +\sec ^{2}\!\beta ''.\mathrm {M} ^{2}\rho ^{2}\,;$
(5)	${\begin{aligned}&\mathrm {K} ''^{2}=r^{2}\!+r''^{2}\!-2\mathrm {RR} ''\cos(\Theta ''\!\!-\!\Theta )+2\mathrm {R} ''\!\cos(\Theta ''\!\!-\!\alpha )\rho \\+{}&2\mathrm {MR} \cos(\Theta \!-\!\alpha '')\rho -2\mathrm {M} \!\cos(\alpha ''\!\!-\!\alpha )\rho ^{2}-2\mathrm {M} \operatorname {tang} \beta \operatorname {tang} \beta ''\!\rho ^{2}\,;\end{aligned}}$
(6)	$\mathrm {T} ''\!-\mathrm {T} =\mathrm {C} \left[\left({\frac {r+r''+\mathrm {K} ''}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}-\left({\frac {r+r''-\mathrm {K} ''}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}\right].$

On commence par déterminer les coefficients $m$ et $\mathrm {M} ,$ puis les coefficients numériques des équations (3), (4) et (6). On obtient ainsi les trois équations en $\rho \,:$

(3)′

$r^{2}=\mathrm {A} +\mathrm {B} \rho +\mathrm {D} \rho ^{2}$

(4)′

$r''^{2}=\mathrm {A} '+\mathrm {B} '\rho +\mathrm {D} '\rho ^{2}$

(5)′

$\mathrm {K} ''^{2}=\mathrm {A} ''+\mathrm {B} ''\rho +\mathrm {D} ''\rho ^{2}$

On fait alors différentes hypothèses sur $\rho ,$ en commençant d’abord par la valeur $\rho =1\,;$ pour chaque hypothèse on obtient, à l’aide des équations (3)′, (4)′, (5)′, les valeurs correspondantes de $r,$ $r'',$ $\mathrm {K} ''$ que l’on substitue dans le second membre de l’équation (6).

Si l’on arrive à une identité, c’est-à-dire si le second membre de cette équation est juste égal à l’intervalle de temps écoulé entre les observations extrêmes, on a trouvé la vraie valeur de $\rho \,;$ dans le cas contraire on fait varier cette valeur de $\rho$ de deux dixièmes en deux dixièmes, jusqu’à ce que l’on trouve deux seconds membres comprenant entre eux la valeur $\mathrm {T} ''-\mathrm {T} \,;$ par une simple proportion on peut ensuite déterminer une valeur de $\rho$ satisfaisant assez approximativement l’équation (6). On essaye deux valeurs de $\rho$ prises en dessus et en dessous de cette valeur déterminée, et l’on resserre les hypothèses ; une nouvelle proportion établie entre les variations de $\rho$ et les variations de l’intervalle calculé, permet enfin de trouver une valeur de $\rho$ suffisamment exacte, et à l’aide de laquelle on a $r$ et $r''$ avec assez de précision.

Une fois les valeurs de $r,\,r''$ et $\rho$ déterminées ainsi que nous venons de le dire, on procède à la recherche des éléments paraboliques de la comète.

Cette détermination se fait de la manière suivante :

I. Détermination des latitudes et longitudes héliocentriques correspondantes des observations extrêmes.

En représentant par $\lambda$ la latitude héliocentrique de la comète à l’instant de la première observation, on aura, d’après la fig. (10),

(7)

$\sin \lambda ={\frac {\rho \operatorname {tang} \beta }{r}}.$

et, par analogie,

(8)

$\sin \lambda ''={\frac {\mathrm {M} \rho \operatorname {tang} \beta ''}{r''}}.$

Le triangle $\mathrm {A'ST}$ donne ensuite, en appelant $\varepsilon$ l’angle au Soleil $\mathrm {A'ST} ,$

${\frac {\sin \varepsilon }{\rho }}={\frac {\sin(\Theta -\alpha )}{\mathrm {A'S} }}={\frac {\sin(\Theta -\alpha )}{r\cos \lambda }},$

d’où

(9)

$\sin \varepsilon ={\frac {\rho \sin(\Theta -\alpha )}{r\cos \lambda }}\,;$

on obtient de même

(10)

