CHAPITRE XXVIII.
SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
314.Considérons un système d’équations
(1)
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où les
sont des fonctions de
et de
périodiques
de période
par rapport à ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Soit
(2)
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une solution périodique de période
des équations (1).
Nous allons chercher si les équations (1) admettent d’autres
solutions périodiques, très voisines de (2) et dont la période soit
multiple de
Ces solutions, si elles existent, s’appelleront solutions périodiques du deuxième genre.
Considérons une solution des équations (1), très voisine de (2). Soit
![{\displaystyle \varphi _{i}(0)+\beta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3801d6e0a12d862da4a859aa63ae9cf83811d0)
la valeur de
pour
et
![{\displaystyle \varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}=\varphi _{i}(k\mathrm {T} )+\beta _{i}+\psi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ebdf12337eb670f0bed9214b3602169d185379)
la valeur de
pour
(
étant un entier).
Les
et les
dont la définition est ainsi la même qu’au Chapitre III
seront très petits et l’on verrait comme au Chapitre III
que les
sont des fonctions des
développables suivant les puissances
croissantes des
Pour que la solution soit périodique de période
il faut et il suffit que
(3)
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Les
étant des fonctions périodiques, les
s’annulent avec
les
Nous supposerons que les fonctions
qui figurent dans les
équations (1) dépendent d’un certain paramètre
Alors, les fonctions
dépendront non seulement de
mais de
par rapport
à
elles seront périodiques de période
étant une constante
indépendante de
Dans ces conditions, les fonctions
dont la définition reste la
même, dépendront non seulement des
mais de
Si nous
regardons
![{\displaystyle \beta _{1},\quad \beta _{2},\quad \ldots ,\quad \beta _{n},\quad \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e30ed860024f6a700c76dc4a2543e9205ad096)
comme les coordonnées d’un point dans l’espace à
dimensions,
les équations (3) représentent une courbe dans cet espace.
À chaque point de cette courbe correspondra une solution périodique,
de période ![{\displaystyle k\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e15473eaaba03e63a448bd420e21161bac9392)
Comme les
s’annulent tous, quand les
s’annulent tous à la
fois, cette courbe comprendra la droite
(4)
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Aux différents points de cette droite correspondra la solution (2)
qui, étant une solution périodique de période
est, par
cela même, une solution périodique de période
Mais nous devons nous demander s’il existe d’autres solutions
périodiques, voisines de la première, ou, en d’autres termes, si la
courbe (3) comprend, outre la droite (4), d’autres branches de
courbe s’approchant très près de la droite (4).
En d’autres termes, y a-t-il des points de la droite (4) par où
passent des branches de la courbe (3) autres que cette droite ?
Soit
![{\displaystyle \beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{n}=0,\quad \mu =\mu _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e70ac6a6aaaf905789e350fae2c10c0687707c)
un point
de la droite (4).
Pour que par le point
passent plusieurs branches de courbe,
il faut qu’en ce point
le déterminant fonctionnel, ou jacobien,
des
par rapport aux
s’annule.
Cette condition n’est d’ailleurs pas suffisante, comme nous le
verrons plus loin, pour que par le point
passent plusieurs
branches de courbe réelles.
Formons le déterminant des
par rapport aux
ajoutons
à tous les termes de la diagonale principale et égalons à zéro le
déterminant ainsi obtenu. Nous obtiendrons ainsi l’équation
connue sous le nom d’équation en
Les racines de cette équation (Cf. no 60) sont
![{\displaystyle e^{k\alpha \mathrm {T} }-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c298f29416367868f19a3d2fdc52dd5e604672c2)
étant l’un des exposants caractéristiques des équations (1).
Pour que le déterminant fonctionnel soit nul il faut et il suffit
qu’une des racines soit nulle ; on doit donc avoir
![{\displaystyle e^{k\alpha \mathrm {T} }=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47bd6aa5ae6d9272533a2a9fc5930c059b9529f)
ce qui veut dire que
soit un multiple de ![{\displaystyle 2i\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7c2ffd88397dcdcf1652e8fc1a96d17164093b)
Donc, pour que par le point
passent plusieurs branches de
courbe, il faut que l’un des exposants caractéristiques soit
multiple de
315.Cette condition n’est pas suffisante et une discussion plus
complète est nécessaire.
Posons
![{\displaystyle \mu =\mu _{0}+\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efb1246c01c4189ad77216d8b6a92048f82962a)
et cherchons à développer les
suivant les puissances entières ou
fractionnaires de ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
Nous supposons que le jacobien des
par rapport aux
est
nul ; ce jacobien s’annule pour
mais ne sera pas en général
identiquement nul ; il faudrait pour cela que l’un des exposants
caractéristiques fût constant, indépendant de
et égal à un multiple
de
Nous supposerons donc que le jacobien s’annule pour
mais que sa dérivée, par rapport à
ne s’annule pas.
De même, nous supposerons d’abord que les mineurs du premier
ordre de ce jacobien ne s’annulent pas tous à la fois.
Dans ce cas, en vertu du théorème du no 30, de
des équations (3) on pourra tirer
des quantités
en séries
développées suivant les puissances entières de
et de la
ième
quantité
par exemple de
Dans la
ième équation (3), substituons les valeurs de
![{\displaystyle \beta _{1},\quad \beta _{2},\quad \ldots ,\quad \beta _{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ddce79b6a932734b5cdd5f60d3d1d89c8ff7a2)
ainsi trouvées. Le premier membre de cette
ième équation, se
trouvera ainsi développé suivant les puissances de
et de
écrivons-la sous la forme
![{\displaystyle \Theta (\lambda ,\beta _{n})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802976a6521eca3366b0b4b8ec11188df5e8b03e)
J’observe d’abord que
doit être divisible par
car la
droite (4) doit faire partie de la courbe (3).
D’autre part, la dérivée de
par rapport à
doit s’annuler
pour
puisque le jacobien s’annule. Pour
ne
contient donc pas de terme du premier degré ; supposons qu’il ne
contienne pas non plus de termes du deuxième, …, du
ième
degré, mais qu’il contienne un terme de degré
Enfin, comme la dérivée du jacobien par rapport à
ne s’annule
pas, nous aurons un terme en
Je puis donc écrire
![{\displaystyle \Theta =\mathrm {A} \,\lambda \beta _{n}+\mathrm {B} \,\beta _{n}^{p}+\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f955cb624a130828b2336a5178f513ec8909704)
étant un ensemble de termes contenant en facteur
ou
et
et
étant des coefficients constants qui ne sont pas nuls.
On voit qu’on peut tirer de là
en série procédant suivant les
puissances de
et la question est de savoir si cette série est
réelle.
Si
est pair, ou si,
étant impair,
et
sont de signes contraires,
la série est réelle et il existe des solutions périodiques du
deuxième genre.
Si
est impair et si
et
sont de signes contraires, la série
est imaginaire et il n’y a pas de solution périodique du deuxième
genre.
Je suppose maintenant que non seulement le jacobien s’annule
pour
mais qu’il en soit de même de tous ses mineurs du
premier, du second, etc., du
ième ordre. Je suppose toutefois que les mineurs du
ième ordre ne sont pas tous nuls à
la fois.
Dans ces conditions, d’après le no 57, il y aura non pas un,
mais
exposants caractéristiques qui seront multiples de
De
des équations (3), on pourra alors tirer
des
quantités
sous la forme de séries développées suivant les puissances
de
et des
dernières quantités
Pour abréger le langage, je dirai les
pour désigner les
premières quantités
et les
pour désigner les
dernières
quantités
Nous aurons donc les
développées suivant les puissances
de
et des
Substituons ces développements à la place des
dans les
dernières équations (3), nous obtiendrons
équations
(5)
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dont les premiers membres seront développables suivant les puissances
de
et des ![{\displaystyle \beta ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6bfc20a201c22ff0394eb1f297360609c5d1ea)
Le jacobien et ses mineurs des
premiers ordres étant
nuls, ces premiers membres ne contiendront pas de termes du
premier degré en
indépendants de
Il faut voir maintenant si
les premiers membres des équations (5) contiendront des termes
du premier degré par rapport aux
et en même temps du premier
degré par rapport à
Soit
l’ensemble des termes de
qui sont du premier degré
par rapport aux
il est clair que
pourra se développer suivant
les puissances de
soit
![{\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}^{0}+\lambda \theta _{i}^{1}+\lambda ^{2}\theta _{i}^{(2)}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf40adb7263e9a344b2318acaf96602c4986ae3)
ce développement ; les
seront des polynômes homogènes du
premier degré par rapport aux ![{\displaystyle \beta ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6bfc20a201c22ff0394eb1f297360609c5d1ea)
D’après ce qui précède,
sera identiquement nul ; mais il faut
voir s’il n’en est pas de même de
Le jacobien des
par rapport aux
est égal à
![{\displaystyle \prod \left(1-e^{k\alpha \mathrm {T} }\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214195b58c68f6b3e3cca1b65095d87cd428aeca)
le produit indiqué par le signe
s’étendant à
facteurs correspondant
aux
exposants caractéristiques ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Soient
ces
exposants et soit
![{\displaystyle \varphi (\alpha )=\left(1-e^{k\alpha \mathrm {T} }\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c688bae0b4d9ef0c01b792b69d16c83d84b6156e)
le jacobien sera égal au produit
![{\displaystyle \varphi (\alpha _{1})\,\varphi (\alpha _{2})\ldots \,\varphi (_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626f769fb2b65ea9575c33fd83d9f3753b7c8578)
Pour
le jacobien s’annule ainsi que ses mineurs des
premiers ordres ; il en résulte que
des exposants sont
multiples de
Donc,
des facteurs
s’annulent pour
et sont, par conséquent, divisibles par
Le produit, c’est-à-dire
le jacobien sera donc divisible par
Nous supposerons que pour
aucun des
ne s’annule ;
c’est ce que nous avions déjà supposé plus haut. Dans ces conditions
aucun des
n’est divisible par
Donc le produit n’est
pas divisible par
Ainsi, le jacobien est divisible par
mais pas par
Il résulte de là que le déterminant des
est différent de zéro,
et par conséquent qu’aucun des
ne s’annule identiquement.
Le cas le plus simple est celui où, pour
les termes du
deuxième degré ne disparaissent pas dans les
et où ces termes
du deuxième degré ne peuvent pas s’annuler à la fois, à moins
que tous les
ne s’annulent à la fois.
Soit alors
l’ensemble des termes du deuxième degré de
pour
Il suffira alors d’envisager les équations algébriques
![{\displaystyle \eta _{i}+\lambda \theta _{i}^{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369178aa4dbb877fa92e040f6875c87745d2792c)
dont les premiers membres sont des polynômes homogènes du
deuxième degré par rapport à
et aux ![{\displaystyle \beta ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6bfc20a201c22ff0394eb1f297360609c5d1ea)
Si ces équations admettent des solutions réelles, nous aurons
des solutions périodiques du deuxième genre.
Je ne développerai pas la discussion dans les autres cas, me
réservant de la faire complètement en ce qui concerne les équations
de la Dynamique.
Cas où le temps n’entre pas explicitement.
316.Supposons que les fonctions
qui figurent dans les
équations (1) ne dépendent pas du temps
Dans ce cas, comme nous l’avons vu au no 61, l’un des exposants
caractéristiques est toujours nul.
