L’Encyclopédie/1re édition/ADDITION

La Chapelle, d’Alembert, Toussaint

L’Encyclopédie, 1^re éd.

Texte établi par D’Alembert, Diderot, 1751 (Tome 1, p. 128-130).

ADDITION, en Arithmétique, c’est la premiere des quatre regles ou opérations fondamentales de cette Science. Voyez Arithmétique.

L’addition consiste à trouver le total ou la somme de plusieurs nombres que l’on ajoûte successivement l’un à l’autre. Voyez Nombre, Somme ou Total.

Dans l’Algebre le caractere de l’addition est le signe +, que l’on énonce ordinairement par le mot plus : ainsi 3 + 4 signifie la somme de 3 & de 4 ; & en lisant on dit trois plus quatre. Voyez Caractere.

L’addition des nombres simples, c’est-à-dire composés d’un seul chiffre, est fort aisée. Par exemple, on apperçoit d’abord que 7 & 9, ou 7 + 9 font 16.

Dans les nombres composés, l’addition s’exécute en écrivant les nombres donnés par colonnes verticales, c’est-à-dire, en mettant directement les unités sous les unités, les dixaines sous les dixaines, &c. après quoi l’on prend séparément la somme de toutes ces colonnes.

Mais pour rendre cela bien intelligible par des exemples, supposons que l’on propose de faire l’addition des nombres 1357 & 172 : après les avoir écrits l’un sous l’autre, comme on le voit,

1357
172
1529	somme ou total

On commence par l’addition des unités, en disant 7 & 2 sont 9, qu’il faut écrire sous la colonne des unités ; passant ensuite à la colonne des dixaines, on dira 5 & 7 sont 12 (dixaines) qui valent 1 cent & 2 dixaines, on posera donc 2 dixaines sous la colonne des dixaines, & l’on retiendra 1 cent que l’on doit porter à la colonne des cens, où l’on continuera de dire 1 (cent qui a été retenu) & 3 sont 4, & 1 sont 5 (cens) ; on écrira 5 sous la colonne des cens : passant enfin à la colonne des mille où il n’y a qu’un, on l’écrira sous cette colonne, & la somme ou le total de tous ces nombres réunis, sera 1529.

Ensorte que pour faire cette opération, il faut réunir ou ajoûter toutes les unités de la premiere colonne, en commençant de la droite vers la gauche ; & si la somme de ces unités ne surpasse pas 9, on écrira cette somme entiere sous la colonne des unités : mais si elle est plus grande, on retiendra le nombre des dixaines contenues dans cette somme pour l’ajoûter à la colonne suivante des dixaines ; & dans le cas où il y aura quelques unités, outre ce nombre de dixaines, on les écrira sous la colonne des unités ; quand il n’y en aura pas, on mettra 0, ce qui signifiera qu’il n’y a point d’unités, mais simplement des dixaines, que l’on ajoûtera à la colonne suivante des dixaines, où l’on observera précisément les mêmes lois qu’à la précédente ; parce que 10 unités valent 1 dixaine ; 10 dixaines valent 1 cent ; 10 cens valent 1 mille, &c.

Ainsi pour faire l’addition des nombres 87899 + 13403 + 1920 + 885, on les disposera comme dans l’exemple précédent :

87899
13403
1920
885
104107	total

Et après avoir tiré une ligne sous ces nombres ainsi disposés, on dira 9 & 3 sont 12, & 5 sont 17, où il y a une dixaine & 7 unités ; on écrira donc 7 sous la colonne des unités, & l’on retiendra 1 (dixaine) que l’on portera à la colonne des dixaines, où l’on dira 1 (dixaine retenue) & 9 sont 10, & 2 sont 12, (le 0 ne se compte point) & 8 sont 20 (dixaines) qui valent précisément 2 cens, puisque 10 dixaines valent 1 cent ; on écrira donc 0 sous la colonne des dixaines pour marquer qu’il n’y a point de dixaine, & l’on portera les 2 cens à la colonne des cens, où il faudra poursuivre l’opération, en disant 2 (cens retenus) & 8 sont 10, & 4 sont 14, & 9 sont 23, & 8 sont 31 cens, qui valent 3 milles & 1 cent ; on posera donc 1 sous la colonne des cens, & l’on portera les 3 (mille) à celle des mille, où l’on dira 3 (mille retenus) & 7 sont 10, & 3 sont 13, & 1 sont 14 mille, qui valent 1 (dixaine) de mille, & 4 (mille) ; ainsi l’on écrira 4 (mille) sous la colonne des mille, & l’on portera 1 (dixaine de mille) à la colonne des dixaines de mille, où l’on dira 1 (dixaine de mille retenue) & 8 sont 9, & 1 sont 10 (dixaine de mille), qui valent précisément 1 centaine de mille ; ainsi l’on écrira 0 sous la colonne des dixaines de mille, pour marquer qu’il n’y a point de pareilles dixaines, & l’on placera en avant 1 (centaine de milles), ce qui achevera l’opération, dont la somme ou le total sera 108107.

