Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.28

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars, 1899 (3, p. 201-248).

CHAPITRE XXVIII.

SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

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314.Considérons un système d’équations

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),$

où les $\mathrm {X} i$ sont des fonctions de $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n},$ et de $t,$ périodiques de période $\mathrm {T}$ par rapport à $t.$

Soit

(2)

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

une solution périodique de période $\mathrm {T}$ des équations (1).

Nous allons chercher si les équations (1) admettent d’autres solutions périodiques, très voisines de (2) et dont la période soit multiple de $\mathrm {T} .$

Ces solutions, si elles existent, s’appelleront solutions périodiques du deuxième genre.

Considérons une solution des équations (1), très voisine de (2). Soit

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$

la valeur de $x_{i}$ pour $t=0$ et

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}=\varphi _{i}(k\mathrm {T} )+\beta _{i}+\psi _{i}$

la valeur de $x_{i}$ pour $t=k\mathrm {T}$ ($k$ étant un entier).

Les $\beta _{i}$ et les $\psi _{i}$ dont la définition est ainsi la même qu’au Chapitre III seront très petits et l’on verrait comme au Chapitre III que les $\psi$ sont des fonctions des $\beta ,$ développables suivant les puissances croissantes des $\beta .$

Pour que la solution soit périodique de période $k\mathrm {T} ,$ il faut et il suffit que

(3)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\ldots =\psi _{n}=0.$

Les $\psi _{i}(t)$ étant des fonctions périodiques, les $\psi$ s’annulent avec les $\beta .$

Nous supposerons que les fonctions $\mathrm {X} _{i}$ qui figurent dans les équations (1) dépendent d’un certain paramètre $\mu .$ Alors, les fonctions $\varphi _{i}(t)$ dépendront non seulement de $t,$ mais de $\mu \,;$ par rapport à $t,$ elles seront périodiques de période $\mathrm {T} ,$ $\mathrm {T}$ étant une constante indépendante de $\mu .$

Dans ces conditions, les fonctions $\psi ,$ dont la définition reste la même, dépendront non seulement des $\beta ,$ mais de $\mu .$ Si nous regardons

$\beta _{1},\quad \beta _{2},\quad \ldots ,\quad \beta _{n},\quad \mu$

comme les coordonnées d’un point dans l’espace à $n+1$ dimensions, les équations (3) représentent une courbe dans cet espace. À chaque point de cette courbe correspondra une solution périodique, de période $k\mathrm {T} .$

Comme les $\psi$ s’annulent tous, quand les $\beta$ s’annulent tous à la fois, cette courbe comprendra la droite

(4)

$\beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{n}=0.$

Aux différents points de cette droite correspondra la solution (2) qui, étant une solution périodique de période $\mathrm {T} ,$ est, par cela même, une solution périodique de période $k\mathrm {T} .$

Mais nous devons nous demander s’il existe d’autres solutions périodiques, voisines de la première, ou, en d’autres termes, si la courbe (3) comprend, outre la droite (4), d’autres branches de courbe s’approchant très près de la droite (4).

En d’autres termes, y a-t-il des points de la droite (4) par où passent des branches de la courbe (3) autres que cette droite ?

Soit

$\beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{n}=0,\quad \mu =\mu _{0}$

un point $\mathrm {P}$ de la droite (4).

Pour que par le point $\mathrm {P}$ passent plusieurs branches de courbe, il faut qu’en ce point $\mathrm {P}$ le déterminant fonctionnel, ou jacobien, des $\psi ,$ par rapport aux $\beta ,$ s’annule.

Cette condition n’est d’ailleurs pas suffisante, comme nous le verrons plus loin, pour que par le point $\mathrm {P}$ passent plusieurs branches de courbe réelles.

Formons le déterminant des $\psi$ par rapport aux $\beta ,$ ajoutons $-\mathrm {S}$ à tous les termes de la diagonale principale et égalons à zéro le déterminant ainsi obtenu. Nous obtiendrons ainsi l’équation connue sous le nom d’équation en $\mathrm {S} .$

Les racines de cette équation (Cf. n^o 60) sont

$e^{k\alpha \mathrm {T} }-1,$

$\alpha$ étant l’un des exposants caractéristiques des équations (1).