D’autre part, si
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e611ef90227502441d4bb4069816ece40367e)
est une solution périodique de période
il en est de même de
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t+h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736af8fbf7d199d5db07cafe9bada06fe6a27760)
quelle que soit la constante ![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
Dans le numéro précédent, nous supposions qu’il y avait, quel
que soit
une solution périodique
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e611ef90227502441d4bb4069816ece40367e)
et la période ne pouvait être que
puisque les
étaient des
fonctions périodiques de
de période ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
La période était donc indépendante de
Il n’en est plus de même ici. Nous supposerons toujours que,
quel que soit
les équations (1) admettent une solution périodique
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa286d625c425d1e3a8b1972797ab3829d32259)
Mais la période dépendra de
en général. J’appellerai
la
période, et
la valeur de
pour
c’est-à-dire pour
Nous modifierons alors un peu la définition des quantités
et
Nous désignerons toujours par
la valeur de
pour
mais nous représenterons par
la valeur
de
pour
(et non pour
).
Alors, les
seront des fonctions des
variables
![{\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n},\,\tau ,\,\lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19321d4197cae82feabbdda63a2123ba0348ec4a)
Si l’on continue à regarder les
et
comme les coordonnées
d’un point dans l’espace à
dimensions, les équations
(3)
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représenteront alors non plus une courbe, mais une surface puisque nous pouvons faire varier indépendamment et d’une
manière continue les deux paramètres
et ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
Mais il importe de remarquer que sur cette surface sont tracées
des courbes dont les divers points correspondent à des solutions
périodiques qui ne peuvent pas être regardées comme essentiellement
distinctes.
Si, en effet,
![{\displaystyle x_{i}=f_{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37dc1a53862470fb8acf2fac076c56e3ee437324)
est une solution périodique, il eu sera de même de
![{\displaystyle x_{i}=f_{i}(t+h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed94550361e0c4a674ae8540e44a6e79db785d2)
quelle que soit la constante
et cette nouvelle solution ne sera
pas réellement distincte de la première.
À la première correspond le point
![{\displaystyle \beta _{i}=f_{i}(0)-\varphi _{i}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e91d9c09022a4c1a71c5520f6174ae9ca36626)
et à la seconde le point
![{\displaystyle \beta _{i}=f_{i}(h)-\varphi _{i}(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0643322aae32c0f9470b25baf53433f4cd22f898)
Quand on fait varier
d’une manière continue, le second point
décrit une courbe dont les divers points ne correspondent pas
ainsi à des solutions réellement distinctes.
En particulier, envisageons la solution
![{\displaystyle x_{i}=f_{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37dc1a53862470fb8acf2fac076c56e3ee437324)
À cette solution correspondra le point
![{\displaystyle \beta _{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1b83095707804b1492098887addc314d387cd8)
qui appartient à la droite (4).
À la solution
![{\displaystyle x_{i}=f_{i}(t+h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f499121ad177d50153dd269d9f6695a40d496b7b)
qui n’est pas réellement distincte de la première, correspondra
le point
(4 bis)
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qui appartient à une certaine surface (4 bis) faisant partie de la
surface (3).
Il s’agit de savoir si la surface (3) contient des nappes autres
que (4 bis) et s’approchant très près de (4 bis) ; c’est-à-dire s’il y a sur la surface (4 bis) des points par où passent d’autres nappes
de la surface (3) que la surface (4 bis) elle-même.
Nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer
(ou nous imposer une autre relation arbitraire entre les
).
En effet, les solutions
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=f_{i}(t),&x_{i}&=f_{i}(t+h)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9f933d15d909ec892d69005fd2ad38be3f201b)
ne sont pas réellement distinctes et il suffira d’envisager l’une
d’elles.
Nous pouvons donc choisir arbitrairement la constante
et
nous pouvons le faire, par exemple, de telle façon que
![{\displaystyle f_{i}(h)=\varphi _{i}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33585d060a01677dcedfb7e913845249757219d6)
d’où
![{\displaystyle \beta _{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da8f274c2db4e2d764715f46e04d71ace23ac18)
C. Q. F. D.
Si nous nous imposons cette condition
les deux surfaces (3)
et (4 bis) se réduisent à des courbes et, en particulier,
la surface (4 bis) se réduit à la droite (4).
.
Nous sommes amenés de nouveau à rechercher si par un point
de la droite (4) passe une autre branche de la courbe (3).
Pour cela, combinons l’équation
avec les équations (3) ;
ces équations représenteront la courbe (3) ou une courbe dont la
courbe (3) n’est qu’une partie. Pour que cette courbe, dans le
domaine considéré, ne se réduise pas à la droite (4), il faut que
le jacobien de
par rapport à
et celui de
par rapport à
soit nul
pour
Comme rien ne distingue
des autres
les jacobiens des
par rapport à
et à
quelconques des
devront s’annuler
tous. C’est-à-dire que tous les déterminants contenus dans la
matrice des nos 38 et 63 doivent s’annuler à la fois. En raisonnant
comme au no 63, on verrait que l’équation en
doit avoir
deux racines nulles.
Il en résulte que deux des exposants caractéristiques devront
être multiples de
Cela est déjà vrai de l’un d’entre eux qui
est nul. Un second exposant devra être multiple de
Si cette condition est remplie, nous formerons un système de
équations comprenant les équations (3) et
Nous en
tirerons
et les
en séries développées suivant les puissances
entières et fractionnaires de
Si les séries sont réelles, il y aura des solutions périodiques du
deuxième genre ; si les séries sont imaginaires, il n’y en aura pas.
Je ne développerai pas la discussion.
317.Supposons maintenant que les équations
(1)
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où le temps entre explicitement, admettent une intégrale uniforme
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90506e8016f7bbafa448a2e3f664b86119f4c1ad)
de telle façon que l’on ait
![{\displaystyle \sum {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66413aff41b9e8baecf4ec75781e6ccec247fb38)
Nous avons vu au no 64 que dans ce cas le jacobien des
par
rapport aux
s’annule et que l’un des exposants caractéristiques
est nul.
Les équations
(3)
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ne sont pas alors distinctes puisqu’on a identiquement
![{\displaystyle \mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}\right]-\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb93cae35448e9c245e47448d6d3517369c69e4a)
Elles ne représentent donc pas une courbe, mais une surface.
Mais dans ce cas, d’après les principes du Chapitre III, nous
avons une double infinité de solutions périodiques de période
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06999793652dc6f156d01e388996e6e4d7b2d93c)
puisqu’il y en a une qui correspond à chaque valeur du paramètre
et à chaque valeur de la constante ![{\displaystyle \mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709f95ceb98ef6f75abaf0fc2718cdca897e71f7)
Nous conviendrons de donner à la constante
une valeur
déterminée
et nous n’aurons plus qu’une simple infinité de
solutions périodiques de période
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06999793652dc6f156d01e388996e6e4d7b2d93c)
chacune d’elles correspondant à une valeur de ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
Les équations (3) n’étant pas distinctes peuvent être remplacées
par
d’entre elles, par exemple par
![{\displaystyle \psi _{1}=\psi _{2}=\ldots =\psi _{n-1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d93e73b44edb09286d7938b54552bbd2a797557)
Considérons alors le système
(3 bis)
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Les équations (3 bis) représentent non plus une surface mais
une courbe dont fait partie la droite
(4)
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Pour que par un point de la droite (4) passe une autre branche
de courbe, il faut que le jacobien de
![{\displaystyle \psi _{1},\quad \psi _{2},\quad \ldots ,\quad \psi _{n-1},\quad \mathrm {F} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e95c42f2a5f054ac311044de79b129e6d8fb8b)
par rapport aux
s’annule.
Cette condition peut encore se mettre sous une autre forme.
Supposons que nous résolvions l’équation
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{i})=\mathrm {C} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9729cc18282301d97579d0d2c1bbbbf764c2b571)
par rapport à
et que cette résolution donne
![{\displaystyle x_{n}=\theta (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd35c787614ab75ad10aa645c5ef7d126713c31e)
Substituons
à la place de
dans
et soit
le résultat de
cette substitution.
Les équations (1) se trouveront ainsi remplacées par les suivantes
(1 bis)
|
|
|
Ces équations (1 bis) admettront pour solution périodique
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa286d625c425d1e3a8b1972797ab3829d32259)
Les exposants caractéristiques de cette solution périodique,
considérée comme appartenant aux équations (1 bis), seront au
nombre de
Soient
ces
exposants. Ce
seront les mêmes que ceux de cette solution périodique
considérée comme appartenant aux équations (1) en supprimant
celui des
exposants qui est égal à zéro.
Pour que dans le voisinage d’un point de la droite (4), les
équations (1) admettent des solutions périodiques du second
genre, il faut et il suffit que les équations (1 bis) en admettent,
c’est-à-dire qu’en un point de la droite (4) l’un des
exposants
caractéristiques
soit multiple de
Ainsi, la condition énoncée plus haut que le jacobien de
est nul est susceptible d’un énoncé tout différent.
Pour qu’elle soit remplie, il faut que deux des exposants soient
multiples de
cela est toujours vrai d’un d’entre eux qui est
nul ; cela doit être vrai d’un second exposant.
Supposons cette condition remplie. Des équations (3 bis) nous
tirerons les
en séries ordonnées suivant les puissances entières
et fractionnaires de
Je ne ferai pas la discussion pour savoir si
ces séries sont réelles.
318.Supposons maintenant que les
ne dépendent pas
explicitement du temps, et que les équations (1) admettent une
intégrale
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a11cbada637750a1082fc51136690e4be094478)
Dans ce cas, d’après le no 66, deux des exposants caractéristiques
sont nuls. Si, pour un système de valeurs de
et de
les
équations admettent une solution périodique, elles en admettront
encore pour les valeurs voisines de sorte que nous aurons une
double infinité de solutions périodiques
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e611ef90227502441d4bb4069816ece40367e)
dépendant des deux paramètres
et
La période
ne sera pas
constante, ce sera une fonction de
et de ![{\displaystyle \mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709f95ceb98ef6f75abaf0fc2718cdca897e71f7)
Donnons alors à
une valeur déterminée
et soient encore
![{\displaystyle \varphi _{i}(0)+\beta _{i},\quad \varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2efd718caaf46ab655e360a38f9689e22a6b47ab)
les valeurs de
pour
et pour ![{\displaystyle t=k(\mathrm {T} +\tau ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ffcaeef81d97f3f8c980f9e84742d9bb8d12cc)
Aux équations
(3)
|
|
|
nous adjoindrons d’abord l’équation
et ensuite une relation
arbitraire entre les
par exemple ![{\displaystyle \beta _{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da8f274c2db4e2d764715f46e04d71ace23ac18)
Nous pouvons en effet, sans restreindre la généralité, et pour
la même raison qu’au no 316, supposer
Nous obtiendrons ainsi le système
(3 ter)
|
|
|
Ces équations représentent une courbe ; en effet, le nombre
des équations est égal à
mais les
équations (3) ne sont
pas distinctes et peuvent être remplacées par
d’entre elles
et cela pour la même raison qu’au numéro précédent. Le système (3 ter)
se réduit ainsi à
équations. Le nombre des
variables est
à savoir
![{\displaystyle \beta _{1},\quad \beta _{2},\quad \ldots ,,\quad \beta _{n},\quad \tau ,\quad \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0bb013be73c3919a3fc8f3dc90a98c7194b0b8)
Cette courbe (3 ter) comprend la droite
(4)
|
|
|
Soit
un point de cette droite. Pour que, par ce
point, passe une autre branche de courbe, il faut que le jacobien
des premiers membres des équations (3 ter) soit nul, ou, ce qui
revient au même, que le jacobien de
des
et de
par rapport
à
et
soit nul, ou enfin, puisque rien ne
distingue
des autres
que les jacobiens de
et de
quelconques des
par rapport à
et à
quelconques des
soient tous nuls.
