Le nombre constant
![{\displaystyle k={\frac {g}{t{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261a8604d9633308a1eb4f84b053ddc9cd52e49b)
n’a été considéré par l’illustre Gauss qu’au point de vue géométrique,
qui est le seul sous lequel il a voulu considérer le mouvement des
planètes autour du Soleil.
Ainsi envisagé, ce nombre représente le rapport constant qui
existe entre l’aire décrite par le rayon vecteur de la planète, dans le
temps
, et ce même temps multiplié par une constante
propre à chaque planète.
Dans la détermination numérique de ce nombre, Gauss a pris
pour unité de distance, la distance moyenne de la Terre au Soleil,
pour unité de temps le jour solaire moyen.
Le nombre
![{\displaystyle k=0,1720209895}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f4df0a3fd526e7bd773d7be6f022c0cf8785ec)
qu’il a obtenu, a aussi une signification dynamique qu’il est utile de
connaître, pour être bien certain que la détermination de cette constante,
qui est établie dans l’hypothèse que les planètes de notre
système n’exercent aucune action perturbatrice les unes sur les autres,
n’est nullement altérée par la substitution, dans l’expression
de
, de la valeur de l’année sidérale fournie par l’observation.
Rappelons succinctement la marche que l’on suit pour déduire du
principe d’attraction le mouvement elliptique d’une planète autour
du Soleil.
On sait que si l’on désigne par
l’intensité de l’attraction exercée
par l’unité de masse (la masse du Soleil) à l’unité de distance, par
la masse d’une planète, par
sa distance au Soleil à un moment
donné, et par
ses trois coordonnées par rapport à trois axes
rectangulaires passant par le Soleil, les équations différentielles du mouvement de la planète (en n’ayant pas égard aux actions perturbatrices
des autres planètes) sont :
(1)
|
|
|
De ces équations on déduit facilement :
1o Que l’orbite est entièrement située dans un plan passant par le
Soleil ;
2o Que les aires décrites par le rayon vecteur et projetées sur l’un
quelconque des plans de coordonnées sont proportionnelles aux
temps employés à les décrire. On en conclut la loi des aires pour
le rayon vecteur même parcourant l’orbite.
En désignant par
le double de l’aire décrite dans le plan de
l’orbite, dans l’unité de temps, on trouve, en combinant le principe
des forces vives avec les équations (1), les deux équations suivantes :
(2)
|
|
|
(3)
|
|
|
dans lesquelles
est la longitude de la planète dans l’orbite, et
une
constante introduite par l’intégration de l’équation des forces vives.
En intégrant l’équation (2), on obtient
(4)
|
|
|
étant une constante arbitraire.
Si l’on pose
(5)
|
|
|
et
(6)
|
|
|
et
étant de nouvelles constantes arbitraires, substituées à
et
l’équation du rayon vecteur devient
![{\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(v-\pi )}}={\frac {p}{1+e\cos(v-\pi )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d5173ece050ff7ba792e2f7cf0e5a8ab69bb25)
qui, comme on le sait, est l’équation polaire d’une ellipse dans le
cas où
n’est ni égal à 1 ni plus grand que 1.
D’après la relation (5), et en remarquant que le
de Gauss est
égal à
c’est-à-dire que
![{\displaystyle \mathrm {K} ^{2}={\frac {g^{2}}{t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cc93bbc82e55189cb32faee6529ce427dda059)
on en déduit,
![{\displaystyle {\frac {g^{2}}{t^{2}f(1+\mu )}}=p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64884e3a967441a8ad0f3605061f2a4804a2fdb8)
d’où
![{\displaystyle f={\frac {g^{2}}{t^{2}p(1+\mu )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98127dc36d69231da500e6bcd9c1472b50107bea)
et enfin,
![{\displaystyle {\sqrt {f}}={\frac {g}{t.{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f980b5f21ec44d9dad394b1ec5d74e60f7fc9a4e)
Ainsi
c’est-à-dire, qu’au point de vue dynamique, la constante
de Gauss n’est autre chose que la racine carrée de l’intensité de l’attraction exercée par l’unité de masse, à l’unité de distance.
En remplaçant dans l’équation (3) les constantes
et
par leurs
expressions en fonction de
et
on a
![{\displaystyle dt=\pm {\frac {1}{\sqrt {af(1+\mu )}}}.{\frac {r\,dr}{\sqrt {e^{2}-\left(1-{\dfrac {r}{a}}\right)^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ed318457f4a2645730367384c5b12d50e2d609)
pour intégrer cette expression, on introduit une quantité auxiliaire
telle que l’on ait
ou
![{\displaystyle r=a(1-e\cos u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d044462bd16e216b17680f467ffc67e6755d013)
et il vient ensuite, en intégrant,
(7)
|
|
|
étant une nouvelle constante arbitraire qui est l’époque du passage
de la planète au périhélie. On reconnaît, dans la formule (7), la relation
entre l’anomalie moyenne et l’anomalie excentrique.
En désignant donc par
le mouvement moyen diurne de la planète,
on a la relation
(8)
|
|
|
qui contient la troisième loi de Képler sous sa véritable forme, et
qui peut aussi servir à trouver la valeur de
si on l’applique, par
exemple, au mouvement de la Terre.
Remarquons que
est le demi-grand axe de l’ellipse, et
le mouvement
moyen, tels qu’ils existeraient si la Terre et le Soleil étaient
seuls en présence. Mais, sous l’action perturbatrice des autres planètes,
le mouvement moyen observé
est différent de
Si l’on
désigne, ainsi que l’a fait M. Le Verrier, par
la quantité dont se
modifie séculairement le mouvement moyen diurne de la Terre, sous
l’action perturbatrice des autres planètes, on doit avoir la relation
![{\displaystyle n_{o}=n+{\mathfrak {b}}'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7f21199f9dab78b9a3beea70ac863dc522b026)
d’où
![{\displaystyle n=n_{o}-{\mathfrak {b}}''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b585c81f88ba9d4a3f5074371368cf4736c88e7)
En substituant cette expression de
dans la relation (8), elle peut
se mettre sous la forme
![{\displaystyle a={\sqrt[{3}]{\frac {f(1+\mu )}{n_{o}^{2}}}}\left(1-{\frac {{\mathfrak {b}}''}{n_{o}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145878c7e1151570e88d70e09f2204db1568151e)
Si l’on prend maintenant, pour unité de distance, la quantité
![{\displaystyle a_{1}={\sqrt[{3}]{\frac {f(1+\mu )}{n_{o}^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfac59bd1c5fa0a3a30cbcb662dad9c0892eb98a)
c’est-à-dire, si l’on pose
(9)
|
d’où
|
|
(10)
|
|
|
on aperçoit que l’unité linéaire n’est pas le demi-grand axe
de l’orbite terrestre considérée elliptiquement, mais en diffère d’une
quantité représentée par
![{\displaystyle a\left(-{\frac {2}{3}}{\frac {{\mathfrak {b}}''}{n_{o}}}-{\frac {1}{9}}{\frac {{\mathfrak {b}}''^{2}}{n_{o}^{2}}}-\mathrm {etc.} \dots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8154997a35875272d503207b7ba2f852b95145)
ou par
![{\displaystyle -{\frac {2}{3}}a{\frac {{\mathfrak {b}}''}{n_{o}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496daaf707691d7bf6a802aaddcdf268f71e5126)
en négligeant les termes du second ordre et au delà.
D’après les valeurs trouvées pour
et
le demi-grand axe de
l’ellipse terrestre est non pas égal à
mais à
![{\displaystyle 1,00000129.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03c472287fd0d99bf1ee2ab0b8f1ce20cc28ce1)
Si dans la relation (10) on met pour
la valeur
![{\displaystyle {\frac {2\pi }{365,256}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b426a729827711ce3a8e6b46e0e6e6b319b90c)
afin de rapporter la valeur de
au rayon, et si l’on fait
valeur donnée par Laplace dans son « Système du monde »,
on trouve
![{\displaystyle {\sqrt {f}}=k=0,017202099,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab4882160b7a46c9e862e9cdd339e6e97aa4798)
qui ne diffère du nombre donné par Gauss qu’en raison de la valeur
différente qu’il a attribuée à ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
On voit donc que la constante
est tout à fait arbitraire, pourvu
qu’elle soit la même pour toutes les planètes. Sa valeur numérique
dépend complètement des unités adoptées.
Dans le no 1341 des Astronomische Nachrichten, M. Lehmann a
donné une nouvelle valeur de la constante
obtenue en corrigeant
de la variation séculaire de la longitude de l’époque le mouvement
moyen
déduit de l’observation.
Ainsi que M. Simon Newcomb l’a fait remarquer, (Ast. Nach.,
no 1349), cette correction est complètement inutile, et ne produit
qu’un changement dans l’unité linéaire.
Si dans l’équation
![{\displaystyle a^{3}={\frac {k^{2}(1+\mu )}{n^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171b3165dceb01238e956b0b4a417ffcee72a0ae)
on met pour
la valeur de Gauss et pour
le mouvement moyen déduit de l’observation, on trouve
à l’on met la valeur de
proposée par M. Lehmann, et pour
le mouvement moyen
c’est-à-dire, le mouvement moyen observé, corrigé de sa variation
séculaire, on obtient encore
mais si l’on emploie la valeur de
donnée par Gauss, et la valeur corrigée
on obtient
![{\displaystyle a=1,00000129.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c37accd8ee1b20bec5bf23734fbcb4b8b70d347)
Ainsi, avec les unités adoptées, le nombre
![{\displaystyle k=0,017202099}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df2644e99ac6b92db3fe01309c40a71d0ef50cc)
représente bien la racine carrée de l’intensité de l’attraction de la
masse solaire à l’unité de distance.
Plusieurs méthodes ont été proposées pour la résolution la plus
prompte du Problème de Képler, c’est-à-dire de la solution de l’équation
transcendante
(1)
|
|
|
La méthode généralement adoptée est celle de M. Encke qui rentre,
par le fait, dans celle donnée par Gauss dans l’art. 11.