$\sin \varepsilon ''={\frac {\mathrm {M} \rho \sin(\Theta ''-\alpha '')}{r''\cos \lambda ''}},$

et ensuite,

longitude héliocentrique,	$\quad \mathrm {L} \,\;=\Theta \;\,\,+180^{\circ }\!-\varepsilon ,$
id.	$\quad \mathrm {L} ''=\Theta ''+180^{\circ }\!-\varepsilon ''.$

II. Détermination de la longitude du nœud et de l’inclinaison de l’orbite.

En appelant $\mathrm {I}$ l’inclinaison de l’orbite et ${\text{☊ }}$ la longitude du nœud, on sait qu’on a les relations

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \lambda \;&=\operatorname {tang} \mathrm {I} \sin(\mathrm {L} \;-{\text{☊ }}),\\\operatorname {tang} \lambda ''&=\operatorname {tang} \mathrm {I} \sin(\mathrm {L} ''-{\text{☊ }})\,;\end{aligned}}$

d’où l’on déduit, en posant $\mathrm {L} ''-\mathrm {L} =d\mathrm {L} ,$

(11)

$\operatorname {tang} \left(\mathrm {L} +{\frac {d\mathrm {L} }{2}}-{\text{☊ }}\right)={\frac {\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}d\mathrm {L} .\sin(\lambda ''\!+\lambda )}{\sin(\lambda ''\!-\lambda )}},$

et ensuite,

(12)

$\operatorname {tang} \mathrm {I} ={\frac {\operatorname {tang} \lambda }{\sin(\mathrm {L} -{\text{☊ }})}}={\frac {\operatorname {tang} \lambda ''}{\sin(\mathrm {L} -{\text{☊ }})}}.$

III. Détermination des arguments de la latitude, $u$ et $u'',$ ainsi que des anomalies vraies $v$ et $v''.$

On sait que l’on a

(13)

${\begin{aligned}\operatorname {tang} u&={\frac {\operatorname {tang} (\mathrm {L} -{\text{☊ }})}{\cos \mathrm {I} }},&\operatorname {tang} u''&={\frac {\operatorname {tang} (\mathrm {L} ''-{\text{☊ }})}{\cos \mathrm {I} }},\end{aligned}}$

on en déduit

$u''-u=v''-v.$

Si l’on applique les relations de Nicolic,

(14)

${\begin{aligned}\operatorname {tang} z&=\left({\frac {r}{r''}}\right)^{\frac {1}{2}},\\\operatorname {tang} {\frac {1}{4}}(v+v'')&=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!-z)\operatorname {cotang} {\frac {1}{4}}(v''\!-v),\end{aligned}}$

on obtiendra facilement $v$ et $v''.$

IV. Détermination de la longitude du périhélie dans l’orbite, de la distance périhélie et de l’époque du passage de la comète à son périhélie.

On a évidemment

$u\;+{\text{☊ }}=\mathrm {L} _{0}$	longitude de la comète dans l’orbite,
$u''\!+{\text{☊ }}=\mathrm {L} _{0}''\;\;$	id.

et par suite,

Longitude du périhélie dans l’orbite $\pi =\mathrm {L} _{0}-v=\mathrm {L} ''_{0}-v''.$

La distance périhélie s’obtiendra par la relation

(15)

$q=r\cos ^{2}{\frac {1}{2}}v=r''\cos ^{2}{\frac {1}{2}}v''.$

Enfin, l’époque du passage de la comète à son périhélie se déterminera en cherchant d’abord la valeur de $t$ qui correspond à la relation

(16)

$t=\mathrm {C} .q^{\frac {3}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{3}}v\right)\,;$

on aura ensuite

Époque du passage $\theta =\mathrm {T} -t.$

On pourra, pour cette détermination, se servir de la table de Barker ou d’une autre.

---

Formules de corrections des éléments obtenus
par la méthode d’Olbers.

La valeur de $\mathrm {M}$ a été obtenue en supposant que l’on pouvait écrire

${\frac {\mathrm {AD} }{\mathrm {DC} }}={\frac {ad}{dc}}={\frac {t'}{t''}}\,;$

cette hypothèse peut ne pas être exacte, et il s’agit de corriger cette valeur de $\mathrm {M}$ en se servant des éléments approchés que l’on a ainsi obtenus.