Cette condition est susceptible d’un autre énoncé.
Comme dans le numéro précédent, de l’équation
nous
tirerons
![{\displaystyle x_{n}=\theta (x_{1},x_{2},\ldots x_{n-1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e873a1b19dc27c9b21086068f33baac03be1f07)
et nous obtiendrons les équations
(1 bis)
|
|
|
Il faut alors, d’après le no 316, que des
exposants caractéristiques
[si la solution périodique est regardée comme appartenant
aux équations (1 bis)], un soit nul et un autre multiple
de
ou, ce qui revient au même, que des
exposants caractéristiques
[si la solution périodique est regardée comme appartenant aux équations (1)], deux soient nuls et un troisième multiple
de
Supposons cette condition remplie ; on tirera de (3 ter) les
et
en séries ordonnées suivant les puissances entières ou fractionnaires
de
je m’abstiendrai encore ici de la discussion.
Application aux équations de la Dynamique.
319. Je voudrais faire une discussion plus complète de ce qui
concerne les équations de la Dynamique ; mais pour cela, j’ai
besoin d’abord de démontrer une importante propriété de ces
équations.
Soient
et
les valeurs de
et
pour
soient
et
les valeurs de
et
pour
Nous savons que
![{\displaystyle \iint \sum \,dx_{i}\,dy_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a0285fa40504562fb7ac865c2d044f177877f1)
est un invariant intégral ; on aura donc
![{\displaystyle \iint \sum \left(d\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-d\xi _{i}\,d\eta _{i}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5d407a60103d62680f07689a805e3be834cef5)
l’intégrale double étant étendue à une aire quelconque ![{\displaystyle \mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b3a778414f6a1907d8bc1577228f859bedad03)
Cela peut s’écrire
![{\displaystyle \int \sum \left(\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}\,d\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}\,d\eta _{i}+\eta _{i}\,d\xi _{i}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72feaecc084a7d716951f5805d756b315d30cb9a)
l’intégrale simple étant étendue au contour de l’aire
c’est-à-dire
à un contour fermé quelconque.
En d’autres termes, l’expression
![{\displaystyle \sum \left(\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}\,d\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}\,d\eta _{i}+\eta _{i}\,d\xi _{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a57275291b981588993144c45fafd803b7d5157)
est une différentielle exacte.
Il en résulte que
![{\displaystyle d\mathrm {S} =\sum {\big [}(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i})\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e750a233a6df5fb3bef798beaff951ddf83101c)
est aussi une différentielle exacte.
320. Si l’on fait varier
il est clair que
sera fonction de
Calculons la dérivée de
par rapport à
à l’aide des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{d\mathrm {T} }}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} _{i}}},&{\frac {d\mathrm {Y} _{i}}{d\mathrm {T} }}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} _{i}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8eeb285406e17a28c64370599376ba9207b8db0)
Il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=\int \sum &\left[{\frac {d\mathrm {X} }{d\mathrm {T} }}\,d(\mathrm {Y} +\eta )-{\frac {d\mathrm {Y} }{d\mathrm {T} }}\,d(\mathrm {X} +\xi )\right.\\&\qquad \qquad \;\left.+(\mathrm {X} +\xi )\,d{\frac {d\mathrm {Y} }{d\mathrm {T} }}-(\mathrm {Y} -\eta )\,d{\frac {d\mathrm {X} }{d\mathrm {T} }}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d66e9c66724fb3dc8c2dcb93df2f4459d73db4)
ou bien
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=\int \sum &\left[{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\,d(\mathrm {Y} +\eta )+{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}\,d(\mathrm {X} +\xi )\right.\\&\qquad \qquad \;\left.-(\mathrm {X} -\xi )\,d{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}-(\mathrm {Y} -\eta )\,d{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea32c84bbd0e70746399c3bbbb9d45189d94815)
ou, en intégrant, par parties,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=-\!\sum \!\left[(\mathrm {X} \!-\!\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} \!-\!\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\!\right]+2\!\int \!\sum \!\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}\,d\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\,d\mathrm {Y} \right)\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da021b027374e23eab34ef3346f9c2f045388116)
ou enfin
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2\mathrm {F} -\sum \left[(\mathrm {X} -\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right]+{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9093f99cf712d8eb820fb7f2ce41e0dbeddea8)
fonction arbitraire de
![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Nous prendrons la fonction arbitraire de
égale à une constante
et nous aurons
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2(\mathrm {F} -\mathrm {C} )-\sum \left[(\mathrm {X} -\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0171e8b3c5fa8295542ca0947a03bf187dbcbdd)
Pour
on a
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38c564ce60bef2ed1f079c9805936403971f1a4)
Nous prendrons cette constante nulle de sorte que
s’annulera
identiquement pour
la fonction
est ainsi entièrement
déterminée.
321.Cherchons les maxima et les minima de la fonction
Considérons d’abord
comme une constante. Pour que la fonction
présente un maximum ou un minimum, il faut, à supposer
que cette fonction
puisse être regardée comme fonction
uniforme des variables
et
dans le domaine considéré,
il faut, dis-je, que ses dérivées par rapport à ces variables soient nulles, c’est-à-dire que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}=\xi _{i},\qquad \mathrm {Y} _{i}=\eta _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3743edb758eb1059f5228f62b31ebcbad50c2e75)
La solution correspondante est donc une solution périodique
de période
et cette période
est ici une des données de
la question.
Ne regardons plus
comme une donnée ; pour que
présente
un maximum ou un minimum, il faudra que l’on ait d’abord
![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}=\xi _{i},\qquad \mathrm {Y} _{i}=\eta _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af688b1b0283c19ca0b88b117533cdf15973ac33)
et, de plus,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79af559356c685095f154bb92896d0ec18130a6b)
Mais, si
il reste
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2(\mathrm {F} -\mathrm {C} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a068427ba06341efffcac41b9fdde31aefbf1c0b)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a11cbada637750a1082fc51136690e4be094478)
La solution correspondante sera encore une solution périodique
de période
Mais la période
ne sera plus une donnée de la question : ce
qui sera une donnée, c’est la constante des forces vives
qui
n’intervenait pas dans le cas précédent.
Les deux manières de rechercher les maxima de
se rattachent
aux deux manières d’entendre le principe de moindre action, celle
de Hamilton, et celle de Maupertuis. On le comprendra mieux
après avoir lu le Chapitre suivant.
322.On peut aussi modifier de la façon suivante la définition
de la fonction
Dans un grand nombre d’applications,
est une fonction périodique
de période
par rapport aux
Dans ce cas, une solution
peut encore être regardée comme périodique, quand
et que
est multiple de
Alors il est clair que si nous posons
![{\displaystyle d\mathrm {S} =\sum \left[(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ea9e83beb2ef7a19f97bb2a9054584edb40ad4)
où
sont des entiers quelconques, l’expression
sera encore une différentielle exacte.
On trouvera d’ailleurs
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2\mathrm {F} -\sum \left[(\mathrm {X} -\xi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta -2m\pi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8c311223cf4d2ac6be56ed27ee2ad3b9ac41d0)
fonct. arb. de ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Nous prendrons
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2(\mathrm {F} -\mathrm {C} )-\sum \left[(\mathrm {X} -\xi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta -2m\pi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb6c8608708634162f4e8b1de25a66e674ad89f)
Pour
on a
![{\displaystyle d\mathrm {S} =\sum 4m_{i}\pi \,d\xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7043c57e8f699aaabfa614dda7d55450d7643103)
Nous prendrons
![{\displaystyle \mathrm {S} =4\pi \sum m_{i}\xi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5833d2b2d0f5c2c36f85f05c5963f91790c35022)
ce qui achève de déterminer la fonction S.
Les maxima et minima de
en supposant
donné, s’obtiendront
en égalant à zéro ses dérivées, ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}&=\xi _{i},&\mathrm {Y} _{i}&=\eta _{i}+2m_{i}\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b864714343e2f042d52de635eca6fd4deea9b03)
La solution correspondante est encore une solution périodique
puisque
est un multiple de
La période
est donnée.
Si
n’est pas donné, il faut d’abord que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}&=\xi _{i},&\mathrm {Y} _{i}&=\eta _{i}+2m_{i}\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ef1f8198202b83103bfaf80528311cb0380d79)
et, de plus, que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9cfbbe00cb36f3fe769adf8fc0a9d09d4039f7f)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a11cbada637750a1082fc51136690e4be094478)
323.Il faut maintenant que nous apprenions à discerner les
véritables maxima et les véritables minima de
en effet, nous
avons seulement jusqu’ici cherché la condition pour que les dérivées
premières de
soient nulles ; mais on sait que cette condition
n’est pas suffisante pour qu’il y ait un maximum ; il faut
encore que les dérivées secondes satisfassent à certaines inégalités.
Supposons-nous d’abord placés dans les conditions du no 319
et regardons
comme donné.
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}^{\prime }(t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d500333e79f8b67fc8cd003263fa09619ce8960a)
une solution périodique de période
de telle sorte que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{i}(0)&=\varphi _{i}(\mathrm {T} ),&\varphi _{i}'(0)&=\varphi _{i}'(\mathrm {T} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aba31f8249e30ef6f25ccf8dc48c893840c2fb3)
À cette solution pourra correspondre un maximum ou un minimum
de la fonction
Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}',\\x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}'',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}''\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea4f3ab4a84bd4646cd102a2656d0ee8f42c398)
deux solutions très peu différentes de cette solution périodique.
Je supposerai que
soient assez petits pour qu’on
puisse en négliger les carrés et qu’on puisse regarder ces quantités
comme satisfaisant aux équations aux variations (Cf. Chapitre IV).
Soient
et
les valeurs de
et
pour
et
les
valeurs de
et
pour
Pour savoir si
a un maximum ou un minimum, il suffit d’étudier
l’ensemble des termes du second degré dans le développement
de
suivant les puissances des
et des
Or il est aisé de reconnaître que cet ensemble de termes se
réduit à
![{\displaystyle \sum \left(\mathrm {X} _{i}'\eta _{i}'-\mathrm {Y} _{i}'\xi _{i}'\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c738f5329491bddbe849a855688f10dd61cd2277)
Étudions l’expression
(1)
|
|
|
D’après le no 56, cette expression doit se réduire à une constante.
Quelle est la forme de la solution générale des équations aux
variations.