Soit
une valeur approchée de
on peut poser
![{\displaystyle u=u_{1}+x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3efa0cf89f66e7b14f403d023f9704bca293a8a)
En substituant cette valeur dans l’équation (1), on a
![{\displaystyle nt=(u_{1}+x)-{\frac {e}{\sin 1''}}\sin(u_{1}+x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b480c4f5757c0ce5204cc793e80da1a7baec885a)
ou, si x est suffisamment petit,
![{\displaystyle nt=u_{1}-{\frac {e}{\sin 1''}}\sin u_{1}+x-e\cos u_{1}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e43709ce9241513507680ea080ea689e919fed2)
ou
![{\displaystyle nt-\left(u_{1}-{\frac {e}{\sin 1''}}\sin u_{1}\right)=x(1-e\cos u_{1})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7b80efda7f9726c68cea49d5fb93afc69ba6bb)
d’où, en désignant par
la différence
![{\displaystyle nt-\left(u_{1}+{\frac {e}{\sin 1''}}\sin u_{1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d249c38b9e0c311f324f78d374cc2d97e1b36e2)
on a
![{\displaystyle x={\frac {\varphi }{1-e\cos u_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b17af41df2ba2dd36ca2ff2a9d8dc12c652f6f)
Pour que cette valeur de
n’ait plus besoin de correction, il faut
que
soit déjà suffisamment approché, autrement on recommence
le même calcul avec la valeur
Nous croyons inutile de développer les solutions proposées, dans
ces derniers temps, par MM. Grunert, Wolfers, Karlinski, Annibal de
Gasparis, etc. Le problème tel qu’il a été résolu par Gauss, n’offre
pas assez de longueur dans les calculs à effectuer, pour qu’il me
semble nécessaire de rappeler toutes ces ingénieuses solutions ; je
me bornerai donc à présenter ici une méthode que j’ai donnée pour
résoudre graphiquement la question ; cette méthode a été insérée
dans le no 1404 des astronomische Nachrichten.
L’équation
(1)
|
|
|
dans laquelle nous rapportons tout au rayon, peut être considérée
comme résultant des deux équations
(2) |
![{\displaystyle y={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f6548a8407d07000c12bcae71ff5dd19f93b11) |
|
(3) |
![{\displaystyle y={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f6548a8407d07000c12bcae71ff5dd19f93b11) |
|
Posons
sera toujours plus grand que 45° et plus
petit que 90.
L’équation (2) est celle d’une sinusoïde ; l’équation (3) est celle
d’une droite coupant l’axe des
en un point distant de l’origine de
la quantité
et inclinée sur cet axe de l’angle
constant pour chaque planète, et qui dépend de l’excentricité.
Solution. — D’après cela, on construira, une fois pour toutes, la
sinusoïde
(fig. 1), planche I, sur une grande feuille de papier
divisée en millimètres. L’axe des
sera gradué de 0 à 180° ou moins,
et ces graduations seront écrites aussi, sur la courbe aux extrémités
des ordonnées correspondantes.
On mènera au point
de l’axe des
tel que
![{\displaystyle \mathrm {OB} =nt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d37eac17f0d91494b115db061683e11f886af0)
une droite
faisant avec l’axe des
l’angle
relatif à la planète
considérée ; l’abscisse du point
intersection de la droite
avec la sinusoïde, donnera l’anomalie excentrique ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Pour une autre anomalie moyenne
on mènera
parallèle
à
et on lira au point
même la seconde anomalie excentrique
et ainsi de suite.
Si, par le point 90° de l’axe des
on mène une droite inclinée de
45° sur cet axe, il est clair que pour des anomalies moyennes <90°,
l’intersection des droites telles que
donnera toujours une abscisse
plus petite que l’abscisse du point
(les excentricités étant toujours
plus petites que 1, et, par conséquent
étant toujours plus grand que
45°), il est donc inutile, pour avoir les anomalies excentriques qui
correspondent aux anomalies moyennes plus petites que 90°, de construire
la courbe au delà du point
Or, pour le point
on a évidemment
![{\displaystyle y=(x-90)=\sin x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1d1ccf2c6f8496b18eec7d6125cd9e3675159f0)
ou, en posant ![{\displaystyle x-90^{\circ }=x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d31720aace47289dc2dc9884df8f2e40f4591e)
(4)
|
|
|
En résolvant l’équation (4) par tâtonnements, on trouve
![{\displaystyle x'=42^{\circ }20'48''\!,4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfc6c068f5bb5a0d9ce27befc0f1f1e5bb5d0b2)
Mais si l’on fait attention que les excentricités de toutes les planètes
connues sont inférieures à 0,4, on trouve facilement que pour
les anomalies moyennes <90°, on peut encore réduire la sinusoïde
puisque, dans ce cas, l’anomalie excentrique relative à une anomalie
moyenne de 90° n’atteint jamais 111° 21′.
Pour résoudre graphiquement le problème, pour toutes les anomalies
moyennes comprises de 0° à 180°, on tracera deux portions
de la sinusoïde sur deux feuilles de papier différentes ; sur la première,
l’abscisse
(fig. 2) ira jusqu’à 111° 30′, et sur l’autre (fig. 3),
l’abscisse
ira de 90° à 180°.
La même construction pourra servir aux anomalies moyennes plus
grandes que 180°, en remarquant que si
et
sont des anomalies dont la somme est égale à 360°, la somme des anomalies excentriques
correspondantes
et
sera aussi égale à 360°. Dans le cas où
l’on a
on appliquera la construction que nous venons d’indiquer
à l’anomalie moyenne
et l’anomalie excentrique qui
en résultera, retranchée de
donnera l’anomalie excentrique
cherchée.
En employant les papiers divisés dont se servent les ingénieurs,
et en prenant le millimètre pour représenter 24′ sur l’axe des
on
pourra, par la construction précédente, avoir l’anomalie excentrique
à 6′ près.
On obtiendra ensuite cette quantité avec la plus grande exactitude,
soit par la méthode de Gauss, soit par une autre méthode.
Si dans l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v={\frac {2tk{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}{p^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be57921fbe5aac62975534c2a4740934b9cb0317)
nous introduisons la distance périhélie
nous aurons, en négligeant
la masse de la comète,
(1)
|
|
|
Cette formule donne l’intervalle de temps que met le rayon vecteur
d’une comète, dont la distance périhélie est
à décrire le secteur
dont l’angle est
Si nous considérons une comète dont la distance périhélie serait
égale à l’unité de distance, c’est-à-dire égale à la distance moyenne
de la Terre au Soleil (voir note 1), on trouvera
(2)
|
|
|
donc, entre les temps
et
que mettent deux comètes, dont
l’une a une distance périhélie égale à 1 et l’autre égale à
pour décrire
la même anomalie vraie
il existe la relation
![{\displaystyle t=t'.q^{\frac {3}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61937bf457a2df91575d07c30f1035413de0c8d3)
Si dans la relation (2) nous supposons
nous aurons le
temps que la Comète, dont la distance périhélie est 1, met à décrire
le secteur dont l’angle est droit ; on a ainsi
![{\displaystyle t'={\frac {\sqrt {2}}{k}}\left(1+{\frac {1}{3}}\right)={\frac {4}{3}}{\frac {\sqrt {2}}{k}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90ccfaac8340b94a0ef02233a25e1c4fa93a366)
mais
![{\displaystyle k={\frac {2\pi }{365,2564}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a1694ea62c35bfc7dbf657a2a9f0e98feaeeb9)
on a donc,
![{\displaystyle t={\frac {4{\sqrt {2}}}{6.\pi }}365^{\mathrm {j} }\!,2564=109^{\mathrm {j} }\!,615581}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf56a4292d0891b3ff3e96f9e9ad5e02c299ca9)
On a donné le nom de Comète de 109 jours à cette comète dont la
distance périhélie serait 1 ; cet intervalle de temps
est celui pendant
lequel le rayon vecteur de cette comète décrirait une aire égale
à
ainsi qu’on le voit facilement en faisant dans l’expression du
secteur parabolique,
et
![{\displaystyle y=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/623b233c6ec32ceaf07fa640e4e323970e34129e)
De la relation
![{\displaystyle 109^{\mathrm {j} }\!,615581={\frac {4}{3}}{\frac {\sqrt {2}}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e6ae84afda0487a111a0a92c53e6c976a3c45f)
on déduit
![{\displaystyle k={\frac {4{\sqrt {2}}}{3.109,615581}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f89c2fb86bf434b8f2e506a0ef18aa229d7372)
En substituant cette expression dans la formule (1), on trouve,
toutes réductions faites,
(3)
|
|
|
Quand l’anomalie vraie sera connue, on aura le temps écoulé
depuis le passage au périhélie jusqu’au moment considéré, au moyen
de la relation (3).