Au moyen de ces éléments déterminons les anomalies $v,\,v',\,v''$ qui correspondent aux trois époques considérées. Nous avons ensuite, fig. (8),

${\frac {\mathrm {AD} }{\mathrm {AS} }}={\frac {\sin \mathrm {ASB} }{\sin \mathrm {ADS} }}$	 ou 	${\frac {\mathrm {AD} }{r}}={\frac {(\sin v'\!-v)}{\sin \mathrm {D} }},$
${\frac {\mathrm {DC} }{\mathrm {CS} }}={\frac {\sin \mathrm {BSC} }{\sin \mathrm {CDS} }}$	 ou 	${\frac {\mathrm {DC} }{r''}}={\frac {(\sin v''\!-v')}{\sin \mathrm {D} }}\,;$

on en déduit

${\frac {\mathrm {DC} }{\mathrm {AD} }}={\frac {r''\sin(v''\!-v')}{r\sin(v'\!-v)}}.$

Nous déduisons aussi par analogie,

${\frac {dc}{ad}}={\frac {\mathrm {R} ''\sin(\Theta ''\!-\Theta ')}{\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )}}.$

Si nous projetons, ainsi que nous l’avons déjà fait, les points $a,\,d,\,c,$ $\mathrm {A,\,D,\,C} ,$ sur un plan perpendiculaire au rayon $b\mathrm {S} ,$ nous aurons, fig. (9), en nommant $\delta ''$ la distance $\mathrm {C} _{1}c_{1},$

$\delta ''=\mathrm {C} _{1}o+oc_{1}\,;$

mais du triangle $\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}o,$ nous avons

$\mathrm {C} _{1}o={\frac {\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}}{\sin o}},$

et du triangle $\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}\mathrm {M} ,$

$\sin \mathrm {D} _{1}={\frac {\sin \mathrm {M.A} _{1}\mathrm {M} }{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}},$

il vient donc,

$\mathrm {C} _{1}o={\frac {\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}.{\frac {\sin \mathrm {M} }{\sin o}}.\mathrm {A} _{1}\mathrm {M} .$

Nous déduisons aussi des triangles $oc_{1}s_{1}$ et $s_{1}\mathrm {M} a_{1}$

$c_{1}o={\frac {d_{1}c_{1}}{d_{1}a_{1}}}.{\frac {\sin \mathrm {M} }{\sin o}}.a_{1}\mathrm {M} ,$

on obtient donc

$\delta ''={\frac {\sin \mathrm {M} }{\sin o}}\left({\frac {\mathrm {C} _{1}\mathrm {D} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}\mathrm {A} _{1}\mathrm {M} +{\frac {c_{1}d_{1}}{a_{1}d_{1}}}a_{1}\mathrm {M} \right).$

Mais l’angle $\mathrm {M} =b'-b$

et l’angle $o=b''\!-b,$

de plus $\;\,\mathrm {A} _{1}\mathrm {M} =\delta -a_{1}\mathrm {M} \,;$ nous avons donc, en représentant $a_{1}\mathrm {M}$ par $k$

$\delta ''={\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}\left({\frac {\mathrm {C} _{1}\mathrm {D} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}(\delta -k)+{\frac {c_{1}d_{1}}{a_{1}d_{1}}}k\right).$

Mais nous pouvons évidemment remplacer les rapports

${\frac {\mathrm {C} _{1}\mathrm {D} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}$et${\frac {c_{1}d_{1}}{a_{1}d_{1}}}$par${\frac {\mathrm {CD} }{\mathrm {AD} }}$et${\frac {cd}{ad}}\,;$

on a donc, d’après cela,

$\delta ''={\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}\left({\frac {\mathrm {CD} }{\mathrm {AD} }}(\delta -k)+{\frac {cd}{ad}}k\right)$

ou

${\begin{aligned}\delta ''={\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}\left({\frac {r''\sin(v''\!-v')}{r\sin(v'\!-v)}}\right)\delta +k&\left({\frac {\mathrm {R} ''\sin(\Theta ''\!-\Theta ')}{\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )}}\right.\\&\quad -\left.{\frac {r''\sin(v''\!-v')}{r\sin(v'\!-v)}}\right)\,;\end{aligned}}$

Mais nous avons les relations

${\begin{aligned}\delta \;\,\cos b\;\,&=\rho \;\,\sin(\Theta '\!-\alpha ),\\\delta ''\cos b''&=\rho ''\sin(\Theta '\!-\alpha ''),\end{aligned}}$

il vient donc, en introduisant ces relations dans l’équation précédente,

(1)