Pour que le déterminant fonctionnel soit nul il faut et il suffit qu’une des racines soit nulle ; on doit donc avoir

$e^{k\alpha \mathrm {T} }=1,$

ce qui veut dire que $k\,\alpha \,\mathrm {T}$ soit un multiple de $2i\pi .$

Donc, pour que par le point $\mathrm {P}$ passent plusieurs branches de courbe, il faut que l’un des exposants caractéristiques soit multiple de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$

315.Cette condition n’est pas suffisante et une discussion plus complète est nécessaire.

Posons

$\mu =\mu _{0}+\lambda ,$

et cherchons à développer les $\beta$ suivant les puissances entières ou fractionnaires de $\lambda .$

Nous supposons que le jacobien des $\psi ,$ par rapport aux $\beta ,$ est nul ; ce jacobien s’annule pour $\lambda =0,$ mais ne sera pas en général identiquement nul ; il faudrait pour cela que l’un des exposants caractéristiques fût constant, indépendant de $\mu$ et égal à un multiple de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$

Nous supposerons donc que le jacobien s’annule pour $\lambda =0,$ mais que sa dérivée, par rapport à $\lambda ,$ ne s’annule pas.

De même, nous supposerons d’abord que les mineurs du premier ordre de ce jacobien ne s’annulent pas tous à la fois.

Dans ce cas, en vertu du théorème du n^o 30, de $n-1$ des équations (3) on pourra tirer $n-1$ des quantités $\beta$ en séries développées suivant les puissances entières de $\lambda$ et de la $n$^ième quantité $\beta ,$ par exemple de $\beta _{n}.$

Dans la $n$^ième équation (3), substituons les valeurs de

$\beta _{1},\quad \beta _{2},\quad \ldots ,\quad \beta _{n-1},$

ainsi trouvées. Le premier membre de cette $n$^ième équation, se trouvera ainsi développé suivant les puissances de $\lambda$ et de $\beta _{n}\,;$ écrivons-la sous la forme

$\Theta (\lambda ,\beta _{n})=0.$

J’observe d’abord que $\Theta$ doit être divisible par $\beta _{n},$ car la droite (4) doit faire partie de la courbe (3).

D’autre part, la dérivée de $\Theta$ par rapport à $\beta _{n}$ doit s’annuler pour $\lambda =0,$ puisque le jacobien s’annule. Pour $\lambda =0,$ $\Theta$ ne contient donc pas de terme du premier degré ; supposons qu’il ne contienne pas non plus de termes du deuxième, …, du $p-1$^ième degré, mais qu’il contienne un terme de degré $p.$

Enfin, comme la dérivée du jacobien par rapport à $\lambda$ ne s’annule pas, nous aurons un terme en $\lambda \beta _{n}.$

Je puis donc écrire

$\Theta =\mathrm {A} \,\lambda \beta _{n}+\mathrm {B} \,\beta _{n}^{p}+\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant un ensemble de termes contenant en facteur $\beta _{n}^{p+1},$ $\lambda \beta _{n}^{2},$ ou $\lambda ^{2}\beta _{n}\,;$ et $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des coefficients constants qui ne sont pas nuls.

On voit qu’on peut tirer de là $\beta _{n}$ en série procédant suivant les puissances de $\lambda ^{\frac {1}{p-1}}$ et la question est de savoir si cette série est réelle.

Si $p$ est pair, ou si, $p$ étant impair, $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de signes contraires, la série est réelle et il existe des solutions périodiques du deuxième genre.

Si $p$ est impair et si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de signes contraires, la série est imaginaire et il n’y a pas de solution périodique du deuxième genre.

Je suppose maintenant que non seulement le jacobien s’annule pour $\lambda =0,$ mais qu’il en soit de même de tous ses mineurs du premier, du second, etc., du $p-1$^ième ordre. Je suppose toutefois que les mineurs du $p$^ième ordre ne sont pas tous nuls à la fois.