Si, au contraire, c’est le temps écoulé
qui est connu, on aura
l’anomalie vraie
au moyen de l’équation du 3e degré
![{\displaystyle \operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\frac {t}{27,403895.q^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac5ba99eeef733ed66aa8237e39fe48d34e976a)
Posons
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=2\operatorname {cotang} 2\mathrm {A} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03ad0524ffa66c392a66a6d33242f6722ac14fe)
mais comme
![{\displaystyle \operatorname {cotang} 2\mathrm {A} ={\frac {\cos ^{2}\mathrm {A} -\sin ^{2}\mathrm {A} }{2\sin \mathrm {A} \cos \mathrm {A} }}={\frac {\operatorname {cotang} \mathrm {A} -\operatorname {tang} \mathrm {A} }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3837d0b3c0dc0f2ee240681ba218d4b628c0d5ba)
on a donc aussi,
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=\operatorname {cotang} \mathrm {A} -\operatorname {tang} \mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f638e851856bba2bb78778fcf25646870e996f)
ou, en élevant au cube,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {tang} ^{3}\!{\frac {1}{2}}v\\&=\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -3\operatorname {cotang} ^{2}\!\mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {A} +3\operatorname {cotang} \mathrm {A} \operatorname {tang} ^{2}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} \\&=-3\operatorname {cotang} \mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {A} (\operatorname {cotang} \mathrm {A} -\operatorname {tang} \mathrm {A} )+\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86890cbf20b7bf8b51a31f36faa97f35e753b360)
Mais
et
on a donc,
![{\displaystyle \operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbfefee5f55b5c6168fb3ff720d4aff22bcd26af)
équation qui devient identique avec la proposée en posant
![{\displaystyle \operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} ={\frac {t}{27,403895.q^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d621c9e8a422f679069b8849ddb7b2227e1bf34d)
mais en posant aussi
![{\displaystyle \operatorname {cotang} \mathrm {A} ={\sqrt[{3}]{\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}\mathrm {B} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e5e52594147021762cab407e119d9e7166b176)
étant un autre arc auxiliaire, on déduit
et
![{\displaystyle \operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} =\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {B} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e097b52b6c9b647177aed8ccbdad278e4281eec2)
et par suite ;
![{\displaystyle \operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} =2\operatorname {cotang} \mathrm {B} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fe7ed916c0985bbba2c62376a9a471861adb99)
on a donc
![{\displaystyle 2\operatorname {cotang} \mathrm {B} ={\frac {t}{27,403895.q^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6adf96d268e2ab3ae0bedf50bff16afd176776)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {tang} \mathrm {B} ={\frac {54,80779.q^{\frac {3}{2}}}{t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e802338994d5d4f9a745078cf3f76fd5305a6fd)
On conclut de là que pour résoudre l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\frac {t}{27,403895.q^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bb3fa85b82fa3590b8e595da017fdaba8180e8)
il suffira d’employer les deux arcs auxiliaires
et
et l’on aura
au
moyen des relations
(4)
|
|
|
En dehors de la Table de Barker, indiquée par Gauss, on pourrait
se servir, pour résoudre plus simplement ce problème, de la table
générale du mouvement des comètes dans une orbite parabolique,
table publiée d’abord par Halley dans sa Cométographie, et que l’on
trouve dans l’Astronomie de Delambre ; ou mieux, de celle insérée
par M. Le Verrier dans le premier volume des Annales de l’Observatoire impérial,
page 226, table qui ne diffère de celle de Delambre
que par les intervalles de l’argument, la valeur de la constante
et
les coefficients relatifs à l’interpolation.
On peut encore se servir de la table de Burckhardt qui a pour argument
elle se trouve dans les notes de Bowditch,
au troisième volume de la Mécanique céleste.
Comme application des formules (4), calculons l’exemple donné
par M. Le Verrier (Annales de l’Observatoire impérial, p. 225, t. Ier).
Soient
la distance périhélie d’une comète, et
le temps écoulé depuis le passage au périhélie, on demande l’anomalie
vraie
On a
|
![{\displaystyle \log 54,80779}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69544a18893015fdd47f42537e70db6a5a454952) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
1,7388423 |
|
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} \log 6,590997}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9075cb24c5fd5516244b3a48c9af2f38067cc7d) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
1,1810489
|
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} {\tfrac {3}{2}}\log 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f2638bce71c4585c77860c87e1e707b48a4083) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
2,5000000
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d81a5bcedf8e450275224cf5047c016867f8bb97) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
1,4198912
|
|
![{\displaystyle \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93003d072991ba424a73ed1e081afe55c124b6ce) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
114° 43′ 58,82″
|
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5516f3af0fba223d5af843691eefa5f3b148d140) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
107° 21′ 59,41″
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09cea8c388d7bde4b84a77a31fafce85f2c8a3d8) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
1,1115410
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11df76725b80e4f5415a43a614e462919d555d31) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
1,7038470
|
|
![{\displaystyle \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
126° 49′ 23,82″
|
|
![{\displaystyle 2\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd93a307cda9d976129939101528802ac882d41a) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
153° 38′ 47,64″
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {cotang} 2\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89980819d54a843bc8421197c92e647747153647) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
1,8668836
|
|
![{\displaystyle \log 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe3151b3ff6001285efe2566aa1345e2a98f773) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
0,301030
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b1d549841d3f76d8b974567eb18e365590ff70) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
0,1679136
|
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013d8a557918763e43b3b3e0d5a83e9dd354e021) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
155° 48′ 36,755″
|
d’où |
![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597) |
![{\displaystyle {}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a234678c5c9e2b0295c87672ea3ced9994daec6) |
111° 37′ 13,51″
|
En posant
on a
et
![{\displaystyle \cos v={\frac {1-\theta ^{2}}{1+\theta ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8618b3c1bc7fd332f1a34ac84b667262e9ecdc76)
d’où
|
|
|
|
|
|
en posant aussi
d’où
![{\displaystyle \left(1+e\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {\sqrt {1+{\overset {}{\alpha }}}}{\sqrt {2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd14c143d147a835a2f900111b5bdfc039c01109)
il vient
![{\displaystyle \int {\frac {\left(1+e\right)^{\frac {3}{2}}\,dv}{\left(1+e\cos v\right)^{2}{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+{\overset {}{\alpha }}}}\int {\frac {d\theta (1+\theta ^{2})}{\left(1+\alpha \theta ^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acbda92d4f56934f0c196fbc9053978ff720431)
En effectuant la division
et intégrant par série, on
trouve le développement donné par Gauss.
Le développement de
en fonction du sinus est
(1)
|
|
|
d’où l’on déduit
(2)
|
|
|
on a aussi
![{\displaystyle \sin \mathrm {E} ={\frac {2\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1+\operatorname {tang} ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }}={\frac {2\mathrm {T} ^{\frac {1}{2}}}{(1+\mathrm {T} )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3690f0605135fbf0a8458b780b4a4c0f49e4e6)
et par suite
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\mathrm {T} ^{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {T} \right)^{-1}&=\sin \mathrm {E} \\2^{3}\mathrm {T} ^{\frac {3}{2}}\left(1+\mathrm {T} \right)^{-3}&=\sin ^{3}\mathrm {E} .\\\vdots \qquad \;\;&\quad \;\;\;\vdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fd87a8d95cc6959776427e7300160400e8362e)
En développant par le binôme de Newton et en substituant dans (2),
on a le numérateur de l’expression de Gauss, multiplié par
en
agissant de la même manière pour le dénominateur
on
trouve
![{\displaystyle 9\mathrm {E} \!+\!\sin \mathrm {E} =10\sin \mathrm {E} \!+\!{\frac {9}{2.3}}\sin ^{3}\!\mathrm {E} \!+\!{\frac {9.3}{2.4.5}}\sin ^{5}\!\mathrm {E} \!+\!{\frac {9.3.5}{2.4.6.7}}\sin ^{7}\!\mathrm {E} \!+\!\mathrm {etc.} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a12c3e1a63d982caf2ecaef6d561b8ed471fa6a)
mais
et les autres termes sont ceux calculés
pour le numérateur, multipliés par 9.
En s’arrêtant aux termes en
on trouve, en divisant haut et bas
par
l’expression de
Nicolai a donné (Von Zach’s, Monatliche correspondenz, vol. XXVII,
p. 212) les formules exprimant les différentielles de l’anomalie vraie
et du rayon vecteur, dans une ellipse très-excentrique, en fonction
des différentielles de l’époque du passage de l’astre au périhélie, de
la distance périhélie et de l’excentricité. Ces formules s’obtiennent à
l’aide des équations de l’art. 40.