S’il y a
degrés de liberté, nous aurons
solutions particulières
de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}'&=e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}(t),&y_{i}'&=e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182cb3d0f00032469596f3aa1e72376cf912e3bc)
Les
sont les exposants caractéristiques et les
sont des fonctions
périodiques de période ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Nous aurons
autres solutions de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}'&=e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}''(t),&y_{i}'&=e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'''(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335ce502bfb81a2e292607bbbf4450eb66ee89cf)
correspondant aux exposants
qui sont égaux et de signe
contraire aux
exposants ![{\displaystyle \alpha _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e7709314b2ed3056096cc8e9fddce153d1dc53)
Nous aurons la solution évidente
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}'&={\frac {d\varphi _{i}}{dt}},&y_{i}'&={\frac {d\varphi _{i}'}{dt}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7192b07cf56524552f54fad6fe0eee61b68b5078)
et enfin la 2
ième solution particulière sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}'&=t{\frac {d\varphi _{i}}{dt}}+\psi _{i},&y_{i}'&=t{\frac {d\varphi _{i}'}{dt}}+\psi _{i}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b830210123a2a9b4bbbd06b0d1859ef32247f28)
Donc, la solution générale pourra s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}'&=\sum \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}(t)+\sum \mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}''(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}}{dt}}+\mathrm {D} \left(t{\frac {d\varphi _{i}}{dt}}+\psi _{i}\right),\\y_{i}'&=\sum \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'(t)+\sum \mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'''(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}'}{dt}}+\mathrm {D} \left(t{\frac {d\varphi _{i}'}{dt}}+\psi _{i}'\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e51a1bf55d4bde06d335714b71761479e15cf05)
les
étant des constantes d’intégration.
On aura de même,
![{\displaystyle x_{i}''=\sum \mathrm {A} _{k}'e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}(t)+\sum \mathrm {B} _{k}'e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}''(t)+\mathrm {C} '{\frac {d\varphi _{i}}{dt}}+\mathrm {D} '\left(t{\frac {d\varphi _{i}}{dt}}+\psi _{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd15002a6a776e0b4c71cb1915d0b65cf2290ff9)
avec une formule analogue pour ![{\displaystyle y_{i}''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac78e30cf06a585ff83b7393e6ee0bb487d3792)
Les
sont de nouvelles constantes.
Substituons ces valeurs dans l’expression (1) ; cette expression
deviendra une forme bilinéaire par rapport aux deux séries de
constantes
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\mathrm {A} ,&\mathrm {B} ,&\mathrm {C} ,&\mathrm {D} ,\\\mathrm {A} ',&\mathrm {B} ',&\mathrm {C} ',&\mathrm {D} '.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad32406a2bbe9ee5db075ad69a35275e86a7dce)
Cette forme devant s’annuler identiquement pour
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}&=\mathrm {A} _{k}'&\mathrm {B} _{k}&=\mathrm {B} _{k}'&\mathrm {C} &=\mathrm {C} '&\mathrm {D} &=\mathrm {D} '\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5edea144e2047da671cc49e92b0f099afefffed2)
sera une forme linéaire par rapport aux déterminants contenus dans la matrice
![{\displaystyle \left|\left|{\begin{array}{ccccccccc}\mathrm {A} _{1}&\mathrm {B} _{1}&\mathrm {A} _{2}&\mathrm {B} _{2}&\ldots &\mathrm {A} _{n-1}&\mathrm {B} _{n-1}&\mathrm {C} &\mathrm {D} \\\mathrm {A} _{1}'&\mathrm {B} _{1}'&\mathrm {A} _{2}'&\mathrm {B} _{2}'&\ldots &\mathrm {A} _{n-1}'&\mathrm {B} _{n-1}'&\mathrm {C} '&\mathrm {D} '\end{array}}\right|\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4a8de8b525d83efb3d83089947e5de43f6561a)
Les coefficients de cette forme linéaire devront être des constantes
puisque l’expression (1) doit se réduire à une constante.
En général, aucun des exposants caractéristiques ne sera nul et
deux de ces exposants ne seront pas égaux entre eux.
Il résulte de là que nous ne devons pas avoir de terme contenant l’un des déterminants
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{j}'-\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{j}'-\mathrm {B} _{j}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {B} _{j}'-\mathrm {B} _{j}\mathrm {B} _{k}',\\\mathrm {A} _{k}\mathrm {C} '-\mathrm {CA} _{k}',\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {D} '-\mathrm {DA} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {C} '-\mathrm {CB} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {D} '-\mathrm {DB} _{k}',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed02cf23c0f46fbcc3b89a49882998d8e9a0760e)
car le coefficient de ce terme devrait contenir en facteur l’une des
exponentielles
![{\displaystyle e^{(\alpha _{k}+\alpha _{j})t},\quad e^{(\alpha _{k}-\alpha _{j})t},\quad e^{-(\alpha _{k}+\alpha _{j})t},\quad e^{\pm \alpha _{k}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf8f821b7542d075dad60d29e03f3191ed95e54)
et ne pourrait se réduire à une constante.
Les seuls déterminants qui puissent entrer dans notre forme
sont donc
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}'-\mathrm {B} _{k}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {CD} '-\mathrm {DC} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1d2a4435252002ef7c9ec8602aa761a0a22a0b)
de sorte que je puis écrire
(2)
|
|
|
les
et
étant des.constantes.
Je dis que
ne peut être nul ; sans quoi l’expression (1) ne
dépendrait pas des constantes
si alors nous
supposions que toutes les constantes
et
et
sont nulles à
l’exception des deux constantes
et
auxquelles nous attribuerions
des valeurs données, différentes de zéro, on aurait une
relation
![{\displaystyle \sum \left(x_{i}''y_{i}'-x_{i}'y_{i}''\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1d8448df8e523e4c8b138062dbfd1515a5b2a0)
qui serait linéaire par rapport aux inconnues
et
et où les
coefficients
et
seraient des fonctions données du temps,
différentes de zéro. Une pareille relation ne peut exister puisque
les
variables
et
sont indépendantes. Donc
ne peut
être nul.
Si nous changeons
en
nous obtiendrons de nouvelles
solutions des équations aux variations et ces solutions nouvelles
s’obtiendront en changeant les constantes
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k},\quad \mathrm {B} _{k},\quad \mathrm {C} ,\quad \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2722cff693aa3eea90fa7d4bd7e473f847d72da)
en
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}\mathrm {T} },\quad \mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} },\quad \mathrm {C} +\mathrm {DT} ,\quad \mathrm {D} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a2a174faca6309204cdb144781376f1e5c2662)
Pour avoir
![{\displaystyle \sum \left(\mathrm {X} _{i}'\eta _{i}'-\mathrm {Y} _{i}'\xi _{i}'\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4796c0166d8ac215a128b7789ce88a76e137d20)
il suffira donc de faire dans l’expression (1),
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}'&=\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}\mathrm {T} },&\mathrm {B} _{k}'&=\mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} },&\mathrm {C} '&=\mathrm {C} +\mathrm {DT} ,&\mathrm {D} '&=\mathrm {D} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a919a3323ee02733310d4945c1ce78c923c4f67a)
d’où
(3)
|
|
|
324.Pour discuter l’équation (3), il faut distinguer plusieurs
cas :
1o Les exposants
sont réels ; les fonctions
![{\displaystyle \theta _{k.i},\quad \theta _{k.i}',\quad \theta _{k.i}'',\quad \theta _{k.i}'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed21f8aa7e4a854ccf322f37c6a51a97eb7bbe86)
sont alors aussi réelles.
2o Les exposants
sont purement imaginaires et le carré
est réel négatif.
Alors les fonctions
et
et
sont imaginaires conjuguées.
3o Les exposants
sont complexes. Alors nous aurons,
parmi les exposants caractéristiques, les exposants
qui
seront imaginaires conjugués des exposants
et
![{\displaystyle \theta _{j.i},\quad \theta _{j.i}',\quad \theta _{j.i}'',\quad \theta _{j.i}'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4753eb9a6153254567d797234c0e7518f8eda0)
seront imaginaires conjugués de
![{\displaystyle \theta _{k.i},\quad \theta _{k.i}',\quad \theta _{k.i}'',\quad \theta _{k.i}'''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1220740a9f906391b495fee60c2d7dc63c387a8)
Supposons maintenant les
et les
réels. Pour le calcul des
constantes
nous aurons
équations que l’on
obtiendra en faisant dans l’équation qui donne
par exemple,
![{\displaystyle t=0,\quad t=\mathrm {T} ,\quad t=2\mathrm {T} ,\quad \ldots ,\quad t=(2n-1)\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a73a7c42d9f4beb969f0b034670cc98350b9595)
Ces
équations sont linéaires par rapport aux
inconnues
Les seconds membres sont réels et les coefficients sont
réels ou imaginaires conjugués deux à deux.
Quand on change
en
:
1o
et
ne changent pas quand
est réel ;
2o
et
se permutent quand
est purement imaginaire ;
3o
et
se changent en
et
quand
est complexe et
imaginaire conjugué de
Donc :
1o
et
sont réels quand
est réel ;
2o
et
sont imaginaires conjugués quand
est purement
imaginaire ;
3o
et
et
sont imaginaires conjugués quand
est
complexe et imaginaire conjugué de
Enfin
et
sont réels.
Ces conditions sont d’ailleurs suffisantes pour que
et
soient
réelles.
Donnons aux constantes
de même qu’aux constantes
des valeurs satisfaisant à ces conditions.
Alors le second membre de (2) devra être réel ; et pour qu’il en
soit ainsi il faut :
1o Que
soit réel si
est réel ;
2o Que
soit purement imaginaire si
est purement imaginaire ;
3o Que
et
soient imaginaires conjugués si
et
sont
complexes et imaginaires conjugués.
La forme (3) contient un terme
![{\displaystyle \mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068a714f1e24deee14cf2a7a291db307bed18761)
et ne contient pas d’autre terme dépendant de
ou ![{\displaystyle \mathrm {B} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc4abb94d3e615a2c966e8ffed61af5655a7528)
Si l’exposant
est réel, la présence d’un terme en
suffit
pour que la forme quadratique (3) ne puisse être définie.
Si donc un seul des exposants
est réel, la fonction
ne peut
présenter ni maximum ni minimum.
Supposons maintenant que deux exposants
et
soient complexes
et imaginaires conjugués.
Annulons toutes les constantes sauf
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k},\quad \mathrm {B} _{k},\quad \mathrm {A} _{j},\quad \mathrm {B} _{j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d089eb414f4ece1db511c78881bdf4d7bf5613)
la forme (3) se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}+\mathrm {M} _{j}\left(e^{-\alpha _{j}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{j}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{j}\mathrm {B} _{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c56cfc2a837a3a1316b9bb6e5c90007fee5b11)
Ces deux termes sont imaginaires conjugués, de sorte que la
forme (3) est réelle.
Supposons que
ne change pas et que
change de signe ;
qui est imaginaire conjugué de
ne changera pas non plus,
et
qui est imaginaire conjugué de
se changera en
Donc, la forme (3) changera de signe ; elle ne peut donc être
définie.
Si donc un seul des exposants
est complexe, la fonction
ne peut avoir ni maximum ni minimum.
Supposons maintenant que
soit purement imaginaire. Alors
et
sont imaginaires conjugués et le produit
est la
somme de deux carrés.
Pour que
ait un maximum, il faut et il suffit que toutes les
quantités
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}},\quad -\mathrm {NT} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ae7b960816e9166843940c7941838b9db05337)
soient négatives ; pour que
ait un minimum, il faut et il suffit
que toutes ces quantités soient positives.
Il importe de remarquer que toutes ces quantités sont réelles ;
car
et
sont réels.