${\frac {\rho ''\sin(\Theta '\!\!-\!\alpha '')}{\cos b''}}={\frac {\sin(b'\!\!-\!b)}{\sin(b''\!\!-\!b)}}\!\left({\frac {r''\sin(v''\!\!-\!v).\rho \sin(\Theta '\!\!-\!\alpha )}{r\sin(v'\!\!-\!v)\cos b}}+k.\!\mathrm {U} \right)\!,$

en posant

$\mathrm {U} ={\frac {\mathrm {R} ''\sin(\Theta ''\!-\Theta ')}{\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )}}-{\frac {r''\sin(v''\!-v')}{r\sin(v'\!-v)}}.$

Remarquons maintenant, qu’on a aussi

$k=a_{1}\mathrm {M} ={\frac {a_{1}d_{1}\sin b'}{\sin(b'\!-b)}}={\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )\sin b'}{\sin(b'\!-b)}}$

il vient alors, en introduisant cette valeur dans l’équation (1),

${\begin{aligned}\rho ''={\frac {\cos b''.\sin(b'\!-b)}{\sin(\Theta '\!-\alpha '')\sin(b''\!-b')}}&\left({\frac {r''\sin(v''\!-v)\rho \sin(\Theta '\!-\alpha )}{r\sin(v'\!-v)\cos b}}\right.\\&+\left.{\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )\sin b'}{\sin(b'\!-b)}}.\mathrm {U} \right),\end{aligned}}$

équation que nous pouvons mettre sous la forme

${\begin{aligned}\rho ''={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\cos b''}{\cos b}}&.{\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}.{\frac {\sin(\Theta '\!-\alpha )}{\sin(\Theta '\!-\alpha '')}}\left({\frac {r''\sin(v''\!-v)}{r\sin(v'\!-v)}}\,\rho .{\frac {t'}{t''}}\right.\\&+\left.{\frac {t'}{t''}}.{\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )\sin b'\cos b}{\rho \sin(\Theta '\!-\alpha )\sin(b'\!-b)}}\mathrm {U} \right).\end{aligned}}$

En la divisant par $\rho$ nous avons,

${\begin{aligned}\mathrm {M} '={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\cos b''}{\cos b}}&.{\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}.{\frac {\sin(\Theta '\!-\alpha )}{\sin(\Theta '\!-\alpha '')}}\left({\frac {r''\sin(v''\!-v)}{r\sin(v'\!-v)}}.{\frac {t'}{t''}}\right.\\&+\left.{\frac {t'}{t''}}.{\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )\sin b'\cos b}{\rho \sin(\Theta '\!-\alpha )\sin(b'\!-b)}}\mathrm {U} \right).\end{aligned}}$

Mais nous avions pris pour $\mathrm {M}$ la valeur

$\mathrm {M} ={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\cos b''}{\cos b}}.{\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}.{\frac {\sin(\Theta '\!-\alpha )}{\sin(\Theta '\!-\alpha '')}},$

on a donc,

${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M\,} }}={\frac {r''\sin(v''\!-v)}{r\sin(v'\!-v)}}.{\frac {t'}{t''}}+{\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta ).\sin b'\cos b\,\mathrm {U} }{\sin(\Theta '\!-\alpha )\sin(b'\!-b)}}.{\frac {t'}{t''.\rho }},$

ou, en remarquant que

${\frac {\sin(b'\!-b)}{\cos b'\cos b}}=\operatorname {tang} b'-\operatorname {tang} b,$et$\operatorname {tang} b\sin(\Theta '\!-\alpha )=\operatorname {tang} \beta ,$

il vient enfin,

${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M\,} }}={\frac {r''\sin(v''\!-v)}{r\sin(v'\!-v)}}.{\frac {t'}{t''}}+{\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta ).\operatorname {tang} b'.\mathrm {U} }{\operatorname {tang} b'\sin(\Theta '\!-\alpha )-\operatorname {tang} \beta }}.{\frac {t'}{t''.\rho }},$

Pour calculer ce rapport ${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M\,} }}=\mathrm {H} ,$ on se servira des valeurs $r,\,r''$ et $\rho$ trouvées d’après les éléments fournis par la méthode donnée précédemment.