Si nous posons
nous avons, d’après l’art. 39,
(1)
|
|
|
et
![{\displaystyle \alpha ={\frac {75k{\sqrt {{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {9}{5}}e}}}{2q^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d401a6638cc89a9d2db8053b0b2bea39cd62e3)
en différentiant l’équation (1) par rapport à
et
et en remarquant que l’on a
![{\displaystyle d\alpha ={\frac {d\alpha }{dq}}\,dq+{\frac {d\alpha }{de}}\,de,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6dbe0a20d86b54ae384010929106cf9fa59009)
il vient
![{\displaystyle {\frac {dw}{2\cos ^{4}{\dfrac {1}{2}}w}}={\frac {\alpha }{75}}\,dt-{\frac {3\alpha t}{2.q.75}}\,dq+{\frac {9\alpha }{2(1+9e)}}\times {\frac {t}{75}}\,de}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c410911259abcb2aa39ab2e47e4fb88ea7ff4a32)
de la relation (art, 40),
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\frac {\gamma \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w}{\sqrt {1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341c0311cc2207330b1ecee09289a213f51780b1)
en faisant
![{\displaystyle \mathrm {C} \!=\!0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35526d93de90c8d758f973d5ec7cfcb23f48cde)
et prenant les logarithmes, nous avons
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {4}{5}}\beta \operatorname {tang} ^{2}\!{\frac {1}{2}}w\right)+\log \gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052e36d435daad5828b1f4aadb9296f9e48aa232)
d’où, en différentiant,
![{\displaystyle {\frac {dv}{\sin v}}={\frac {dw}{2\sin {\dfrac {1}{2}}w\cos {\dfrac {1}{2}}w\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}+{\frac {d\gamma }{\gamma }}+{\frac {{\dfrac {2}{5}}\mathrm {A} }{\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}{\frac {d\beta }{\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316145646984443f8846fe32f0e29c54dd784ea3)
ou,
![{\displaystyle {\frac {dv}{\sin v}}={\frac {dw}{2\cos ^{4}\!{\dfrac {1}{2}}w}}\times {\frac {\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}w}{\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}+{\frac {d\gamma }{\gamma }}+{\frac {{\dfrac {2}{5}}\mathrm {A} }{\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}{\frac {d\beta }{\beta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5038612c7e4746c75cf6a04c14182bfa2de44972)
Mais comme on a
![{\displaystyle \beta ={\frac {5-5e}{1+9e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607498c9806984731cc5bddf3965ef943567ad2c)
ou en déduit
![{\displaystyle {\frac {d\beta }{\beta }}={\frac {-10}{(1+9e)(1-e)}}\,de.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde2fa9cca0f204f3eb999e16a0f3707cac316fe)
Il vient donc, en substituant ces valeurs dans
et aussi
l’expression trouvée pour
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dv}{\sin v}}&={\frac {\alpha \cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}w}{75\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}\,dt-{\frac {3\alpha t\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}w}{2.q.75\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}\,dq\\&+{\frac {t\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}w.9\alpha }{75\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)2(1\!+\!9e)}}\,de-{\frac {4}{(1\!+\!e)(1\!+\!9e)}}\,de\\&-{\frac {{\dfrac {2}{5}}\mathrm {A} }{1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} }}.{\frac {10}{(1\!+\!9e)(1\!-\!e)}}\,de\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ec2bf35429d9f1b4cdadfdf123666ff4dda360)
ou, en posant
![{\displaystyle \mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715131ccf06a4d6af0074374757de835af3889e4) |
|
![{\displaystyle \mathrm {L} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7693963f7eb3050c4c00a3417c955a5e3630cab) |
|
![{\displaystyle \mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ec92b986053ec4967f418634cf062b9d980f9a) |
|
![{\displaystyle \mathrm {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91302c621d1e18627cb635f8bd86852ab4b800b) |
|
![{\displaystyle \mathrm {O} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d6d4173d32feed308e80dbaf00e1274f40702d) |
|
![{\displaystyle \mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26) |
|
il vient
![{\displaystyle {\frac {dv}{\sin v}}=\mathrm {K} \,dt-\mathrm {KL} t\,dq+(\mathrm {KM} t-\mathrm {N} -\mathrm {OP} )\,de,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea20d4466fc4cfa3de5fc25783f660fa306a29d)
ou, en appelant
l’époque du passage de l’astre au périhélie,
![{\displaystyle {\frac {dv}{\sin v}}=-\mathrm {K} \,d\mathrm {T} -\mathrm {KL} t\,dq+(\mathrm {KM} t-\mathrm {N} -\mathrm {OP} )\,de.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cdad81a9eb128ee8621de85b09e229be638c032)
Si l’on différentie l’équation
![{\displaystyle r={\frac {q(1+e)}{1+e\cos v}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6961e1a3870d3a9ce927236a25396ec3a78ef8)
on trouve
![{\displaystyle dr={\frac {r}{q}}\,dq+{\frac {2r^{2}\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}v}{q(1+e)^{2}}}\,de+{\frac {r^{2}e\sin v}{q(1+e)}}\,dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f259de034ee9d82552248156f3fda357bdb9a09d)
Pour trouver les équations différentielles données dans ce paragraphe,
considérons le triangle
(fig. 2 du texte), dans ce triangle
on a
![{\displaystyle \cos i'=\cos \varepsilon \cos i+\sin \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd6fe8156ab29470c05a17445f37adc7b1500a0)
d’où en différentiant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\sin i'\,di'&=-\sin \varepsilon \cos i\,d\varepsilon +\cos \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n)\,d\varepsilon \\&-\sin \varepsilon \sin i\sin({\text{☊ }}-n)\,d({\text{☊ }}-n),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffc8bbf0a0812766869112d770d96200ccb973f)
ou
![{\displaystyle di'=d\varepsilon \left({\frac {\sin \varepsilon \cos i}{\sin i'}}-{\frac {\cos \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n)}{\sin i'}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3617dcfcd6c3f525ce9a6c1bffd60824a048600e)
![{\displaystyle {}+{\frac {\sin \varepsilon \sin i\sin({\text{☊ }}-n)}{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d1857b4fb123d848a5fc6038038439ec111f0d)
mais on a
(m)
|
et
|
|
(n)
|
|
|
on a aussi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\text{☊′}}&=\cos \Delta \cos({\text{☊ }}-n)-\sin \Delta \sin({\text{☊ }}-n)\cos i,\\\cos \Delta &=\cos({\text{☊′}})\cos({\text{☊ }}-n)+\sin {\text{☊′}}\sin({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b477be7be5272badd147e662a525c9aea162029d)
d’où
![{\displaystyle \cos {\text{☊′}}\sin ^{2}\!({\text{☊ }}-n)=\sin {\text{☊′}}\sin({\text{☊ }}-n)\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6b46727a4d9f259bf41df8129f519fd741f75a)
![{\displaystyle {}-\sin \Delta \sin({\text{☊ }}-n)\cos i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9527cf0d29bd8d7524cc9cda55137100b7155b)
ou
![{\displaystyle \cos {\text{☊′}}={\frac {\sin {\text{☊′}}\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon }{\sin({\text{☊ }}-n)}}-{\frac {\sin \Delta }{\sin({\text{☊ }}-n)}}\cos i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad61d4b3512eaa08aba1bfcd6c2bcb25cd2de1b)
ou, en ayant égard aux relations (m) et (n)
![{\displaystyle \cos {\text{☊′}}={\frac {\sin i\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon }{\sin i'}}-{\frac {\sin \varepsilon \cos i}{\sin i'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edec4b6bac3c294b9c0ef6a7b56235e957ea9ad7)
l’équation différentielle précédente devient donc, en ayant égard,
pour son second terme, à l’équation (m)
![{\displaystyle di'=-\cos {\text{☊′}}\,d\varepsilon +\sin \varepsilon \sin {\text{☊′}}\,d({\text{☊ }}-n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82eda19be377771ab642a819fa6b23db511960b)
Telle est la première équation de l’art. 57. Pour avoir les deux
autres, le même triangle donne
![{\displaystyle \sin {\text{☊′}}\sin i'=\sin i\sin({\text{☊ }}-n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bb1f63c8b6cc444d264068441e36b00a881fbc)
d’où, par différentiation,
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\text{☊′}}&=d\varepsilon {\frac {\sin {\text{☊ }}}{\operatorname {tang} i'}}+\left({\frac {\sin i\cos({\text{☊ }}-n)-\sin {\text{☊′}}\cos i'\sin \varepsilon \sin {\text{☊′}}}{\cos {\text{☊′}}\sin i'}}\right)d({\text{☊ }}-n)\\&={\frac {d\varepsilon .\sin {\text{☊ }}}{\operatorname {tang} i'}}+{\frac {\sin i}{\sin i'}}\!\left({\frac {\cos({\text{☊ }}-n)-\sin {\text{☊′}}\cos i'{\dfrac {\sin \varepsilon }{\sin i}}\sin {\text{☊′}}}{\cos {\text{☊′}}}}\right)d({\text{☊ }}-n)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ceb051572b8b120faeef760c6bf56e39a90516)
mais
![{\displaystyle {\frac {\sin \varepsilon }{\sin i}}={\frac {\sin \Delta }{\sin {\text{☊′}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae94d1392dab7403dd843dcb00f53b2f66f7485)
et le même triangle donne
![{\displaystyle \cos({\text{☊ }}-n)-\sin \Delta \sin {\text{☊′}}\cos i'=\cos \Delta \cos {\text{☊′}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc70abc30d5b1c2adee31022e8067cc26b59b7e)
il vient donc, par substitution,
![{\displaystyle d{\text{☊′}}={\frac {\sin {\text{☊′}}}{\operatorname {tang} i'}}\,d\varepsilon +{\frac {\sin i\cos \Delta }{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd1c7b93133450d2e10ed512b0e3fc9a3ac576d)
qui est la seconde équation.
Pour trouver la troisième, on a
![{\displaystyle \sin \Delta \sin i=\sin \varepsilon \sin {\text{☊′}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1bb961fdca6079b3ff25301d2d1db1f9210945f)
d’où, en différentiant,
![{\displaystyle d\Delta =d\varepsilon \,{\frac {\sin {\text{☊′}}}{\sin i\cos \Delta }}\left({\frac {\cos i'\cos {\text{☊′}}\sin \varepsilon +\cos \varepsilon \sin i'}{\sin i'}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d9109f07924063a92d12a7a0373e83ae03e829)
![{\displaystyle +{\frac {\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}}{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9a2f6913904f9bfddb529c541462657fc9b144)
mais
![{\displaystyle \cos i'\cos {\text{☊′}}\sin \varepsilon +\cos \varepsilon \sin i'=\sin i\cos \Delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3133744f5087ddd857fea7fbfa87c8d32263986)
car on a la relation
![{\displaystyle \operatorname {cotang} i'\sin \varepsilon +\cos \varepsilon \cos {\text{☊′}}=\sin {\text{☊′}}\operatorname {cotang} ({\text{☊ }}-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644f6f3ee6d42590c106e78ad3035b723fba78e4)
qui devient, à cause de l’égalité
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\sin i}{\sin i'}}={\frac {\sin {\text{☊′}}}{\sin({\text{☊ }}-n)}}\\\cos i'\sin \varepsilon +&\sin i'\cos \varepsilon \cos {\text{☊′}}=\sin i\cos({\text{☊ }}-n)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae35e2664f9c740ef248d00ce28254b14423c75)
ou, en multipliant par ![{\displaystyle \cos {\text{☊′}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd46f9f9173abc788733c80618bfb172f07c965b)
![{\displaystyle \cos i'\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}+\sin i'\cos \varepsilon \cos ^{2}{\text{☊′}}=\sin i\cos {\text{☊′}}\cos({\text{☊ }}-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f4909faee4be7db7b6ae2b558faa96b6a277d6)
ou
![{\displaystyle \cos i'\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}+\sin i'\cos \varepsilon =\sin i\cos {\text{☊′}}\cos({\text{☊ }}-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765993ebba03b27a831821a6b718692ef8514ab8)
![{\displaystyle {}+\sin i'\cos \varepsilon \sin ^{2}{\text{☊′}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9cfb6c7692c4fcb5ee924483e3c5a52fa17d59)
et en remarquant que
il vient
![{\displaystyle \cos i'\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}+\sin i'\cos \varepsilon =\sin i{\big [}\cos {\text{☊′}}\cos({\text{☊ }}-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e801eed1a3708bc1bd2bd87d9bee364bf61ee604)
![{\displaystyle {}+\sin {\text{☊′}}\sin({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab48e245bfec9d088552c85c4f0d88934f0b7b93)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \cos i'\cos {\text{☊′}}\sin \varepsilon +\sin i'\cos \varepsilon =\sin i\cos \Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b860a4ac21fcfa061d8d069ef0dcb45259fae224)
On a donc enfin, en ayant égard à cette relation,
![{\displaystyle d\Delta ={\frac {\sin {\text{☊′}}}{\sin i'}}\,d\varepsilon +{\frac {\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}}{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2fcbb383ef5635c741a2be59e109514e836f491)
qui est la troisième équation.