325.Comment ces résultats sont-ils modifiés si l’on suppose
que la constante des forces vives est regardée comme une des
données de la question. On a alors identiquement
![{\displaystyle \sum \left({\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\,x'+{\frac {d\mathrm {F} }{dy}}\,y'\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eedc6f908070a20b7549e07f0d19fbb5617932e6)
où l’on suppose que dans
et
et
ont été remplacés par
les fonctions périodiques
et ![{\displaystyle \varphi _{i}'(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443b7737ad72121965e519ff674ee4be1571ef0a)
Et, en effet, la valeur constante de la fonction
doit être la
même pour la solution périodique
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29738962d8527edea8986473dafb41d08ae36353)
et pour la solution infiniment voisine
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84dd134496496cd70e957611a2d3f080cdf0b2ac)
Cette relation est une équation linéaire entre les constantes
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k},\quad \mathrm {B} _{k},\quad \mathrm {C} ,\quad \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2722cff693aa3eea90fa7d4bd7e473f847d72da)
et les coefficients doivent être indépendants de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Il résulte de là que
et
ne doivent pas figurer dans la relation,
puisque ces constantes sont toujours multipliées par
et que cette exponentielle ne pourrait disparaître.
De plus,
n’y figure pas non plus puisque la solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}}{dt}},&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}'}{dt}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfcae4b2adb7c6e66b875c42270ad27f3601557)
où
est une constante très petite, se déduit de la solution périodique
en donnant au temps un très petit accroissement
et correspond,
par conséquent, à la même valeur de la constante des
forces vives que la solution périodique.
Notre relation, qui ne peut se réduire à une identité, se réduit
donc à
![{\displaystyle \mathrm {D} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a6c0274b798177dc6dc31f1c3ab53c49152df6)
Mais, si
est nul, le terme
disparaît dans la forme (3).
Pour que
admette un maximum ou un minimum, il suffit
donc que les quantités
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bf65c73a556396a2e097106ea4c9267dd1597b)
soient toutes de même signe.
S’il n’y a que deux degrés de liberté, 'il n’y a qu’une de ces
quantités.
Donc, s’il n’y a que deux degrés de liberté et si
est purement
imaginaire, la fonction
présente toujours soit un maximum,
soit un minimum.
326.Supposons-nous maintenant placés dans les conditions
du no 322, de sorte que
![{\displaystyle d\mathrm {S} =\sum \left[(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783993bc7ddec6129bcbd43ea600fb3064e0920c)
et regardons
comme une constante. Pour que
ait un maximum
ou un minimum, il faut d’abord que l’on ait une solution périodique
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29738962d8527edea8986473dafb41d08ae36353)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{i}(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}(t)\,;&\varphi _{i}'(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}'(t)+2m_{i}\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6663585949b77a2d4334c8148a7f831413f298da)
Nous envisagerons alors une solution voisine
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}'\,;&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72682e57a9c79140f3d2d3acd6ed4a4a7a21b426)
et la discussion se poursuivra comme plus haut ; les résultats sont
les mêmes.
Pour qu’il y ait un maximum ou un minimum, il faut d’abord
que tous les exposants
soient purement imaginaires ; il faut ensuite que toutes les quantités
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}},\quad -\mathrm {NT} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ae7b960816e9166843940c7941838b9db05337)
soient de même signe.
Si l’on considère la constante des forces vives comme une
donnée de la question,
est nul, le terme
disparaît et
il suffit que les quantités
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bf65c73a556396a2e097106ea4c9267dd1597b)
soient toutes de même signe.
327.Qu’arrive-t-il maintenant si les équations admettent
d’autres intégrales uniformes que celle des forces vives et si,
par conséquent, quelques-uns des exposants caractéristiques sont
nuls ?
On pourrait néanmoins faire une discussion analogue à celle
qui précède.
Supposons, par exemple, que nos équations admettent, outre
l’intégrale des forces vives,
autres intégrales uniformes :
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1},\quad \mathrm {F} _{2},\quad \dots ,\quad \mathrm {F} _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6a94b54c9414375806a15408e469a5e5a8a2bd)
et de telle façon que les crochets deux à deux
de ces
intégrales soient nuls. Nous savons alors par le no 69 que
exposants caractéristiques sont nuls. Nous supposerons que tous
les autres exposants sont différents de zéro.
Nous aurons alors
couples de constantes analogues
aux constantes
et
et
couples de constantes
et
analogues aux constantes
et
La forme (3) deviendrait alors
![{\displaystyle \sum \mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}-\sum \mathrm {N} _{k}\mathrm {TD} _{k}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e0547ae5de2a57265bc542466044a1a2d9b28d)
où
est une somme de termes analogues au terme ![{\displaystyle \mathrm {NTD} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d39f1f9c14312906e2d4545edd4be844fa3c29)
Si maintenant nous regardons les valeurs de nos
intégrales
comme des données de la question, les constantes
seront toutes nulles, les termes
disparaîtront et la condition
pour que
soit maximum ou minimum sera encore que toutes les quantités
![{\displaystyle \mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c859963b9dac4f60e03eb53e7ca550db95428b)
soient de même signe.
Je n’insiste pas d’ailleurs sur ce point, car, dans le cas du problème
des trois corps, ou bien nous aurons affaire au problème
restreint du no 9, ou bien nous pourrons diminuer le nombre des
degrés de liberté en employant les procédés des nos 15 et 16.
Or, dans le cas des problèmes réduits des nos 9, 15 et 16, il
n’y a plus qu’une seule intégrale uniforme, celle des forces vives,
et il n’y a que deux exposants nuls, comme nous l’avons vu au no 78.
Solutions du deuxième genre des équations de la Dynamique.
328.Changeons
successivement en
la fonction
définie plus haut dépend de
soit
![{\displaystyle \mathrm {S} _{m}=\mathrm {S} (m\mathrm {T} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97b5877186664973383147cca0638f07945c526)
Cherchons les maxima et les minima de
en regardant
comme une constante.
Si nous envisageons une solution périodique de période
ce
sera également une solution périodique de période
Donc, les
dérivées premières de
sont nulles.
Pour qu’il y ait maximum ou minimum, il faut d’abord que tous
les exposants
soient purement imaginaires.
Si ensuite toutes les quantités
(1)
|
|
|
sont négatives, il y aura maximum ; si elles sont toutes positives,
il y aura minimum.
Voici le premier point sur lequel je voulais attirer l’attention.
Si nous donnons à l’entier
toutes les valeurs entières possibles,
les
quantités (1) présenteront, en général, toutes les
combinaisons de signes possibles.
Posons, en effet, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}=\omega _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e971f0d145c4149c1f78035178926eca809a75e)
et soit
![{\displaystyle z_{k}=m\omega _{k}+2m_{k}\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1894fb2d5f6bfd695b1695b5e0450b9dee6b16a)
Donnons à
et aux
toutes les valeurs entières possibles ; si
nous regardons
comme les coordonnées d’un
point dans l’espace à
dimensions, nous obtiendrons ainsi
une infinité de points. Je dis qu’il y aura une infinité de ces
points dans toute portion de l’espace à
dimensions si petite
qu’elle soit.
Je n’aurais, pour le montrer, qu’à avoir recours aux raisonnements
par lesquels on établit qu’une fonction uniforme de
variables
réelles ne peut avoir
périodes distinctes.
Les quantités inscrites dans le tableau suivant :
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\omega _{1},&\omega _{2},&\ldots ,&\omega _{n-1},\\2\pi ,&0,&\ldots ,&0,\\0,&2\pi ,&\ldots ,&0,\\......\!\!&\!\!\!.......\!\!&\!\!\!...\ldots \!\!&\!\!\!......,\\0,&0,&\ldots ,&2\pi ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338aeb40afb372c8e0b432e6188c3584623a9fb5)
joueraient dans ce raisonnement le rôle des périodes.
Il y aurait exception si ces périodes n’étaient pas distinctes,
c’est-à-dire si l’une des quantités
était commensurable avec
ou, plus généralement, s’il existe une combinaison linéaire des
n’admettant qu’une seule période, c’est-à-dire s’il y a une relation
de la forme
(2)
|
|
|
les
étant entiers.
Laissons d’abord de côté ce cas d’exception ; les quantités (1)
seront égales à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin z_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1896c49ed2c5f81699c2ff8064545d8e6ef3adbf)
Dire que l’on peut choisir l’entier
de telle sorte que ces quantités
réalisent une combinaison de signe donnée, c’est dire qu’il
y a des nombres
satisfaisant à des inégalités de la forme
(3)
|
|
|
les
étant égaux à 0 ou à ![{\displaystyle \pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94b721b560eaa34cbf1e346505aca908d473be5)
Or, c’est ce qui résulte immédiatement de ce que nous venons
de dire plus haut.
Passons au cas où l’on a une relation de la forme (2). Nous
pouvons toujours supposer les entiers
premiers entre eux ; dans
ce cas, l’expression
(4)
|
|
|
admet pour période unique ![{\displaystyle 2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a597bc393cb175d7b44b9bdfdbadc1fb7dc23aa)
Pour qu’il n’existe pas de nombres
satisfaisant aux inégalités (3), il faut et il suffit que la différence entre la plus grande
et la plus petite valeur que prenne l’expression (4), quand on
donne aux
toutes les valeurs compatibles avec les inégalités (3),
que cette différence, dis-je, soit plus petite que
c’est-à-dire
qu’une période de cette expression (4).
Or, cette différence est manifestement
![{\displaystyle \pi \left(|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n-1}|\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b57c462b06fceaaa1ebe6a8e229969b06ccb42)
on doit donc avoir
(5)
|
|
|
L’inégalité ne peut avoir lieu que si tous les
sont nuls, sauf un
d’entre eux qui doit être égal à
Dans ce cas
doit être égal à un multiple de
cela reviendrait
à dire que
devrait être nul, puisque
n’est déterminé
qu'à un multiple près de
Or, nous avons précisément exclu le cas où l’un des
est nul.
L’égalité ne peut avoir lieu que si tous les
sont nuls, sauf deux
d’entre eux qui doivent être égaux à
Alors la somme de la différence de deux des
sera un multiple
de
et, si nous remarquons que les
ne sont déterminés
qu’à un multiple près de
nous pouvons énoncer ce
résultat d’une autre manière.
Deux des exposants caractéristiques seront égaux.
C’est le seul cas d’exception qui subsiste et que l’on peut facilement
exclure.
329.Supposons maintenant que les équations de la Dynamique considérées dépendent d’un paramètre arbitraire
ainsi que cela
arrive, comme nous le savons, pour le problème des trois corps.
Quand nous ferons varier
d’une manière continue, la solution
périodique
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29738962d8527edea8986473dafb41d08ae36353)
variera aussi d’une manière continue, ainsi que l’on peut s’en
rendre compte par la lecture du Chapitre III.
Les quantités
varieront aussi d’une manière continue, mais,
ainsi qu’il a été expliqué au no 323, elles ne pourront jamais
s’annuler ; elles conserveront donc toujours le même signe ; or,
c’est leur signe seul qui nous intéresse.
La constante des forces vives sera regardée comme une des
données de la question, mais cette donnée pourra dépendre de
et nous la choisirons de telle façon que la période
de la solution
périodique demeure constante.
Les exposants
varieront aussi d’une manière continue quand
on fera varier
d’une manière continue ; voyons un peu comment
se fait cette variation dans le cas du problème des trois corps.
Pour
tous les exposants sont nuls ; mais, dès que
cesse
d’être nul, les exposants cessent aussi de l’être ; un de ces exposants
ne pourra s’annuler, ou devenir égal à un multiple de
ou devenir égal à un autre exposant caractéristique que pour certaines
valeurs particulières de
330.Envisageons une solution périodique de période
telle
que tous les exposants
soient purement imaginaires ; c’est ce
que nous avons appelé plus haut une solution stable ; nous avons
démontré aux Chapitres III et IV l’existence de ces solutions.