Une fois la valeur de $\mathrm {H}$ obtenue, on multipliera, dans les équations fondamentales qui donnent $r''$ et $\mathrm {K} '',$ les coefficients qui contiennent $\mathrm {M}$ par $\mathrm {H}$ et ceux qui contiennent $\mathrm {M} ^{2}$ par $\mathrm {H} ^{2}\,;$ on aura ainsi les équations en $r''$ et $\mathrm {K} ''$ corrigées, et l’on pourra procéder de nouveau à la détermination des éléments de l’orbite.

Pour donner une application de la méthode d’Olbers, nous allons calculer l’orbite approchée de la comète de Juin 1860 ; nous emploierons, dans ce but, trois observations obtenues par M. Yvon Villarceau à l’Observatoire impérial.

Ces observations nous ont donné les coordonnées écliptiques suivantes, qui sont corrigées de la nutation seulement :

ÉPOQUES EN TEMPS MOYEN de Paris.			LONGITUDES.		LATITUDES.
$\mathrm {T} \;={}$	22,40322	Juin.	$\alpha \;={}$	96° 59′ 38″,5	$\beta \;={}$	18° 55′ 46,8″
$\mathrm {T} '\,={}$	23,40972	id.	$\alpha '\,={}$	98° 43′ 54,5″	$\beta '\,={}$	19° 11′ 12,5″
$\mathrm {T} ''={}$	27,38868	id.	$\alpha ''={}$	106° 53′ 49,9″	$\beta ''={}$	18° 56′  1,7″

Pour ces trois époques, calculons au moyen de la connaissance des temps, les longitudes géocentriques du Soleil et les logarithmes des rayons vecteurs. Nous trouvons, en corrigeant de la nutation et de l’aberration :

$\Theta \,\,={}$	91° 35′  2,7″	$\log \mathrm {R} \,\,={}$	0,0071444,
$\Theta '\,={}$	92° 32′ 38,4″	$\log \mathrm {R} '\,={}$	0,0071603,
$\Theta ''={}$	96° 20′ 16,4″	$\log \mathrm {R} ''={}$	0,0072023.

Nous avons aussi

$\mathrm {T} '\,-\mathrm {T} \,=t\,'={}$	1j,00650	 d’où  ${\frac {t''}{t'}}={}$ 3,95326.
$\mathrm {T} ''-\mathrm {T} '=t''={}$	3j,97896
$\mathrm {T} ''-\mathrm {T} \,=$	4j,98546
Calcul de (1)		$m={\frac {\operatorname {tang} \beta '}{\sin(\Theta '\!-\alpha ')}}.$

$\Theta '=\quad$	92° 32′ 38,4″
$\alpha '=\quad$	98° 43′ 54,5″		
$\Theta '\!-\alpha =-$	6° 11′ 16,1″		$\mathrm {c^{t}} \log \sin$	0,967430
$\beta '=\quad$	19° 11′ 12,5″		$\log \operatorname {tang}$	1,541553
			$\log m$	0,508983	 $m$ est négatif.

Calcul de (2)		$\mathrm {M} ={\frac {t''}{t'}}.{\frac {(m\sin(\Theta '\!-\alpha )-\operatorname {tang} \beta )}{\operatorname {tang} \beta ''-m\sin(\Theta '\!-\alpha '')}}.$
$\Theta '=\quad$	92° 32′ 38,4″		
$\alpha \,=\quad$	96° 59′ 38,0″
$\Theta '\!-\alpha =-$	4° 26′ 59,6″		$\log \sin$	2,889790
			$\log m$	0,508983
			$\log$	1,398773
			$m\sin(\Theta '\!-\alpha )={}$0,25048		$.$	$=$	0,25048
			$\log \operatorname {tang} \beta =$	1,535237	$\operatorname {tang} \beta$	$=$	0,34295
			$m\sin(\Theta '\!-\alpha )-\operatorname {tang} \beta ={}$			$-$	0,09247
$\Theta '=\quad$	92° 32′ 38,4″
$\alpha ''=\quad$	106° 53′ 49,9″
$\Theta '\!-\alpha ''=-$	14° 21′ 11,5″		$\log \sin$	1,394274
			$\log m$	0,508983
			$\log$	1,903257
			$m\sin(\Theta '\!-\alpha '')$	$.$		$=$	0,80031
			$\log \operatorname {tang} \beta ''\!=$	1,535340	$\operatorname {tang} \beta ''$	$=$	0,343036
			$\operatorname {tang} \beta ''\!-m\sin(\Theta '\!-\alpha '')={}$			$-$	0,457274
	0,09247		$\log$	2,996001
	0,457274	$\mathrm {c^{t}}$	$\log$	0,339824
${\frac {t''}{t'}}={}$	3,95326		$\log$	0,596956
$\log \mathrm {M} ={}$				1,902781