On a, dans l’art. 62, § II,
[1]
|
|
|
En posant
![{\displaystyle (l-\lambda )=f(\mathrm {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b6415740765cf30bac0fbd489eedf060164128a)
on a, d’après le théorème de Maclaurin,
![{\displaystyle (l-\lambda )=f(\mathrm {R} )_{0}+\left({\frac {df}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}\mathrm {R} +\ldots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90910506dbbd4334732d5dd582395f61c09863d)
de l’équation (1) on déduit
![{\displaystyle f(\mathrm {R} )_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1bf7176fdf25d444efa6b80772d30d106b02e3)
et
![{\displaystyle \left[{\frac {d(l-\lambda )}{d\mathrm {R} }}\right]_{0}={\frac {\cos \mathrm {B} \sin(\lambda -\mathrm {L} )}{r\cos \beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa93a9f94293b8b66f5fe71c0d1aa7519d920d8)
d’où, en s’arrêtant à ce terme,
![{\displaystyle l-\lambda ={\frac {\mathrm {R} .\cos \mathrm {B} \sin(\lambda -\mathrm {L} )}{r\cos \beta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf03e9dcdba34be61a394d3b287c64566250a1a)
On a aussi, dans le même art. 62, § II,
![{\displaystyle \operatorname {tang} b={\frac {r'\operatorname {tang} \beta -\mathrm {R} '\operatorname {tang} \mathrm {B} }{\Delta '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d28192bf5f58759db2d28fc4f5a8e581f7e1be)
mais des deux premières relations données dans cet article on déduit,
en faisant ![{\displaystyle \mathrm {N} =\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e081898544e1b500d2c74007be2f532963736bea)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r'&=\Delta '\cos(l-\lambda )+\mathrm {R} '\cos(\lambda -\mathrm {L} )\\\Delta '&={\frac {\mathrm {R} '\sin(\lambda -\mathrm {L} )}{\sin(l-\lambda )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e6f8248778f65c900be2eb06fbcdd2d7bff6a7)
Ces valeurs, substituées dans l’expression de
donnent
![{\displaystyle \operatorname {tang} b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f49cc021dfc0f62f252817fa9fdf0f9429aa1a2) |
![{\displaystyle {}={\frac {\operatorname {tang} \beta \sin(\lambda \!-\!\mathrm {L} )\cos(l\!-\!\lambda )+\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )\sin(l\!-\!\lambda )}{\sin(\lambda -\mathrm {L} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ece35c22c2c9a8bcc3f12b616b1f36210fadea4)
|
Si l’on développe
suivant les puissances croissantes de
en remarquant
que
est une fonction de
qui devient nulle pour
on trouve
![{\displaystyle b_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e425056f502ca07b103ffbf6ac4720e0f8a01f0) |
|
![{\displaystyle \left({\frac {db}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e72d8607afe9a2b8ce19ffab1ac1b1764186e49) |
![{\displaystyle {}=\left[{\frac {\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}{\sin(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}}\left({\frac {d(l\!-\!\lambda )}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92736ca4afc43b30a7044b3e9a8cf82b608460ec)
|
mais
![{\displaystyle \left({\frac {d(l\!-\!\lambda )}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}={\frac {\cos \mathrm {B} \sin(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}{r\cos \beta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727d76f85ea755064e548157d265cff0c90badbc)
on a donc
![{\displaystyle \left({\frac {db}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}=\left({\frac {\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )\cos \mathrm {B} }{r\cos \beta }}-{\frac {\operatorname {tang} \mathrm {B} \cos \mathrm {B} }{r\cos \beta }}\right)\cos ^{2}\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e406db68b145eaaa661229727233f3a780863c)
d’où
![{\displaystyle b-\beta ={\frac {\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos \beta }{r}}{\big [}\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )-\operatorname {tang} \mathrm {B} {\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592ca34fce82c39e6ee3914944fb5e17a5ad367e)
On a aussi, dans le même art. 62, § II,
![{\displaystyle {\frac {\Delta '}{r'}}={\frac {\mathrm {Q} }{\cos(l\!-\!\lambda )}}={\frac {r'-\mathrm {R} '\cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}{r\cos(l\!-\!\lambda )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7e772feb6e15567af8509e556728c1fbfa4963)
d’où
(2)
|
|
|
Développons
suivant les puissances croissantes de
et remarquons que pour
on a
et par suite,
![{\displaystyle \Delta _{0}=r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce4db032ab65fa8f394dc758362a7a993ea1ac0)
En différentiant la relation (2), on trouve, après avoir fait
![{\displaystyle \left({\frac {d\Delta }{d\mathrm {R} }}\right)_{0}\cos \beta -r\sin \beta \left({\frac {db}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}=-\cos \mathrm {B} \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663747ce874f920c7debe96bf88474e55ff672f2)
mais
![{\displaystyle \left({\frac {db}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}={\frac {\cos \mathrm {B} \cos \beta }{r}}{\big [}\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )-\operatorname {tang} \mathrm {B} {\big ]}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50d15eb277ec2105339f8c72244390ca0948d4e)
on a donc,
![{\displaystyle \left({\frac {d\Delta }{d\mathrm {R} }}\right)_{0}\cos \beta -\sin \beta \cos \beta \cos \mathrm {B} {\big [}\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )-\operatorname {tang} \mathrm {B} {\big ]}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb5660364548e73de14dab17f6a65802edc890a)
![{\displaystyle -\cos \mathrm {B} \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b6a8f548174c4096c58b10eca97e21eb8456d7)
d’où
![{\displaystyle \left({\frac {d\Delta }{d\mathrm {R} }}\right)_{0}=\sin \beta \cos \mathrm {B} \left[\left(\operatorname {tang} \beta -{\frac {1}{\sin \beta \cos \beta }}\right)\cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )-\operatorname {tang} \mathrm {B} \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75e8779f4aeb1d170395fea12e554301f6505c4)
mais
![{\displaystyle \operatorname {tang} \beta -{\frac {1}{\sin \beta \cos \beta }}=-\operatorname {cotang} \beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e8e4660b64652398f34f162b78fc119a1b463d)
on a donc,
![{\displaystyle \left({\frac {d\Delta }{d\mathrm {R} }}\right)_{0}=-\sin \beta \cos \mathrm {B} {\big [}\operatorname {cotang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )+\operatorname {tang} \mathrm {B} {\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c6fac7ba2175e7a1a3917ffd09f82fbbc159e7)
d’où l’on déduit
![{\displaystyle \Delta -r=-\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \sin \beta {\big [}\operatorname {cotang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )+\operatorname {tang} \mathrm {B} {\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb244862021f2f07166f165a781a392b8b39f2c6)
Note VIII (art. 72).
Soient menés par le lieu vrai
de l’observateur (fig. 4 des notes)
et par le centre de la Terre des plans parallèles au plan de l’écliptique.
Menons une droite arbitraire
faisant l’angle
avec la ligne
des équinoxes. Joignons
(
étant la projection sur l’écliptique
du point
), joignons aussi
et
On peut considérer
comme la résultante des deux lignes
et
en projetant ce système sur la ligne
on aura
![{\displaystyle a\mathrm {S} .\cos a\mathrm {SH} =\mathrm {R} '\cos(\mathrm {L} '-\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \cos(\lambda -\mathrm {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecd87d7937190cea917931d59e85d5a7d9807ab)
En considérant
comme la résultante des deux lignes
et
on
aura, en projetant ce système sur la ligne ![{\displaystyle \mathrm {SH} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f74412b7307848e0eeff083b693fce0fdfb1bc4)
![{\displaystyle a\mathrm {S} .\cos a\mathrm {SH} =\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\mathrm {L} -\mathrm {N} )+\pi \cos b\cos(l-\mathrm {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df6b5b786d32b502dbd0ac4548bd2ee125a9eba)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {R} '\!\cos(\mathrm {L} '\!\!-\!\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {N} )=\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\mathrm {L} \!-\!\mathrm {N} )+\pi \cos b\cos(l\!-\!\mathrm {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5029b67169936ea140f8b477555646e7b0f3e41)
Si l’on fait les mêmes projections sur une perpendiculaire à
on
aura
![{\displaystyle \mathrm {R} '\!\sin(\mathrm {L} '\!\!-\!\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \sin(\lambda \!-\!\mathrm {N} )=\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \sin(\mathrm {L} \!-\!\mathrm {N} )+\pi \cos b\sin(l\!-\!\mathrm {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6be1eb92e68bb16c102e788f8c0c716e36115ca)
On trouve enfin, en menant
parallèle à ![{\displaystyle ta,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a451f12749d489ff9e7a61184a817e86d39ab0f)
![{\displaystyle \mathrm {A} a=\mathrm {A} i+ia,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a100ee7e0e7d0797bd5f76a2a1dfb73fa562c8a1)
d’où
![{\displaystyle \delta \sin \beta =\pi \sin b+\mathrm {R} \sin \mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06deaa2fbdad6859becc708022a6958e71f2bffe)
Note IX (art. 90 et 100).