Considérons l’un des exposants,
par exemple ; quand
variera d’une manière continue,
qui est réel, deviendra une
infinité de fois commensurable avec
Donnons à
une valeur
telle que
![{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {2k\pi }{p\mathrm {T} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2210ccdba8273ed7128c288b36d67b5914d423a)
et
étant des entiers premiers entre eux ; et qui, de plus, ne
corresponde pas à un maximum ou à un minimum de ![{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}}{\sqrt {-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c92ad3410dfa9d804bb83e242506426ca2671f)
On verra plus loin, au no 334, pourquoi je mets au numérateur
et non pas
Dans tout intervalle, si petit qu’il soit, il y a une infinité de
pareilles valeurs.
Si
est un entier quelconque, pour cette valeur
l’expression
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{1}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {p\,m\,\alpha _{1}\,\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6475469871bdaa84c4ff8b36821b42711a14ba8c)
est nulle ; de plus, comme
ne correspond pas à un maximum
ou à un minimum de
cette expression changera de signe
quand
passera de
à ![{\displaystyle \mu _{0}+\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c2660e7e4261bcc8f4919072c958908e2de0b6)
Supposons, par exemple, qu’elle passe du négatif au positif.
En raisonnant comme au no 328 nous verrons que l’on peut
choisir l’entier
de telle façon que les expressions
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {p\,m\,\alpha _{k}\,\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}\quad (k=2,\,3,\,\ldots ,\,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ff2e69980a5765e7a1c0597bdfe88e2ec1136c)
présentent toutes les combinaisons possibles de signes, et en particulier
qu’elles soient toutes négatives.
Cela posé, pour
notre fonction
présentera un
maximum, puisque toutes nos expressions seront négatives ; mais
pour
notre solution périodique ne correspondra plus
à un maximum de
puisque l’une de ces expressions sera
devenue positive.
Théorèmes sur les maxima.
331.Pour aller plus loin, il est nécessaire de démontrer une
propriété des maxima ; soit
une fonction de trois variables
et
développable suivant les puissances croissantes de ces
trois variables. Je suppose :
1o Que, pour
s’annule ainsi que ses dérivées
et cela quel que soit
2o Que pour
présente un maximum pour
et un minimum pour
Je dis que les équations
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3787034b4bb5c726c99069e8dd318dfb996518e2)
admettront d’autres solutions réelles que la solution
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c6fbddc17b2b0b4e9c21ee655b6101daa35f35)
En effet, développons
suivant les puissances de
et soit
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {V} _{0}+z\,\mathrm {V} _{1}+z^{2}\mathrm {V} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abd8e6c9422e1c07df6a6c7699d7efe2cb266c3)
Les fonctions
sont elles-mêmes développables
suivant les puissances de
et de
mais ces développements
ne contiendront, ni termes de degré 0, ni terme de degré 1, car
on doit avoir quel que soit ![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3a9c44d2058f9ebeb9a36d298a3d58555b604a)
pour ![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c6fbddc17b2b0b4e9c21ee655b6101daa35f35)
De plus,
ne contient pas non plus de termes du second degré,
sans quoi en passant de
à
on ne saurait passer du cas
du maximum au cas du minimum.
Au contraire,
contiendra des termes du premier degré, du
moins nous le supposerons. Envisageons alors les équations
(1)
|
|
|
qu’il s’agit de résoudre.
Soient
et
les termes de degré le moins élevé de
et de
d’après ce que nous avons vu,
est de second degré et
de
degré
étant plus grand que 2 ; posons
![{\displaystyle (p\!-\!2)\mu =1\,;\quad \;x_{1}=y_{1}t,\quad \;x_{2}=y_{2}t,\quad \;\mathrm {V} =\mathrm {W} t^{p}\,;\quad \;z=\pm t^{p-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a064ea4e0c348c1de8e0cb97df7a6bedb4f761d4)
peut se développer suivant les puissances de
soit
![{\displaystyle \mathrm {W} =\mathrm {W} _{0}+t\,\mathrm {W} _{1}+t^{2}\mathrm {W} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21fe0fb3a4baf5e08b5ab975b249fcc88bc2f335)
On a évidemment
![{\displaystyle \mathrm {W} _{0}=\pm \mathrm {U} _{1}t^{-p}+\mathrm {U} _{0}t^{-p}=\pm \mathrm {U} _{1}'+\mathrm {U} _{0}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e63d8f15b50a5e5b59969a23a7a9ea53372bc3)
et
sont deux polynômes homogènes
en
et
l’un de degré 2, l’autre de degré
Je prends le
signe
ou
suivant que j’ai pris
L’expression
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{2}}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d1e51d58606f24fd99dabce88f2927876f19de)
se trouvera aussi développée suivant les puissances de
quand on
y aura remplacé
et
par
et
elle contiendra en facteur
une certaine puissance de
divisons par ce facteur et soit
le quotient. Ce quotient développé suivant les puissances de
s’écrira
![{\displaystyle \mathrm {H} =\mathrm {H} _{0}+t\,\mathrm {H} _{1}+t^{2}\mathrm {H} _{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c3851b12c31b004121c095cf168fcb0b9b7c95)
sera la première des expressions
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {W} _{k}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {W} _{k}}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d88063b0504bb06bf051c9d25b85354cf1dfbc)
qui ne s’annulera pas.
Les équations
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3787034b4bb5c726c99069e8dd318dfb996518e2)
peuvent être remplacées par les suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} &=0,&{\frac {d\mathrm {W} }{dy_{1}}}&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70aa2d4a8ccfbd9bbe4562cb3e5d2fd011d45f8a)
et je me propose de démontrer que l’on peut tirer de ces équations
les
en séries ordonnées suivant les puissances entières et
fractionnaires de
s’annulant avec
et à coefficients réels.
Pour cela, il suffit d’établir, d’après les nos 32 et 33, que,
pour
ces équations admettent une solution réelle d’ordre impair.
Or, pour
ces équations se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} _{0}&=0,&{\frac {d\mathrm {W} _{0}}{dy_{1}}}&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b42b21842652990c920184fe2e8dd250807ad4)
ou bien
(2)
|
|
|
et
(3)
|
|
|
L’équation (2) exprime que, si l’on suppose
et
liés par la
relation
admet un maximum ou un minimum.
Or, si l’on regarde un instant
et
comme les coordonnées
d’un point dans un plan, la relation
représentera une
ellipse, car la forme quadratique
(et par conséquent la
forme
) doit être définie pour que
puisse admettre un
maximum ou un minimum. Or, l’ellipse étant une courbe
fermée, la fonction
devra présenter au moins un maximum
et un minimum quand le point
décrira cette courbe
fermée.
Donc, quelle que soit la valeur constante attribuée à
l’équation (2)
admettra au moins deux racines, et deux racines d’ordre impair,
car nous avons vu au no 34 qu’un maximum ou
un minimum correspond toujours à une racine d’ordre impair.
D’ailleurs ici, où nous n’avons plus qu’une variable indépendante,
le théorème du no 34 est presque évident.
Cela posé, deux cas sont à distinguer :
Premier cas. —
n’est pas une puissance de
dans ce
cas on n’a pas identiquement
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {W} _{0}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {W} _{0}}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{0}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f2c62f88962f6b20e337c26f22ade302a20f61)
On aura donc
et
![{\displaystyle \mathrm {H} _{0}={\frac {d\mathrm {U} _{0}'}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {U} _{0}'}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{1}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5202758ba1cf446d88362c1866c7d13396be6b94)
L’équation
est alors homogène en
et
Quelle que
soit la valeur constante attribuée à
elle nous donnera pour le
rapport
la même valeur.
Nous tirerons donc d’abord
de l’équation (2) et, d’après ce qui précède, nous obtiendrons au moins deux solutions d’ordre
impair.
Soit
l’une de ces solutions ; posons
et substituons dans l’équation (3), nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} _{0}'&=\mathrm {A} u^{p},&\mathrm {U} _{1}'&=\mathrm {B} u^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfac6f975070d5a1fba922138ca255fcdf9da00b)
et l’équation (3) se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {A} u^{p-2}\pm \mathrm {B} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de69773d78ec271e174032f2375ee1eb1cd57af)
Si
est impair, cette équation nous donnera une valeur
réelle pour
Si
est pair ; deux cas sont à distinguer.
Si
et
sont de même signe, nous prendrons le signe inférieur
![{\displaystyle \mathrm {A} u^{p-2}-\mathrm {B} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ce534f5c9d697da96f79ad7001e31ebf4c4704)
Si
et
sont de signes contraires, nous prendrons le signe
supérieur
![{\displaystyle \mathrm {A} u^{p-2}+\mathrm {B} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2e152abc6ad8a3255db298fdb5a70e50fe4d6b)
et nous aurons toujours deux valeurs réelles pour ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Dans tous les cas, ces solutions réelles sont simples.
Ainsi, les équations (2) et (3) admettront toujours des solutions
d’ordre impair.
Deuxième cas. — On a
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}'=\mathrm {A} \left(\mathrm {U} _{1}'\right)^{\frac {p}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c786a8fa43b78fc88887a950a62e183179c563e8)
Nous commencerons alors par résoudre l’équation (3) qui
s’écrit
![{\displaystyle {\frac {p}{2}}\,\mathrm {A} \left(\mathrm {U} _{1}'\right)^{{\frac {p}{2}}-1}\pm 1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081568fa751b1021141d03042e023c1d3785a088)
Cette équation nous donne la valeur de
cette valeur est
réelle et simple ; mais cela ne suffit pas, car
est une forme
définie négative ; il faut pour que la solution convienne que la
valeur trouvée pour
soit négative ; nous choisirons en conséquence
le signe
La valeur de
ainsi déterminée, on attribue à
cette valeur constante et l’on n’a plus pour résoudre l’équation (3) qu’à chercher
les maxima et minima de
Comme nous l’avons vu, on
trouvera au moins deux solutions d’ordre impair.
Nous avons donc établi que les équations (2) et (3) ont toujours
des solutions réelles d’ordre impair. Le théorème énoncé au début
de ce numéro est donc démontré.
332.Soit maintenant
une fonction de
variables
et
![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Je suppose :
1o Que
est développable suivant les puissances de
et de
2o Que pour
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f082967d49c8aeec358c447f4479f84fa5329f06)
on a quel que soit ![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c667bb9459e4fcd2e2092ac3598e744a7efa800c)
3o Envisageons l’ensemble des termes de
qui sont du second
degré par rapport aux
Ils représentent une forme quadratique
qui peut être égalée à la somme de
carrés affectés de coefficients
positifs ou négatifs.
Je suppose que, quand
passe du positif au négatif, deux de
ces
coefficients passent du positif au négatif et que les
autres coefficients ne s’annulent pas.
Je dis que, dans ces conditions, les équations
(1)
|
|
|
admettent des solutions réelles différentes de
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52bf1250fc2108e116b790ef505b26e63003d3e7)
En effet, développons
suivant les puissances de
et soit
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {V} _{0}+\mathrm {V} _{1}\,z+\mathrm {V} _{2}\,z^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafbf0011adbac14faa1916b96f15923b2d3fdd1)
Soient
et
l’ensemble des termes du deuxième degré
de
et
L’ensemble
est une forme quadratique décomposable en
une somme de
carrés ; car nous savons que, pour
deux des coefficients dont il a été question plus haut s’annulent.