Quand les nombres ont différentes dénominations : par exemple, quand ils contiennent des livres, des sous, & des deniers, ou des toises, des piés, des pouces, &c. on aura l’attention de placer les deniers sous les deniers, les sous sous les sous, les livres, &c. & l’on opérera comme ci-dessus. Supposons pour cela que l’on propose d’ajoûter les nombres suivans, 120 l. 15^s. 9^d. + 65 l 12^s. 5^d. + 9 l. 8^s. 0^d. (le signe l. signifie des livres ; celui-ci ^s. des sous, & celui-là ^d. des deniers), on les disposera comme on le voit dans cet exemple :

120	l.	15	s.	9	d.
65		12		5
9		8		0
195	l.	16	s.	2	d.	somme

Et après avoir tiré une ligne, on commencera par les deniers, en disant 9 & 5 sont 14 deniers, qui valent un sou & 2 deniers (puisque 1 sou vaut 12 deniers) ; on écrira donc 2 deniers sous la colonne des deniers, & l’on portera 1 sou à la colonne des sous, où l’on dira 1 (sou retenu) & 5 sont 6, & 2 sont 8, & 8 sont 16^s. qui valent 6 sous & 1 dixaine de sous ; ainsi l’on écrira 6 sous sous les unités de sous, & l’on retiendra 1 dixaine de sous pour le porter à la colonne des dixaines de sous, où l’on dira 1 (dixaine retenue) & 1 sont 2, & 1 sont 3 dixaines de sous, qui valent 30 sous ou 1 livre & 1 dixaine de sous ; car 1 livre vaut 20 sous : on écrira donc 1 dixaine de sous sous la colonne des dixaines de sous ; & retenant 1 livre on la portera à la colonne des unités de livres, où continuant d’opérer à l’ordinaire, on trouvera que le total est 195 l. 16^s. 2^d.

L’addition des décimales se fait de la même maniere que celle des nombres entiers ; ainsi qu’on peut le voir dans l’exemple suivant :

	630.	953
	51.	0807
	305.	27
Somme	987.	3037

Voyez encore le mot Décimal. (E)

L’addition, en algebre, c’est-à-dire, l’addition des quantités indéterminées, désignées par les lettres de l’alphabet, se fait en joignant ces quantités avec leurs propres signes, & réduisant celles qui sont susceptibles de réduction ; savoir les grandeurs semblables. Voyez Semblable, & Algebre.

Ainsi a ajoûté à la quantité b, donne a + b ; & a joint avec – b, fait a – b ; – a & – b, font – a – b ; 7a & 9a font 7a + 9a = 16a ; car 7a & 9a sont des grandeurs semblables.

Si les grandeurs algébriques, dont on propose de faire l’addition, étoient composées de plusieurs termes où il y en a de semblables ; par exemple, si l’on avoit le polynome 3a²b³ – 5cs⁴ – 4dr + 2s qu’il fallût ajoûter au polynome – s + 4cs⁴ – a²b³ + 4dr ; l’on écriroit d’abord l’un de ces polynomes, tel qu’il est donné, comme on le voit :

3a2b3	– 5cs4	– 4dr	+ 2s
– a2b3	+ 4cs4	+ 4dr	–s
2a2b3	– cs4	*	+s…	Total

On disposeroit ensuite l’autre polynome sous celui que l’on vient d’écrire, de maniere que les termes semblables fussent directement les uns sous les autres : on tireroit une ligne sous ces polynomes ainsi disposés, & réduisant successivement les termes semblables à leur plus simple expression, on trouveroit que la somme de ces deux polynomes est $\scriptstyle 2a^{2}b^{3}-cs^{4}+s$, en mettant une petite étoile ou un zero sous les termes qui se détruisent totalement.