Gauss a donné dans le Berliner Astronomische Jahrbuch de 1814,
une autre méthode pour calculer
et
On a, dans l’art. 90,
![{\displaystyle \xi =x-{\frac {5}{6}}+{\frac {10}{9\mathrm {X} }}={\frac {x\mathrm {X} -{\dfrac {5}{6}}\mathrm {X} +{\dfrac {10}{9}}}{\mathrm {X} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac6191cd6f2855f8123ecccfd604087599a32be)
Si l’on substitue, dans le numérateur de cette fraction, à la place
de
la série
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {4}{3}}+{\frac {4.6}{3.5}}x+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}x^{2}+{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}x^{3}+\ldots \mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9d4bf711975ee63b2786f7f30ae5e3f8699d7e)
on obtient
![{\displaystyle x\mathrm {X} -{\frac {5}{6}}\mathrm {X} +{\frac {10}{9}}={\frac {8}{105}}x^{2}\left(1+{\frac {2.8}{9}}x+{\frac {3.8.10}{9.11}}x^{2}+{\frac {4.8.10.12}{9.11.13}}x^{3}+\mathrm {etc.} \!\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b53161a25aedd9d91ddd1e6c0e8fb6609f47aa7)
ou, en posant
![{\displaystyle \mathrm {A} =1+{\frac {2.8}{9}}x+{\frac {3.8.10}{9.11}}x^{2}+\ldots \mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b795c09f53d06f484fea3a2fddf2af3e5c313a)
on a
![{\displaystyle x\mathrm {X} -{\frac {5}{6}}\mathrm {X} +{\frac {10}{9}}={\frac {8}{105}}\mathrm {A} x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989bda8ba4f2417137ed9704498e4b4eb580763c)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {{\dfrac {4}{3}}\left(1-{\dfrac {12}{175}}\mathrm {A} x^{2}\right)}{1-{\dfrac {6}{5}}x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cab6f54beebad8a71dc533ba7d0e1236b8515b)
Substituant cette valeur dans l’expression
il vient
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\dfrac {2}{35}}\mathrm {A} x^{2}\left(1-{\dfrac {6}{5}}x\right)}{1-{\dfrac {12}{175}}\mathrm {A} x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170313f8bd6e627fa68c80c2dc5d1bde5b932928)
formule à l’aide de laquelle on peut toujours trouver facilement
avec exactitude.
Pour avoir
de l’art. 100, il suffit de substituer
à la place de
dans les formules précédentes.
sera déterminé d’une manière plus convenable par la formule
![{\displaystyle \mathrm {A} =\left(1-x\right)^{-{\frac {3}{2}}}\left(1+{\frac {1.5}{2.9}}x+{\frac {1.3.5.7}{2.4.9.11}}x^{2}+\ldots \mathrm {etc.} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a384d650997bf38536674a36269ce45f46678a50)
Pour arriver à la relation [25], nous déduirons d’abord de la
relation [3] (art. 88),
![{\displaystyle e={\frac {p\cos g-\cos f{\sqrt {rr'}}}{\cos \mathrm {F} {\sqrt {rr'}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e391438ab481f32ca7d0f10a5df86487c5edcec)
La relation
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2e}{p}}\cos f\cos \mathrm {F} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164213149cc18bdf8ceed91a0189e4a4db186af2)
devient, en mettant à la place de
cette valeur,
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2(p\cos g-\cos f{\sqrt {rr'}})\cos f}{p{\sqrt {rr'}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a84dd24df112cac262cde73d9a3defdeb0ea1ce)
ou
![{\displaystyle p{\frac {{\sqrt {rr'}}(r'+r)}{rr'}}=2{\sqrt {rr'}}\sin ^{2}f+2p\cos g\cos f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c86c090d88a3828c11d1f3c89238c2952211b1)
on en déduit
(m)
|
|
|
Mais, des relations
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r'}}&={\frac {2e}{p}}\sin f\sin \mathrm {F} \\{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}&={\frac {2}{p}}+{\frac {2e}{p}}\cos f\cos \mathrm {F} ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1140ceb62eb2990284cb666da16be987afe6de0)
on déduit aussi,
![{\displaystyle \operatorname {tang} f\operatorname {tang} \mathrm {F} ={\frac {r'-r}{(r+r')-{\dfrac {2rr'}{p}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f8f05a0589952a6416c74fc94411b981425f76)
ou, à cause de la relation (m),
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} f\operatorname {tang} \mathrm {F} &={\frac {r'-r}{(r+r')-{\dfrac {(r+r')-2\cos g\cos f{\sqrt {rr'}}}{\sin ^{2}f}}}}\\&={\frac {(r'-r)\sin ^{2}f}{2\cos g\cos f{\sqrt {rr'}}-(r'+r)\cos ^{2}f}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f919b5662aa45213dd6143478400f65c02dcf9bc)
d’où enfin,
![{\displaystyle \operatorname {tang} \mathrm {F} ={\frac {(r'-r)\sin f}{2\cos g{\sqrt {rr'}}-(r'+r)\cos f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9a0ceeb88fdd73276580ad2ea3aae2ad5897fb)
Pour démontrer la relation
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {(1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}-\log({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}})}{2\left(z+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108c18aaf7c719b3d1e4b5dc05b995d3106b6ef2)
nous avons d’abord, entre
et
la relation
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{c}}}-{\frac {1}{\sqrt {\overset {}{c}}}}=2{\sqrt {\overset {}{z}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec7f97832b3aee906fa7e7843726e7bb80335b9)
d’où
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{c}}}={\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2875fcd2413afcd7ec5a83ea923ea391cee9be93)
On peut aussi mettre la relation entre
et
(art. 99), sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {c^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}-8\log {\sqrt {\overset {}{c}}}}{{\dfrac {1}{4}}\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}={\frac {c^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}-8\log \left({\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {1+{\overset {}{z}}}}\right)}{{\dfrac {1}{4}}\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f7d7c00931c85a2abb68840c86760041fd5021)
on a ensuite,
![{\displaystyle c-{\frac {1}{c}}=\left({\sqrt {\overset {}{c}}}+{\frac {1}{\sqrt {\overset {}{c}}}}\right)\left({\sqrt {\overset {}{c}}}-{\frac {1}{\sqrt {\overset {}{c}}}}\right)=\left({\sqrt {\overset {}{c}}}+{\frac {1}{\sqrt {\overset {}{c}}}}\right)2{\sqrt {\overset {}{z}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59990b100734d3b44709b302d005597e9fdf103)
mais
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{c}}}+{\frac {1}{\sqrt {\overset {}{c}}}}=\left({\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e5cc1ba025d3b6ba066dc049e55887311937b5)
il vient donc, en substituant et réduisant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}c-{\frac {1}{c}}&={\frac {2z+2+2{\sqrt {\overset {}{z}}}{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}}{{\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}}}2{\sqrt {\overset {}{z}}}={\frac {2[(z+1)+{\sqrt {\overset {}{z}}}{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}]}{{\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}}}2{\sqrt {\overset {}{z}}}\\&=2{\sqrt {(z+1)}}2{\sqrt {\overset {}{z}}}=4\left(z^{2}+z\right)^{\frac {1}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbef9743aa3c4224b4731d33c9d6e4133553937e)
on a par suite,
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(c-{\frac {1}{c}}\right)^{3}=16\left(z^{2}+z\right)^{\frac {3}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87bdf6074786c22beff99ad9fb5370c0076e163)
on a aussi,
![{\displaystyle \left(c^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d80b97a2172f3e98b9427e444f8021490dcefdd) |
|
|
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|
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|
|
|
|
ou
![{\displaystyle c^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}=8(2z+1){\sqrt {z^{2}+z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59d3527dfcacc7c4d424c550bc7fd1ecbbdcb55)
Enfin, en substituant dans
les valeurs trouvées, et en divisant
par 8 haut et bas, on trouve la relation donnée par Gauss.
L’équation en
art. 101, est
![{\displaystyle \mathrm {Y^{3}+Y^{2}-HY} +{\frac {1}{9}}\mathrm {H} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a457873f6475dc3117fa4e2f6ff15154cf132af)
On voit d’abord que puisque
est positif, le produit des trois racines
est négatif ; donc dans le cas où les racines sont réelles, l’équation
doit en avoir deux positives et une négative.
En cherchant la valeur de
qui rend les deux racines positives
égales entre elles, on trouve
![{\displaystyle \mathrm {H} ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c2b86071b2d228e7f767bf04be8fc6a38a00fe)
et l’on obtient bien alors, en égalant à zéro le plus grand commun
diviseur de l’équation proposée et de sa dérivée, pour valeur de ces
racines égales,
![{\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {5}}-{\frac {1}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d702e2a29eb62e275a183f08aeb625c02c243c35)
Pour démontrer le théorème énoncé par Gauss dans cet article,
considérons une sphère. Soient
(fig. (5) des notes) trois lieux
portés sur cette sphère dont nous supposons le rayon égal à 1 ; ces
lieux étant placés d’après leurs coordonnées héliocentriques ou géocentriques.
Appelons
les longitudes et les latitudes
de ces trois points,
La pyramide
est égale au prisme tronqué
augmenté
de la pyramide
et diminué des deux pyramides
La valeur du prisme tronqué
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AA'A} ''a''a'a&={\frac {1}{3}}\operatorname {surf} aa'a''(\mathrm {A} a+\mathrm {A} 'a'+\mathrm {A} ''a'')\\&={\frac {1}{3}}\operatorname {surf} aa'a''(\sin \beta +\sin \beta '+\sin \beta ''),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3c976632996bbdf684876e859868ac5093748f)
mais
![{\displaystyle \operatorname {surf} aa'a''=\operatorname {triangle} \mathrm {S} aa'+\operatorname {triangle} \mathrm {S} a'a''-\operatorname {triangle} a\mathrm {S} a''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1d4740cad30a5d352247c6504ff86e700939ac)
or on a
![{\displaystyle \operatorname {triangle} \mathrm {S} aa'={\frac {\mathrm {S} a}{2}}.a'\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d690ff83effc7a2302fa262ae7c8ccbd74a8eb6)
étant la hauteur du triangle ;
si l’on mène
perpendiculaire à
on aura
![{\displaystyle a'\mathrm {K} =\mathrm {D} 'a.\mathrm {S} a'=\sin(\alpha '-\alpha )\cos \beta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b109cfa14c843e91d8ce90ec996d75c73fefc8)
et par suite
![{\displaystyle \operatorname {triangle} \mathrm {S} aa'={\frac {\cos \beta }{2}}\cos \beta '\sin(\alpha '-\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a224667f9dd049655daeb46a1bb60493d6cfa5)
on aura donc, par analogie,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {surf} aa'a''&={\frac {\cos \beta \cos \beta '}{2}}\sin(\alpha '-\alpha )+{\frac {\cos \beta '\cos \beta ''}{2}}\sin(\alpha ''-\alpha ')\\&-{\frac {\cos \beta \cos \beta ''}{2}}\sin(\alpha ''-\alpha )\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64cdb79ed4a0cd6126ec6a8392f79c6fd229d3d)
donc
prisme tronqué |
|
|
|
La pyramide
mais
est la surface du triangle
![{\displaystyle a\mathrm {S} a''={\frac {\cos \beta '\cos \beta ''}{2}}\sin(\alpha ''\!-\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d6128cf6523016d2ec9260179396e67348db9f)
on a donc,
Pyramide
![{\displaystyle \mathrm {SAA} ''a''a={\frac {1}{6}}(\sin \beta +\sin \beta '')\cos \beta \cos \beta ''\sin(\alpha ''\!-\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7eb01159ce0647d38cf9dc2664c2911472c400f)
et par analogie,
Pyramide ![{\displaystyle \mathrm {SA} a\mathrm {A} 'a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829ad1eda6bb39c332d82a3ee283e9ebc8421d73) |
|
Pyramide ![{\displaystyle \mathrm {SA'A} ''a''a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda41dcc3150946ebc917de8389e1a9b1bc8eea8) |
'
|
En effectuant les produits et en faisant la somme algébrique indiquée,
on obtiendra pour volume de la pyramide
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \beta \cos \beta '\cos \beta ''&\sin(\alpha ''\!-\alpha ')-\sin \beta '\cos \beta \cos \beta ''\sin(\alpha ''\!-\alpha )\\+&\sin \beta ''\cos \beta \cos \beta '\sin(\alpha '\!-\alpha ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e968110134432eb31773364aa8e3d945abcaf30f)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle {}+\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha '\!-\alpha ){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e6cbbc04d5cbbed3727240865969461f61d216)
ou égal à
![{\displaystyle \cos \beta \cos \beta '\cos \beta ''{\text{(0.1.2)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d92405e0a1c40779c13fc1046228f966da60b7)
ce qui démontre le théorème.