Si donc nous considérons le discriminant de
c’est-à-dire le
déterminant fonctionnel de
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{n}}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a15a94ce95522c463774256b27cb2483f13397)
par rapport à
![{\displaystyle x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1784d2a0758f83e0aceabead075d44d16c342437)
ce déterminant s’annule ainsi que tous ses mineurs du premier
ordre ; mais tous les mineurs du deuxième ordre ne s’annulent
pas, sans quoi un troisième coefficient serait nul, ce que nous ne
supposons pas.
Nous pouvons aussi supposer qu’on ait fait un changement
linéaire de variables tel que
soit ramené à la forme
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}=\mathrm {A} _{3}x_{3}^{2}+\mathrm {A} _{4}x_{4}^{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}x_{n}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50bf8a877ccfb5ab5820a773349839defc5b6437)
et, par conséquent, que le déterminant fonctionnel de
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{3}}},\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{4}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{n}}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2daef80cc136010dcf10c5d71a7cfd0e4412ef52)
par rapport à
![{\displaystyle x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851d3673c54550232090e5d97fbdc51cf2c00fb4)
ne soit pas nul.
Envisageons alors les équations
(2)
|
|
|
qui sont
des équations (1). Je dis qu’on pourra en tirer
![{\displaystyle x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ddb67f32f97b581002c858522677af2657af32)
en séries ordonnées suivant les puissances de
![{\displaystyle z,\quad x_{1},\quad x_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e87d2a095bb9626c85ec5b7fbcb2dbb219d7ec8)
Pour cela, il suffit, en vertu du no 30, que le déterminant fonctionnel
des équations (2) par rapport à
![{\displaystyle x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ddb67f32f97b581002c858522677af2657af32)
ne s’annule pas quand on y fait
![{\displaystyle z=x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=\ldots =x_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef51e9d313919ba6225a776fa3385af0735c746)
Or, les équations (2), quand on fait
et qu’on se restreint
aux termes du premier degré par rapport aux
se réduisent à
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{3}}}={\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{4}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{n}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25db89b0e6268f84f1c1c7ff89626d44c440abf)
et nous venons de voir que le déterminant fonctionnel correspondant
n’est pas nul.
Dans
remplaçons
par leurs valeurs tirées
ainsi des équations (2) ; je dis que nous allons nous retrouver
dans les conditions du numéro précédent :
1o En effet, nous n’avons plus que trois variables indépendantes
et
;
2o La fonction
est développable suivant les puissances de ces
variables ;
3o Les équations (1) peuvent être remplacées par
(3)
|
|
|
où les
représentent des dérivées prises en regardant les
comme des fonctions de
et de
définies par les
équations (2).
Nous avons, en effet,
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{3}}}{\frac {dx_{3}}{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{4}}}{\frac {dx_{4}}{dx_{1}}}+\ldots +{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dx_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb4dc62d2131d6dea4af0e29dd0793ca8cb572f)
d’où, en vertu des équations (2),
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{1}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}},\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{2}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831a53ba32e7981f570a76925edac2339cc12ad6)
4o Pour
considéré comme fonction de
et de
présente un maximum quand ces deux variables sont nulles.
Pour le voir, il nous faut rechercher dans
les termes du
deuxième degré par rapport à
et à
Soient
![{\displaystyle \mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}+z^{2}\mathrm {W} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6c59838f4c488c24db1afa9d687ea1f8cb47f2)
ces termes. Pour obtenir
![{\displaystyle \mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbee7db950436bd43d274a2dd8db6b2218e423a3)
qui seuls m’intéressent, je prends les deux termes
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4731760fc049ee654d3e0739a75b57faaa70126)
et je néglige les autres termes de
qui ne peuvent influer
sur ![{\displaystyle \mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0eba405c61456ba84be18a9826bec9cfa27ee7)
Je tire des équations (2)
![{\displaystyle x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851d3673c54550232090e5d97fbdc51cf2c00fb4)
en séries ordonnées suivant les puissances de
et
je conserve
seulement dans ces séries, les termes qui sont de degré 1
par rapport à
et
et de degré 0 ou 1 par rapport à
les
autres termes peuvent être négligés car ils n’influent pas sur
![{\displaystyle \mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0eba405c61456ba84be18a9826bec9cfa27ee7)
Les équations (2) se réduisent alors à
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\mathrm {A} _{3}x_{3}+z\,{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{3}}}&=0,\\2\mathrm {A} _{4}x_{4}+z\,{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{4}}}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ..\\2\mathrm {A} _{n}x_{n}+z\,{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{n}}}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f515fd7482be33e60f7588e6feb3406cb343e8)
Si, dans
nous substituons à la place de
les
valeurs ainsi obtenues, nous voyons que
devient divisible
par
quant à
il se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {U} _{1}^{0}+z\,\mathrm {U} _{1}^{1}+z^{2}\mathrm {U} _{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3bd41a80695589e237ca81262f257eceb820a81)
où
n’est autre chose que ce que devient
quand on y
annule
et où
et
sont deux autres formes
quadratiques par rapport aux
On aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} _{0}&=z^{2}\mathrm {U} _{0}^{2}\,;&\mathrm {U} _{1}&=\mathrm {U} _{1}^{0}+z\,\mathrm {U} _{1}^{1}+z^{2}\mathrm {U} _{1}^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f91294df92692ee1a7653e6441c5538ff6a0bb4)
et
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=z\,\mathrm {U} _{1}^{0}+z^{2}\left(\mathrm {U} _{0}^{2}+\mathrm {U} _{1}^{1}\right)+z^{3}\mathrm {U} _{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d202204282105214db172f21e5bb81ee1ae97700)
Pour le calcul de
je puis négliger les deux derniers
termes qui sont divisibles par
et
et j’aurai simplement
![{\displaystyle \mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}=z\,\mathrm {U} _{1}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db53d4b0650b04f98a086bbde75089d5e5f6b34b)
Je me propose de démontrer que
présente un maximum pour
et pour
positif et très petit ; or il suffit de le
faire voir pour
c’est-à-dire pour
Il reste donc finalement à démontrer que
est une forme
définie négative.
Pour nous en rendre compte, nous écrirons la forme quadratique
de la manière suivante
![{\displaystyle \mathrm {U} _{1}=\mathrm {U} _{1}'+\mathrm {U} _{1}''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9c1de410b86f797ca77164cb58c4f8d13733f4)
est une somme de deux carrés affectés de coefficients dont je
ne préjuge pas le signe ;
dépend seulement des
variables
![{\displaystyle x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe214aeb9cc80db0458b6de752e6e06676dc64a6)
Cela est toujours possible d’après les propriétés générales des
formes quadratiques.
Considérons la forme
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=z\,\mathrm {U} _{1}'+\left(\mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}''\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0020f1a8cfff0c4f6c1826a5a46a2b21014a644b)
où
est supposé positif et très petit. La forme
ne
dépendant que des
variables
pourra être
égalée à une somme de
carrés affectés de coefficients dont
les signes devront être les mêmes que ceux de
puisque,
étant très petit, cette forme diffère très peu de
Ils ne changent donc pas de signe quand
passe du positif au négatif.
D’après nos hypothèses, quand
passe du positif au négatif,
de nos coefficients ne s’annulent pas et deux coefficients
au contraire passent du négatif au positif.
Ces deux derniers ne peuvent être que les coefficients de
Donc
est la somme de deux carrés affectés de coefficients négatifs.
Pour avoir
il faut dans
faire
![{\displaystyle x_{3}=x_{4}=\ldots =x_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92ed71abd24292629a10cca7edf3b1cc1a194fc)
Alors
s’annule et
se réduit à
Donc
est une forme définie négative.
C. Q. F. D.
Donc
considéré comme fonction de
et
est maximum
pour
positif et très petit et pour
On verrait de même, ou plutôt on voit en même temps, que
est minimum pour
négatif et très petit et pour
Nous sommes donc bien, comme je l’avais annoncé, ramenés
aux conditions du numéro précédent et le théorème énoncé au
début de ce numéro peut être regardé comme établi.
Existence des solutions du deuxième genre.
333.Revenons aux hypothèses du no 330 ; nous avons défini la
fonction
qui dépend de
des
variables
(α)
|
|
|
Les
et les
sont les valeurs de
et
pour
les
et
les
sont les valeurs de
et
pour
Nous voulons étudier les solutions des équations
(1)
|
|
|
d’après les nos 321 et 322, ces solutions correspondent aux solutions
périodiques de période
Nous en connaissons déjà une,
puisqu’une solution périodique de période
est en même temps
périodique de période
je me propose de montrer qu’il y en
a d’autres.
Mais, auparavant, je veux faire voir par quel artifice on peut
regarder
comme dépendant seulement de
et des
variables
(β)
|
|
|
Pour cela, nous supposerons
![{\displaystyle \mathrm {X} _{n}+\xi _{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a713ad1f12fcd304faf1367f9e0f3f62bb31e50)
Envisageons maintenant les équations
(1 bis)
|
|
|
Nous employons les
pour représenter les dérivées de
regardée comme fonction des variables (α) et les
pour représenter les dérivées de cette même fonction
regardée comme
fonction des variables (β).
Je me propose de démontrer l’équivalence des équations (1) et
(1 bis).
Le no 322 nous a donné
![{\displaystyle d\mathrm {S} =\sum \left[(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ea9e83beb2ef7a19f97bb2a9054584edb40ad4)
Les équations (1) peuvent donc s’écrire
![{\displaystyle -(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )=\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595009a184a77a88167c5ad0b430f42188073f38)
et les équations (1 bis)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad -(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )=\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}&=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1),\\\mathrm {X} _{n}-\xi _{n}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7294625c91670c21f3666917a29bfa324c0c27f0)
Mais, en vertu de l’équation des forces vives, on a identiquement
![{\displaystyle \mathrm {F} (\mathrm {X} _{i},\mathrm {Y} _{i})=\mathrm {F} (\xi _{i},\eta _{i}+2m_{i}\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3eeb7f606477515862915197927ee5041601546)
Or, d’après les équations (1 bis), tous les
sont égaux aux
et tous les
(sauf un), à
L’identité précédente peut
donc s’écrire de la manière suivante ; j’écris, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {F} (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n};\,\eta _{1}\!+\!2m_{1}p,\eta _{2}\!+\!2m_{2}\pi ,\ldots ,\eta _{n-1}\!+\!2m_{n-1}\pi ,\mathrm {Y} _{n})=\mathrm {F} (\mathrm {Y} _{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c2e5e017b1567fbf9f30a700d92386b2ec5ba8)
Mon identité peut s’écrire sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} \left[\eta _{n}+2m_{n}\pi +(\mathrm {Y} _{n}-\eta _{n}-2m_{n}\pi )\right]-\mathrm {F} \left(\eta _{n}+2m_{n}\pi \right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3338cf87f6c60512cc04c2c9c2c8882aa044265b)
ou, en vertu du théorème des accroissements finis,
(2)
|
|
|
où
est compris entre 0 et 1, et où
est la dérivée de
par
rapport à ![{\displaystyle \mathrm {Y} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eee0ae99ae39f114ce0105782355103edf3fa03)
Soient
et
les valeurs de
et
qui correspondent à la
solution périodique de période
le domaine envisagé ne comprend
que le voisinage immédiat du point
donc
et
ne s’écarteront jamais beaucoup de
ni
ou
de
donc le second facteur
de la relation (2) ne
s’écarte jamais beaucoup de sa valeur pour
et
cette valeur ne sera pas nulle en général.