Remarquez que l’on appelle grandeurs semblables, en Algebre, celles qui ont les mêmes lettres & précisément le même nombre de lettres ; ainsi 5abd & 2abd sont des grandeurs semblables ; la premiere signifie que la grandeur abd est prise 5 fois, & la seconde, qu’elle est prise 2 fois ; elle est donc prise en tout 7 fois ; l’on doit donc écrire 7abd au lieu de 5abd + 2abd ; & comme l’expression 7abd est plus simple que 5abd + 2abd, c’est la raison pour laquelle on dit en ce cas que l’on réduit à la plus simple expression.

Pour reconnoître facilement les quantités algébriques semblables, on ne doit point faire attention à leur coefficient : mais il faut écrire les lettres dans l’ordre de l’alphabet. Quoique 2abd soit la même chose que 2abd ou 2dba ; cependant on aura une grande attention de ne point renverser l’ordre de l’alphabet, & d’écrire 2abd, au lieu de 2abd ou de 2bda : cela sert à rendre le calcul plus clair ; 5abd & 2abd paroissent plûtôt des grandeurs semblables que 5bad & 2bda, qui sont pourtant la même chose que les précédentes. Les quantités 3b²c & 4b²c sont aussi des grandeurs semblables : mais les grandeurs 4a³f & 2a³ ne sont pas semblables, quoiqu’elles ayent de commun la quantité a³ ; parce qu’il est essentiel aux grandeurs semblables d’avoir les mêmes lettres & le même nombre de lettres.

On observera encore que les quantités positives ou affectées du signe + sont directement opposées aux quantités négatives ou précédées du signe – ; ainsi quand les grandeurs dont on propose l’addition sont semblables & affectées de signes contraires, elles se détruisent en tout ou en partie, c’est-à-dire, que dans le cas où l’une est plus grande que l’autre, il se détruit dans la plus grande une partie égale à la plus petite, & le reste est la différence de la plus grande à la plus petite, affectée du signe de la plus grande.

Or cette opération ou réduction tombe toûjours sur les coefficients : il est évident que 5df & – 3df se réduisent à + 2df ; puisque + 5df montre que la quantité df est prise 5 fois, & – 3df fait connoître que la même quantité df est retranchée 3 fois : mais une même quantité prise 5 fois & ôtée 3 fois se réduit à n’être prise que 2 fois.

Pareillement + 5fm & – 6fm se réduisent à – 1fm ou simplement à – fm ; car – 6fm est la quantité fm ôtée 6 fois, & + 5fm est la même quantité fm remise 5 fois ; la quantité fm reste donc négative encore une fois, & est par conséquent – fm. V. Négatif.

Il n’y a point de grandeurs Algébriques, dont on ne puisse faire l’addition, en tenant la conduite que l’on a indiquée ci-dessus : ainsi $\scriptstyle {\frac {3a}{c}}+{\frac {5a}{c}}={\frac {8a}{c}}$, $\scriptstyle 2{\sqrt {ac}}+7{\sqrt {ac}}=9{\sqrt {ac}}$, $\scriptstyle 6{\sqrt {ab-xx}}+7{\sqrt {ac-xx}}=13{\sqrt {ac-xx}}$. De même $\scriptstyle 6{\sqrt {3}}+7{\sqrt {3}}=13{\sqrt {3}}$. L’on a encore $\scriptstyle a{\sqrt {ac}}+b{\sqrt {ac}}=\left(a+b\right){\sqrt {ac}}$ en ajoûtant ensemble les grandeurs a, b, qui multiplient la quantité $\scriptstyle {\sqrt {ac}}$.

Pareillement $\scriptstyle {\frac {{\overline {2a+3c}}{\sqrt {3axx-x^{3}}}}{a+x}}+{\frac {3a{\sqrt {3axx-x^{3}}}}{a+x}}={\frac {{\overline {5a+3c}}{\sqrt {3axx-x^{3}}}}{a+x}}$, puisque $\scriptstyle 2a+3c+3a=5a+3c$.