L’équation de Gauss
![{\displaystyle c\mathrm {Q} \sin \omega \sin ^{4}z=\sin(z-\omega -\sigma ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0bbb95c3580a8bbb864869e872c004e5bc13d44)
en posant
![{\displaystyle c\mathrm {Q} \sin \omega =\mathrm {Q} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1c0bd1b7ac3183de44fce871f36873b0b3a1e7)
et
![{\displaystyle \omega +\sigma =\omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89259d1aeb00be19745c354ec07a314e99ad1c18)
devient
(1)
|
|
|
Nous considérerons
comme positif. Si dans une application numérique
cette quantité était négative, on prendrait au lieu de
qui
est donné par une tangente,
±180.
Si l’on développe l’équation (1) de manière qu’elle ne contienne
plus que des termes en
on trouve
(2)
|
|
|
équation du huitième degré.
L’angle
représente l’angle à l’astre, c’est-à-dire un angle plus
petit que 180°, donc
doit toujours être positif.
Si
est positif, l’équation (2) contient trois variations, donc
cette équation n’a pas plus de trois racines positives ; si
est négatif
l’équation ne contient plus qu’une variation, donc elle a au plus une racine positive ; le dernier terme de l’équation étant essentiellement
négatif, il est évident qu’elle a toujours au moins une racine positive, c’est celle qui répond à la solution relative à la Terre.
Comme lorsqu’on calcule l’orbite d’une planète observée, il doit
évidemment y avoir une valeur de
autre que celle relative à la
Terre, on en conclut que dans la pratique (si les observations sont
aussi exactes qu’elles peuvent l’être) on doit toujours avoir
![{\displaystyle \cos \omega '\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84191c06a8304082b0ba7b98f1d032237fa2fc33)
positif,
c’est-à-dire,
toujours compris entre ±90°. Nous trouverons
tout à l’heure des limites plus resserrées.
Si l’on change
en
dans l’équation (2), on voit que lorsque
est positif, l’équation transformée n’a qu’une variation ; donc dans
ce cas, qui est le seul que nous considérons, la proposée ne peut pas
avoir plus d’une racine négative ; dans le cas où
est négatif,
la transformée a trois variations, donc la proposée ne peut pas avoir
plus de trois racines négatives. Ainsi, dans tous les cas, il ne peut
pas y avoir plus de quatre racines réelles, et comme il y en a toujours
au moins une, celle de la Terre, et que las racines imaginaires sont
conjuguées deux à deux, c’est-à-dire sont en nombre pair, il est bien
évident que l’équation (2) admet deux ou quatre racines réelles dont
nous ne devons considérer que les racines positives.
La solution de l’équation de Gauss a donné lieu à plusieurs travaux
que nous n’entreprendrons pas de développer ici complètement.
Le but que tous les savants se sont proposé à ce sujet, a été d’obtenir
graphiquement une première détermination de la valeur de
sur
laquelle on put baser ensuite, les essais à l’aide desquels on arrive
à une détermination exacte de la racine cherchée.
Déjà, en 1827, M. Binet avait donné une élégante solution graphique de l’équation à laquelle l’a conduit sa méthode relative à la
« Détermination des orbites des planètes et des comètes. » Cette équation, qui contient comme inconnue la distance
de la planète à la
Terre, se ramène facilement à l’équation de Gauss par un changement d’inconnue, c’est-à-dire en substituant à
l’angle à la planète
qui est l’inconnue de Gauss, à l’aide des relations qui existent
entre ces deux quantités.
En 1848, M. Encke présenta aussi à l’Académie des sciences de Berlin une note sur la solution graphique de l’équation
![{\displaystyle m\sin ^{4}z=\sin(z-q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f5817cbe0a2c699b5044c691973102f3cfdf2e)
Dans cette note, le savant astronome discutait les solutions qui
peuvent se présenter, et le moyen de les déterminer. Son moyen
graphique consiste à déterminer les points d’intersection des deux
courbes
et
![{\displaystyle y=\sin(z-q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f62c58048c55f75c22d7fa32aa4200f85340a05)
Après avoir déterminé les limites
et
entre lesquelles
doit
tomber, et aussi la limite supérieure de
pour que, étant donnée
une équation
![{\displaystyle m\sin ^{4}z=\sin(z-q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809a244d22009d2b9a51d10c687dc24920ed594f)
une valeur réelle de
soit possible, M. Encke donne les conditions
d’après lesquelles on peut trouver une orbite différente de celle
de la Terre, satisfaisant à trois observations complètes d’une planète.
Une table fut aussi construite, donnant pour l’argument
de degré
en degré, les racines correspondantes des limites
et
disposées
suivant leur ordre de grandeur. Les racines exactes de l’équation
proposée doivent tomber entre ces racines limites.
Il me paraît inutile de parler d’un grand nombre d’autres solutions
graphiques résolvant le problème plus ou moins facilement, en
employant, soit une ligne courbe et une ligne droite, soit une ligne
courbe et un cercle.
Nous allons simplement donner, avec quelque développement,
l’élégante solution insérée par M. Yvon Villarceau dans les Annales de l’Observatoire impérial, tome III.
Reprenons l’équation
(1)
|
|
|
En prenant les logarithmes népériens des deux membres, nous
obtenons
(2)
|
|
|
Désignons par
la longueur d’une ligne quelconque ; nous pouvons
poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\nu z,&\Omega &=\nu \omega ',&\mathrm {Q} ''&=\nu \log \mathrm {Q} '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e664eda719cada1664a01b147659b0de9d2a9a1)
Introduisant ces relations dans l’équation (2), après l’avoir multipliée
par
elle devient
(3)
|
|
|
Pour résoudre cette équation il suffit de construire les deux courbes
ayant pour équations
(4)
|
|
|
(5)
|
|
|
La construction de ces deux courbes peut se ramener à celle de la
courbe
(6)
|
ou
|
|
puisque la courbe (4) n’est autre chose que la courbe (6) dans laquelle
on a pris pour nouvelle origine le point dont les deux coordonnées
sont
et
la courbe (5) peut se déduire de la
courbe (6) en quadruplant les ordonnées.
La première chose à faire est donc de construire la courbe
![{\displaystyle y=-\ \nu \log \sin {\frac {x}{\nu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf69499a8238d6de0a5b23d66dfb68cc4aaf7e03)
Si nous prenons
égal au module des tables, c’est-à-dire
![{\displaystyle \nu =0,43429448,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e6f38456313e1eef8f5dac0bc03dc914a14f07)
nous aurons, en désignant par
les logarithmes vulgaires,
(7)
|
|
|
et de plus
![{\displaystyle \mathrm {Q} ''=\ l.\mathrm {Q} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7540994d029d662ff758c344fbc25e0b70c3c79c)
Pour construire l’équation (7), portons sur l’axe des
fig. (6),
une longueur égale à celle qui correspond à
180° ; en la désignant
par
on aura
![{\displaystyle {\frac {a}{\nu }}=\pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04f6ff6f4fe45412669f58558754064e44fd744)
d’où
![{\displaystyle a=\pi \nu =1,364376.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7455fb274f8138c9eba867d1582bd8a378e5f220)
Ainsi, la longueur qui sur l’axe des
représente les 180e développés,
est égale à 1,364376 unités de longueur.
Nous pouvons diviser cette ligne en 180 parties égales représentant
les degrés développés ; mais aux points de divisions nous
inscrirons le nombre de degrés correspondants ; de cette manière,
l’axe des
nous indiquera tout de suite les nombres de degrés de
l’arc
Si aux extrémités de la ligne
on élève des perpendiculaires,
ces deux droites seront évidemment asymptotes à la courbe qui sera
tangente à l’axe des
au point
qui correspond à
On peut évidemment prendre l’unité de longueur arbitrairement ;
nous l’avons prise de telle sorte que
![{\displaystyle \mathrm {OX} =a=0^{\mathrm {m} }\!,09.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2166c3918433eb1feec0d55edf564121569940b7)
De cette manière, chaque demi-millimètre nous représente un
degré, et il a été facile de diviser
en 180 parties égales.
D’après la longueur adoptée pour
on a évidemment, pour unité
de longueur,
unité
![{\displaystyle {}={\frac {0^{\mathrm {m} },\!09}{1,364376}}=0^{\mathrm {m} },\!066.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6db65a0d3e3f8f557477b6939809883ab023145)
Nous avons porté cette unité sur l’axe des
en considérant négativement
les longueurs comptées au-dessus de l’axe des
et nous
avons divisé chaque intervalle en dix parties égales.