Détermination des valeurs numériques des coefficients de l’équation
(3)	$r^{2}=\mathrm {R} ^{2}-2\mathrm {R} \cos(\Theta -\alpha )\rho +\sec ^{2}\!\beta .\rho ^{2}$
$\log \mathrm {R} ^{2}={}$	0,0142888		$\qquad \qquad \mathrm {R} ^{2}=$	1,03345
$\Theta =\quad$	91° 35′  2,7″		$\log 2$	0,301030
$\alpha =\quad$	96° 59′ 38,0″		$\log \mathrm {R}$	0,0071444
$\Theta -\alpha =-$	5° 24′ 35,3″		$\log \cos$	1,9980609
			$\log$	0,3062353
		$2\mathrm {R} \cos(\Theta -\alpha )={}$		2,02411
$\log \sec ^{2}\beta ={}$ 0,048294,  d’où  $\sec ^{2}\beta ={}$ 1,11762.

L’équation (3) devient donc

(3)′

$r^{2}=1,03345-2,02411.\rho +1,11762.\rho ^{2}.$

Détermination des valeurs numériques des coefficients de l’équation

(4)

$r''^{2}=\mathrm {R} ''^{2}-2\mathrm {MR} ''\cos(\Theta ''\!-\alpha '')\rho +\mathrm {M} ^{2}\sec ^{2}\!\beta ''.\rho ^{2}$

$\log \mathrm {R} ''^{2}=$	0,0144046		$\mathrm {R} ''^{2}=$	1,03372
$\Theta ''=\quad$	196° 20′ 16,4″		$\log 2$	0,301030
$\alpha ''=\quad$	106° 53′ 49,9″		$\log \mathrm {R} ''$	0,0072023
$\Theta ''\!-\alpha ''=-$	010° 33′ 33,5″		$\log \cos$	1,9925828
			$\log \mathrm {M}$	1,9027810
			$\log$	0,2035961
		$2\mathrm {MR} ''\cos(\Theta ''\!-\alpha '')={}$		1,59807

$\log \sec ^{2}\beta ''$	0,0483150
$\log \mathrm {M} ^{2}$	1,8055620
$\log$	1,8538770	 d’où 	$\mathrm {M} ^{2}\sec ^{2}\beta ={}$ 0,71429.

L’équation (4) devient alors

(4)′

$r''^{2}=1,03372-1,59807.\rho +0,71429\rho ^{2}.$

Détermination des valeurs numériques des coefficients de l’équation

(5)

${\begin{aligned}\mathrm {K} ''^{2}\!=r^{2}\!+r''^{2}\!&-2\mathrm {RR} ''\!\cos(\Theta ''\!\!-\!\Theta )\\&+\left[2\mathrm {R} ''\!\cos(\Theta ''\!\!-\!\alpha )+2\mathrm {MR} \cos(\Theta \!-\!\alpha '')\right]\rho \\&-\left(2\mathrm {M} \cos(\alpha ''\!\!-\!\alpha )+2\mathrm {M} \operatorname {tang} \beta \operatorname {tang} \beta ''\!\right)\rho ^{2}.\end{aligned}}$