Donc, le premier facteur de la relation (2) doit s’annuler, et
l’on a
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{n}-\eta _{n}-2m_{n}\pi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ff07be1ab5ab71afc04f6629a7242248459932)
En d’autres termes, les équations (1 bis) entraînent les équations (1).
Nous pouvons donc regarder
comme fonction des
variables (β) : et, quand elle sera maxima, comme fonction des variables (β),
elle sera également maxima comme fonction des
variables (α).
J’ai appelé
et
les valeurs de
et de
qui correspondent
à la solution périodique de période
les valeurs correspondantes
de
et
seront
et
(si la
solution périodique de période
change
en
conformément
aux hypothèses du no 322). Soit
la valeur correspondante
de
posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\mu _{0}+\mu '\,;&\mathrm {V} &=\mathrm {S} _{mp}-\mathrm {S} _{0}\,;&\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}&=2\xi _{i}^{0}+\xi _{i}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfcb8ef36f7eb52444e8fbee1de6b47936836328)
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{i}+\eta _{i}=2\eta _{i}^{0}+2m_{i}mp\mathrm {T} +\eta _{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757cec975a9d61e8bacbf9f0ec19b8dc7db889a8)
et considérons
comme fonction de
des
et des
la fonction
se trouvera dans les mêmes conditions que la fonction
du numéro précédent.
En effet, quel que soit
et ses dérivées premières par
rapport aux
et aux
s’annulent quand
![{\displaystyle \xi _{i}'=\eta _{i}'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126f5613096e683996021b822b517400ffdb3bb7)
Si l’on envisage l’ensemble des termes du second degré de
par rapport aux
et aux
et qu’on le considère comme une
forme quadratique décomposée en une somme de carrés, on voit
que deux de ces coefficients de ces carrés passent tous deux du
négatif au positif, ou tous deux du positif au négatif quand
change de signe, et que les autres coefficients ne s’annulent pas.
Et en effet l’expression
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{1}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {pm\alpha _{1}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb7a8837bc315d677b032a6706eaf8ab95b86aa)
change de signe et les autres expressions
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {pm\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17b25dfb689dfcc9e4dd233130fbca2161add93)
ne s’annulent pas. Le coefficient que j’ai appelé
au no 323 ne
s’annule pas non plus et d’ailleurs il n’y en a pas d’autre puisque
nous avons seulement
variables, les variables (β).
Nous sommes donc dans les conditions du numéro précédent
et nous pouvons affirmer que les équations
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{d\xi _{i}'}}={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta _{i}'}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0498ef5e6f7c44475e9f075eae29ffcaea48b44a)
admettent d’autres solutions réelles que
ou, ce qui
revient au même, les équations
(1)
|
|
|
admettent d’autres solutions réelles que celles qui correspondent
à la solution périodique de période ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Or, les maxima de la fonction
ou, plus généralement, les
solutions des équations (1) correspondent aux solutions périodiques
de période
Nous devons donc conclure que nos équations différentielles
admettent des solutions périodiques de période
différentes
de la solution de période
se confondant avec celle-ci pour
et en différant très peu pour
voisin de
Si l’on fait attention au raisonnement qui précède, on verra
qu’il n’exige pas que la solution périodique de période
corresponde
à un maximum de
Nous pourrons donc supposer
Il n’exige même pas que la solution de période
soit stable ;
il suffit que l’un des exposants caractéristiques
soit égal pour
à
![{\displaystyle {\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8010478c4d3555bc24c1d2a848f57b5a9d06bd6c)
Nous arrivons donc au résultat suivant :
Si les équations de la Dynamique admettent une solution périodique
de période
et telle que l’un des exposants caractéristiques
soit voisin de
![{\displaystyle {\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8010478c4d3555bc24c1d2a848f57b5a9d06bd6c)
elles admettront également des solutions périodiques de période
peu différentes de la solution de période
et se confondant
avec celles-ci quand l’exposant caractéristique devient
égal à
![{\displaystyle {\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8010478c4d3555bc24c1d2a848f57b5a9d06bd6c)
Ce sont les solutions du deuxième genre.
remarque.
334. Tous ces raisonnements supposent que
est une
fonction uniforme de
C’est à cette condition
seulement que l’on peut affirmer que tous les maxima de
correspondent à une solution périodique (voir no 321). Cette
circonstance à laquelle il faut faire la plus grande attention, est
un obstacle que l’on rencontrera souvent quand on voudra tirer
les conséquences du théorème du no 321.
Vérifions si
est bien fonction uniforme de ces variables.
Nous pouvons supposer
d’après ce que nous venons de
voir. D’autre part,
est évidemment fonction uniforme des
et
des
elle sera aussi fonction uniforme des
et des
pourvu que le déterminant fonctionnel des
et des
par rapport aux
et aux
ne s’annule pas dans le domaine
envisagé ; ce domaine se réduisant aux environs immédiats des
valeurs
![{\displaystyle \mu =\mu _{0},\quad \xi _{i}=\xi _{i}^{0},\quad \eta _{i}=\eta _{i}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163fc48b96988929f1db2549732401b0a5384955)
il suffira que le déterminant fonctionnel ne soit pas nul en ce
point. Or, ce déterminant fonctionnel s’écrit (en supposant
pour fixer les idées)
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{1}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{1}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{2}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{2}}}+1\end{array}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32692ead41b762f2d57aba93bf6dc98de2401ff7)
Il faut, donc vérifier que l’équation en
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{2}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{2}}}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3f7df64b1ad64c6b53d54bab96b4bb2b795a0e)
n’a pas de racine égale à ![{\displaystyle -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1ae9e73ea72a95921a7fbeba221311687f1367)
Or, les racines de cette équation sont, d’après le no 60, égales à
![{\displaystyle e^{\alpha _{p}\mathrm {T} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97e7f1d5729edd6c375dfa15af878045317a43b)
les
étant les exposants caractéristiques ; il faut donc vérifier
que l’on n’a pas
![{\displaystyle \alpha ={\frac {(2k+1)\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d476a93b55ede56963686de4f3ce9970063247fe)
étant entier ; or, l’exposant
est égal par hypothèse à
![{\displaystyle {\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af2ac7a668114f0450727843b1c81a5f86177df)
étant entier, et les autres exposants ne sont pas en général commensurables
avec ![{\displaystyle {\frac {\pi {\sqrt {-1}}}{\mathrm {T} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2937faad430a2333bb71a10ea1264264b419e5db)
La difficulté qui nous occupe ne se présentera donc pas.
C’est pour l’éviter que j’ai supposé au no 330
(
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
entier)
et non pas
(
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
entier).
Cas particuliers.
335.Disons quelques mots des cas les plus simples ; supposons
seulement deux degrés de liberté.
Supposons que la forme analogue à celle que j’ai appelée
dans l’analyse du no 331, soit homogène du troisième degré seulement
en
et
L’équation
(1)
|
|
|
admet toujours, comme nous l’avons vu, des racines réelles.
Le théorème est ici d’ailleurs évident, puisque cette équation
est du troisième degré en
Elle peut avoir une ou trois racines
réelles ; supposons d’abord qu’elle n’en ait qu’une pour fixer les
idées.
Si alors nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\alpha _{1}\rho \cos \varphi +b_{1}\rho \sin \varphi \\x_{1}&=\alpha _{2}\rho \cos \varphi +b_{2}\rho \sin \varphi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f20c5df7c17b781fc486ba2a8c2763b56bb4df)
en choisissant les coefficients
et
de telle sorte que
se
réduise à
le rapport
considéré au
no 331
admettra seulement un- maximum et un minimum, quand
variera
de
à
ce maximum et ce minimum d’ailleurs égaux et de
signes contraires correspondront à des valeurs de
distantes de ![{\displaystyle \pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94b721b560eaa34cbf1e346505aca908d473be5)
On aura alors
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=\rho ^{3}f(\varphi )-z\rho ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc14058859a207e8b657cec1da6511a80ea739b)
La fonction
présente un maximum et un minimum égaux
et de signes contraires ; la fonction
présente alors :
Pour
un maximum pour
et deux minimax.
Pour
un minimum pour
et deux maxima.
J’appelle minimax, à l’exemple des Anglais, un point pour
lequel les dérivées premières s’annulent et où il n’y a ni maximum,
ni minimum.
La fonction
se comportera de la même manière, puisque, si
est très petit, les termes
auront seuls de l’influence.
Les équations différentielles admettront donc quel que soit
Une solution de période
du premier genre, stable ;
Une solution de période
du deuxième genre, stable pour
et instable pour
Supposons maintenant que l’équation (1) ait trois racines
réelles.
La fonction
aura trois maxima et trois minima deux à
deux égaux et de signes contraires.
Dans ce cas
et, par conséquent,
présentent :
Pour
un maximum pour
et six minimax ;
Pour
un minimum pour
six maxima.
Les équations différentielles admettront donc, quel que soit
Une solution de période
du premier genre, stable ;
Trois solutions de période
du deuxième genre. Nous
verrons plus loin qu’à un certain point de vue toutes ces solutions
ne sont pas distinctes.
Passons à un cas un peu plus compliqué et supposons que
soit du quatrième degré.
Dans ce cas, l’équation (1) est du quatrième degré, et comme
elle a toujours au moins deux racines réelles d’après le no 331,
elle en aura deux ou quatre. On n’a plus alors
![{\displaystyle f(\varphi )=-f(\varphi +\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4248113674a616ef5f94099a851206a04dd903)
mais bien
![{\displaystyle f(\varphi )=f(\varphi +\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a970b3b9b0390dc922aa425a5580d049e7a5d28f)
Supposons d’abord qu’il n’y ait que deux racines réelles.
Alors, la fonction
présentera un maximum et un minimum
quand
variera de 0 à
et autant quand
variera de
à
Trois cas sont à distinguer suivant les signes de ce maximum
et de ce minimum.
Premier cas. — Le maximum et le minimum sont positifs.
Les fonctions
et
présentent :
Pour
un maximum pour
deux minima et deux
minimax.
Pour
un minimum pour
Les équations différentielles admettent, outre la solution du
premier genre qui existe toujours, deux solutions du deuxième genre pour
et n’en admettent aucune pour
de ces
deux solutions, une est stable et une instable.
Deuxième cas. — Le maximum est positif et le minimum
négatif.
Les fonctions
et
présentent :
Pour
un maximum pour
deux minimax ;
Pour
un minimum pour
deux minimax.
Les équations différentielles admettent toujours, outre la solution
du premier genre qui est stable, une solution instable du
deuxième genre.
Troisième cas. — Le maximum lui-même est négatif.
Les équations différentielles ont alors :
Pour
une solution du premier genre stable ;
Pour
une solution du premier genre stable et deux
solutions du deuxième genre dont une stable et instable.
Il resterait à examiner le cas où l’équation (1) a quatre racines
réelles.
Les équations admettent alors :
Pour
une solution du premier genre stable,
solutions
du deuxième genre instables,
solutions du second genre stable ;
Pour
une solution du premier genre stable,
solutions
du second genre stables,
solutions du deuxième genre
instables.
Les nombres entiers
et
peuvent, suivant les signes des
maxima et des minima de
prendre les valeurs suivantes
![{\displaystyle {\begin{array}{rrlr}h=k=2\,;&h=2,\;k=1\,;&h=2,\;k=0\,;&h=1,\;k=0\,;\\&h=k=0\,;&h=k=1.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec4cf0683b3279b116b107f2140f9c1c06f98a5)