On fait l’addition des fractions positives ou affirmatives, qui ont le même dénominateur, en ajoûtant ensemble leur numérateur, & mettant sous cette somme le dénominateur commun : ainsi $\scriptstyle {\frac {1}{5}}+{\frac {2}{5}}={\frac {3}{5}}$ ; $\scriptstyle {\frac {2ax}{b}}+{\frac {3ax}{b}}={\frac {5ax}{b}}$ ; $\scriptstyle {\frac {8a{\sqrt {cx}}}{2a+{\sqrt {cx}}}}+{\frac {17a{\sqrt {cx}}}{2a+{\sqrt {cx}}}}={\frac {25a{\sqrt {cx}}}{2a+{\sqrt {cx}}}}$ ; & $\scriptstyle {\frac {aa}{c}}+{\frac {bx}{c}}={\frac {aa+bx}{c}}$. Voyez Fraction.

On fait l’addition des quantités négatives de la même maniere précisément que celle des quantités affirmatives : ainsi $\scriptstyle -2$ & $\scriptstyle -3=-5$ ; $\scriptstyle -{\frac {4ax}{b}}$ & $\scriptstyle -{\frac {11ax}{b}}=-{\frac {15ax}{b}}$ ; $\scriptstyle -a{\sqrt {ax}}$ & $\scriptstyle -b{\sqrt {ax}}=-{\overline {a-b}}{\sqrt {ax}}$.

Quand il faut ajoûter une quantité négative à une quantité affirmative, l’affirmative doit être diminuée par la négative, ou la négative par l’affirmative : ainsi $\scriptstyle +3-2=1$ ; $\scriptstyle {\frac {11ax}{b}}$ & $\scriptstyle -{\frac {4ax}{b}}={\frac {7ax}{b}}$ ; $\scriptstyle -a{\sqrt {ac}}$ & $\scriptstyle +b{\sqrt {ac}}={\overline {b-a}}{\sqrt {ac}}$ ; pareillement $\scriptstyle +2-3=-1$ ; $\scriptstyle -{\frac {11ax}{b}}$ & $\scriptstyle {\frac {+4ax}{b}}=-{\frac {7ax}{b}}$ ; de même $\scriptstyle +2{\sqrt {ac}}$ & $\scriptstyle -7{\sqrt {ac}}=-5{\sqrt {ac}}$.

S’il s’agit d’ajoûter des irrationels ; quand ils n’auront pas la même dénomination, on la leur donnera. En ce cas, s’ils sont commensurables entr’eux, on ajoûtera les quantités rationnelles sans les lier par aucun signe, & après leur somme on écrira le signe radical : ainsi $\scriptstyle {\sqrt {8}}+{\sqrt {18}}={\sqrt {4\times 2}}+{\sqrt {9\times 2}}=2{\sqrt {2}}+3{\sqrt {2}}=5{\sqrt {2}}={\sqrt {50}}$. Au contraire $\scriptstyle {\sqrt {5}}$ & $\scriptstyle {\sqrt {7}}$ étant incommensurables, leur somme sera $\scriptstyle {\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}$. Voyez Sourd & Incommensurable. Voyez aussi Arithmétique universelle. (O)

Addition, s. f. en termes de Pratique, est synonyme à supplément : ainsi une addition d’enquête ou d’information, est une nouvelle audition de témoins, à l’effet de constater davantage un fait dont la preuve n’étoit pas complete par l’enquête ou information précédemment faite. (H)

Additions, s. f. pl. dans l’Art de l’Imprimerie, sont de petites lignes placées en marge, dont le caractere est pour l’ordinaire de deux corps plus minuté que celui de la matiere. Elles doivent être placées à côté de la ligne à laquelle elles ont rapport, sinon on les indique par une * étoile, ou par les lettres a, b, c, &c. On y porte les dates, les citations d’Auteurs, le sommaire de l’article à côté duquel elles se trouvent. Quand les lignes d’additions par leur abondance excedent la colonne qui leur est destinée, & qu’on ne veut pas en transporter le restant à la page suivante, pour lors on fait son addition hachée, c’est-à-dire, que l’on raccourcit autant de lignes de la matiere, qu’il en est nécessaire pour y substituer le reste ou la suite des additions ; dans ce cas, ces dernieres lignes comprennent la largeur de la page & celle de l’addition.