Pour avoir maintenant les points de la courbe correspondant aux
abscisses notées 2°, 4°, 6°, 8°, 10°, 20°, 30°,… etc., nous avons déterminé,
au moyen des tables de Callet, les nombres correspondants
à
etc.
En multipliant les nombres trouvés par l’unité 0m,066 on aura
chaque ordonnée exprimée en millimètres, ce qui sera plus commode,
si l’on se sert d’un double décimètre.
En joignant tous les points ainsi obtenus, par un trait continu, nous
avons enfin la courbe (M).
Pour construire la courbe (N), (fig. 7), dont l’équation est
![{\displaystyle y=-4l.\sin {\frac {x}{\nu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba0d5650c28b4117837a2fb611031d119a4aa68)
nous prendrons les mêmes abscisses que dans la courbe (M), et pour
avoir les ordonnées correspondantes, il suffira de multiplier par 4
tous les nombres que nous avons obtenus pour valeurs des ordonnées
de la courbe (M).
Dans la pratique, on calquera sur une feuille de papier transparent
la courbe (M), et c’est en la portant sur la courbe (N) de manière
que l’origine se trouve aux points dont l’ordonnée est
et l’abscisse
et aussi que les axes des coordonnées des deux courbes soient parallèles,
que l’on obtient les points d’intersection des deux courbes. Les
abscisses de ces points d’intersection donnent les trois racines positives
de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {Q} '\sin ^{4}z=\sin(z-\omega '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe63d4951f7a035fdcd0c1465334d5a08cc6014)
les seules dont nous ayons à nous occuper.
Les deux courbes ayant chacune une seule branche, on voit bien
qu’il ne peut y avoir plus de trois points d’intersection.
Lorsque ces courbes ne se coupent qu’en un point, c’est la solution
relative à la Terre, il n’y a pas à s’en occuper.
Cherchons les relations qui doivent exister entre
et
pour
que deux des racines de l’équation proposée deviennent égales entre
elles. Cette relation entre
et
donnera un lieu géométrique
dont la surface comprise entre les deux branches et s’étendant le
long de l’axe des
contiendra tous les points du plan qui pourront
seuls convenir à la position de l’origine de la courbe (M) transportée
sur la courbe (N).
Pour que l’équation (2) ait des racines égales, il faut que la même
valeur de
satisfasse à cette équation et à sa dérivée
(8)
|
|
|
Pour obtenir le lieu qui, dans le cas des racines égales, existerait
entre
et
il faudrait éliminer
entre les équations (2) et (8).
Cette élimination nous conduirait à une équation trop compliquée ;
aussi allons-nous la construire par points, après avoir discuté sa
forme.
Nous remarquerons d’abord que pour
il faut, d’après
l’équation (8), que
et d’après l’équation (2), que
ce qui indique que l’axe des
est asymptote à la courbe. Pour
on a
et
c’est-à-dire que la courbe passe
par l’origine.
Nous remarquons en outre que l’équation (8) ne change pas
quand on change à la fois
en
et
en
la quantité
reste la même. Par conséquent, à la même valeur de
correspondent deux valeurs de
égales et de signes contraires, c’est-à-dire
que la courbe que nous voulons construire est symétrique par
rapport à l’axe des
Nous pouvons voir tout de suite que la courbe est limitée suivant
l’axe des
car si nous cherchons la valeur de
qui rend ω’ maximum,
nous trouvons, en différentiant l’équation (8),
(9)
|
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Comme nous savons que la courbe n’a pas de minimum, puisqu’elle
passe par l’origine, nous allons égaler à zéro le second membre
de l’équation (9) ; nous trouvons ainsi
(10)
|
|
|
En multipliant cette équation par l’équation
![{\displaystyle 4\operatorname {cotang} z=\operatorname {cotang} (z-\omega '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a02c8141b95e371164a05e325b2bc9fc6da450)
nous trouvons
(11)
|
|
|
Éliminons
entre (10) et (11) nous trouvons
![{\displaystyle \sin z={\sqrt {\frac {4}{5}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8063850a23363aaf2e5d75c47b073d420697131)
d’où l’on déduit
![{\displaystyle z=63^{\circ }\,26'\,5''\!,82.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6f263ba274d85941fab3fc85a9d4b95a53c6db)
En substituant cette valeur dans l’équation (10), on trouve
![{\displaystyle \omega '=\pm \,36^{\circ }\,52'\,11''\!,64.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05be93336c1d84513560d2fbda3576dad5e7766c)
Ainsi, le lieu géométrique qui représente la relation devant exister
entre
et
pour que deux des racines soient égales, est compris
dans un rectangle ayant pour axe l’axe des
et dont les côtés
latéraux passent par les points de l’axe des
qui correspondent à
± 36° 52′ 11,64″.
Si nous substituons dans l’équation (2) les logarithmes sinus relatifs
aux angles que nous venons de trouver, nous obtenons, en employant
les logarithmes vulgaires,
![{\displaystyle l.\mathrm {Q} '=0,155665.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb59c4d6042c3a87c0ab7aa29dddb0a112090eb)
Ainsi en prenant
(fig. 7), nous aurons en menant
par ce point une parallèle à l’axe des
une ligne que le lieu
géométrique ne devra pas dépasser ; les points
et
dont les coordonnées
sont respectivement,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\omega '&=+\,36^{\circ }\,52'\,11''\!,64,&\omega '&=-\,36^{\circ }\,52'\,11''\!,64,\\l.\mathrm {Q} '&=\quad 0,155665,&l.\mathrm {Q} '&=\quad 0,155665\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad302d00ed9c31b3642de7b3213982af348acd66)
sont donc deux points de la courbe cherchée. Cette courbe ne pouvant
passer ni à droite de
ni à gauche de
ni au-dessous de
il est clair que les points
et
sont des points de rebroussement.
Si nous différentions l’équation (2), il vient
![{\displaystyle d.\log \mathrm {Q} '=\operatorname {cotang} (z-\omega ')(dz-d\omega ')-4\operatorname {cotang} z\,dz\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444e1ffc65bad9c4c8024c0c38ebcc726571eb31)
mais l’équation (8), différentiée, donne aussi
![{\displaystyle dz-d\omega '={\frac {4\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87ce73e8e8cf7b62e54212ffe1e5119838c68b5)
en substituant cette valeur dans l’équation ci-dessus, nous avons
![{\displaystyle d.\log \mathrm {Q} '=4\operatorname {cotang} z\left({\frac {\operatorname {cotang} (z-\omega ')}{\operatorname {cotang} z}}{\frac {\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}-1\right)\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fabc28117047292f276e662455c88dee7e3437b)
ou, en ayant égard à la relation (8)
![{\displaystyle d.\log \mathrm {Q} '=4\operatorname {cotang} z\left({\frac {4.\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}-1\right)\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed5f0da0f85015e257a7f99bf02cd893245f50d)
Mais nous avons déjà trouvé
![{\displaystyle d\omega '=\left(1-{\frac {4\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}\right)dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e9b6966eea5c325dd5a4ddc11eb1e934f98da0)
on déduit de ces deux relations,
(12)
|
|
|
Nous savons maintenant, que pour le point
on a
il vient,
en introduisant cette valeur,
![{\displaystyle {\frac {d.\log \mathrm {Q} '}{d\omega '}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527443d8fc86c296e7f96ddd25d85d9ed5e91dfa)
c’est-à-dire, qu’à l’origine, l’axe des
est tangent à la courbe.
Nous pouvons maintenant construire la courbe par points au
moyen des deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cotang} &(z-\omega ')=4\operatorname {cotang} z\\\log \mathrm {Q} '={}&\log \sin(z-\omega ')-4\log \sin z\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d73da4d7ceac6c31f0e4f2c73390a11efebca5)
Pour cela nous ferons varier
de 0° à 90° ou de 180° à 90° dans
la première équation, ce qui nous donnera les valeurs de
puis
les valeurs de
et de
correspondantes, introduites dans la seconde
équation, donneront les valeurs correspondantes de
ou plutôt
de
C’est ainsi que nous avons construit par points la courbe
(fig. 7).
Nous savons maintenant que si l’on transporte la courbe (M) sur
la courbe (N), en plaçant l’origine de la première au point indiqué
par
et
l’équation de Gauss aura deux de ses racines positives
égales, lorsque la position de l’origine se trouvera en un point
quelconque de la courbe
les deux courbes (M) et (N) seront
alors tangentes.
Si l’origine de la courbe (M) se trouve en dehors de la courbe
par rapport à l’axe des
de la courbe (N), il n’y aura plus
qu’un point d’intersection, c’est-à-dire, que l’équation de Gauss
n’aura qu’une racine positive, ce sera celle relative à la Terre. Dans
ce cas, les données du problème seront insuffisantes pour trouver
l’orbite, et il faudra se procurer des observations plus exactes.
D’après tout ce que nous venons de dire, voici comment on devra
agir pour résoudre l’équation (1), c’est-à-dire pour trouver la valeur
de
qui convient au problème.
Au moyen de
et de
on déterminera sur le plan de la courbe (N)
les coordonnées de l’origine de la courbe (M). Ce point devra
se trouver dans l’intérieur de la courbe
s’il se trouve en dehors,
les observations ne sont pas suffisamment précises, il faudra en choisir
d’autres.
Ayant placé, en ce point, l’origine de la courbe (M) tracée sur
un papier transparent, on déterminera ses points d’intersection avec
la courbe (N). Les abscisses de ces points donneront, d’une manière
approchée, les trois racines positives de l’équation (1).
Comme nous savons que
doit être plus petit que l’angle
on devra ne considérer, parmi ces trois racines, que
celle qui remplit cette condition.
Si deux des points avaient pour abscisses des quantités moindres
que
on déterminerait, à l’aide de tâtonnements appliqués
à l’équation (1), et en partant de ces deux valeurs approchées,
leur exacte valeur satisfaisant avec précision à cette équation.
À l’aide de ces deux valeurs de
on trouverait, par suite, deux
orbites, et en comparant les positions fournies par chacune, de ces
orbites avec celles obtenues par des observations postérieures, on
verrait laquelle des deux convient le mieux.