			$\log 2$	0,3010300
$\Theta ''\!=\quad$	96° 20′ 16,4″		$\log \mathrm {R}$	0,0071444
$\Theta \;=\quad$	91° 35′  2,7″		$\log \mathrm {R} ''$	0,0072023
$\Theta ''\!-\Theta =\quad$	4° 45′ 13,7″		$\log \cos$	1,9985035
			$\log$	0,3138802		$2\mathrm {RR} ''\!\cos(\Theta ''\!\!-\!\Theta )=$	2,06006
$\Theta ''=\quad$	96° 20′ 16,0″		$\log 2$	0,3010300
$\alpha \,=\quad$	96° 59′ 38,0″		$\log \mathrm {R} ''$	0,0072023
$\Theta ''\!-\alpha =\quad$	0° 39′ 21,6″		$\log \cos$	1,9999715
			$\log$	0,3082038		$2\mathrm {R} ''\!\cos(\Theta ''\!\!-\!\alpha )=$	2,03331
$\Theta '=\quad$	91° 35′  2,7″		$\log 2$	0,301030
$\alpha ''=\quad$	106° 53′ 49,9″		$\log \mathrm {R}$	0,0071444
$\Theta '\!\!-\!\alpha ''\!=-$	15° 18′ 47,2″		$\log \cos$	1,9843000
			$\log \mathrm {M}$	1,9027810
			$\log$	0,1952554		$2\mathrm {MR} \cos(\Theta -\alpha '')={}$	1,56767
$\alpha ''=\quad$	106° 53′ 49,9″		$\log 2$	0,301030
$\alpha =\quad$	96° 59′ 38,0″		$\log \mathrm {M}$	1,9027810
$\alpha ''\!-\alpha =\quad$	9° 54′ 11,9″		$\log \cos$	1.9934793
			$\log$	0,1972905		$2\mathrm {M} \cos(\alpha ''\!-\alpha )={}$	1,57503
$\beta \;=\quad$	18° 55′ 46,8″		$\log \operatorname {tang} \beta$	1,535237
$\beta ''=\quad$	18° 56′  1,7″		$\log \operatorname {tang} \beta ''$	1,535340
			$\log 2$	0,301030
			$\log \mathrm {M}$	1,902781
			$\log$	1,274388		$2\mathrm {M} \operatorname {tang} \beta \operatorname {tang} \beta ''={}$	0,18810

on a par suite,

	$r^{2}$	$=$	1,03345${}-{}$2,02411	$.\rho {}+{}$	1,11762	$.\rho ^{2}$
	$r''^{2}$	$=$	1,03372${}-{}$1,59807	$.\rho {}+{}$	0,71429	$.\rho ^{2}$
	$r^{2}\!+r''^{2}$	$=$	2,06717${}-{}$3,62218	$\rho {}+{}$	1,83191	$\rho ^{2}$
		$-$	2,06006${}+{}$2,03331	$-{}$	1,57503
			${}+{}$1,56767	$-{}$	0,18810
d’où	$\mathrm {K} ''^{2}$	$=$	0,00711${}-{}$0,02120	$.\rho {}+{}$	0,06878	$.\rho ^{2}$	(5)′

Les équations (3)′, (4)′ et (5)′ sont les équations à l’aide desquelles, en faisant sur $\rho$ différentes hypothèses, nous allons essayer de satisfaire à la relation

$\mathrm {T} ''\!-\mathrm {T} =4,98546=\mathrm {C} \left[\left({\frac {r+r''+\mathrm {K} ''}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}-\left({\frac {r+r''-\mathrm {K} ''}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}\right].$

Si nous faisons d’abord $\rho =1,$ nous trouvons

	$r^{2}={}$	1,03345	
$+{}$		1,11762
$-{}$		2,02411
$r^{2}={}$		0,12696		$\log ={}$	1,103668
$r=$		0,35631		${\tfrac {1}{2}}\log =$	1,551834
$r''^{2}=$		1,03372
$+$		0,71429
$-$		1,59807
$r''^{2}=$		0,14994		$\log =$	1,175918
$r''=$		0,38722		${\tfrac {1}{2}}\log =$	1,587959
$r=$		0,35631
$r+r''=$		0,74353
${\tfrac {1}{2}}(r+r'')=$		0,37176
$\mathrm {K} ''^{2}=$		0,00711
$+$		0,06878
$-$		0,02120
$\mathrm {K} ''^{2}=$		0,05469		$\log =$	2,737908
$\mathrm {K} ''=$		0,23385		${\tfrac {1}{2}}\log =$	1,368954
${\tfrac {1}{2}}\mathrm {K} ''=$		0,11692
${\frac {r+r''+\mathrm {K} ''}{2}}=$		0,48868
${\frac {r+r''\!-\mathrm {K} ''}{2}}=$		0,25484
$\mathrm {C} ={}$27j,40385$\;\log =$		1,4378116		$\log =$		1,4378116
0,48868$\;\log =$		1,6890240		0,25484$\;\log =$		1,4062670
${\tfrac {1}{2}}\log =$		1,8445120		${\tfrac {1}{2}}\log =$		1,7031335
$\;\log$ 1er terme $=$		0,9713476		$\;\log$ 2e terme $=$		0,5472121
1er terme $=$