Dans ces conditions, d’après le n^o 57, il y aura non pas un, mais $p$ exposants caractéristiques qui seront multiples de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$

De $n-p$ des équations (3), on pourra alors tirer $n-p$ des quantités $\beta$ sous la forme de séries développées suivant les puissances de $\lambda$ et des $p$ dernières quantités $\beta .$

Pour abréger le langage, je dirai les $\beta '$ pour désigner les $n-p$ premières quantités $\beta ,$ et les $\beta ''$ pour désigner les $p$ dernières quantités $\beta .$ Nous aurons donc les $\beta '$ développées suivant les puissances de $\lambda$ et des $\beta ''.$

Substituons ces développements à la place des $\beta '$ dans les $p$ dernières équations (3), nous obtiendrons $p$ équations

(5)

$\Theta _{1}=\Theta _{2}=\ldots =\Theta _{p}=0,$

dont les premiers membres seront développables suivant les puissances de $\lambda$ et des $\beta ''.$

Le jacobien et ses mineurs des $p-1$ premiers ordres étant nuls, ces premiers membres ne contiendront pas de termes du premier degré en $\beta ''$ indépendants de $\lambda .$ Il faut voir maintenant si les premiers membres des équations (5) contiendront des termes du premier degré par rapport aux $\beta ''$ et en même temps du premier degré par rapport à $\lambda .$

Soit $\theta _{i}$ l’ensemble des termes de $\Theta _{i}$ qui sont du premier degré par rapport aux $\beta ''\,;$ il est clair que $\theta _{i}$ pourra se développer suivant les puissances de $\lambda \,;$ soit

$\theta _{i}=\theta _{i}^{0}+\lambda \theta _{i}^{1}+\lambda ^{2}\theta _{i}^{(2)}+\ldots$

ce développement ; les $\theta _{i}^{(k)}$ seront des polynômes homogènes du premier degré par rapport aux $\beta ''.$

D’après ce qui précède, $\theta _{i}^{0}$ sera identiquement nul ; mais il faut voir s’il n’en est pas de même de $\theta _{i}^{1}.$

Le jacobien des $\psi$ par rapport aux $\beta$ est égal à

$\prod \left(1-e^{k\alpha \mathrm {T} }\right),$

le produit indiqué par le signe $\textstyle \prod$ s’étendant à $n$ facteurs correspondant aux $n$ exposants caractéristiques $\alpha .$

Soient $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{n}$ ces $n$ exposants et soit

$\varphi (\alpha )=\left(1-e^{k\alpha \mathrm {T} }\right)\,;$

le jacobien sera égal au produit

$\varphi (\alpha _{1})\,\varphi (\alpha _{2})\ldots \,\varphi (_{n}).$

Pour $\lambda =0,$ le jacobien s’annule ainsi que ses mineurs des $p-1$ premiers ordres ; il en résulte que $p$ des exposants sont multiples de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$ Donc, $p$ des facteurs $\varphi (\alpha )$ s’annulent pour $\lambda =0$ et sont, par conséquent, divisibles par $\lambda .$ Le produit, c’est-à-dire le jacobien sera donc divisible par $\lambda ^{p}.$

Nous supposerons que pour $\lambda =0,$ aucun des ${\frac {d\alpha }{d\lambda }}$ ne s’annule ; c’est ce que nous avions déjà supposé plus haut. Dans ces conditions aucun des $\varphi (\alpha )$ n’est divisible par $\lambda ^{2}.$ Donc le produit n’est pas divisible par $\lambda ^{p+1}.$

Ainsi, le jacobien est divisible par $\lambda ^{p},$ mais pas par $\lambda ^{p+1}.$

Il résulte de là que le déterminant des $\theta _{i}^{1}$ est différent de zéro, et par conséquent qu’aucun des $\theta _{i}^{1}$ ne s’annule identiquement.

Le cas le plus simple est celui où, pour $\lambda =0,$ les termes du deuxième degré ne disparaissent pas dans les $\Theta _{i}$ et où ces termes du deuxième degré ne peuvent pas s’annuler à la fois, à moins que tous les $\beta ''$ ne s’annulent à la fois.

Soit alors $\eta _{i}$ l’ensemble des termes du deuxième degré de $\Theta _{i}$ pour $\lambda =0.$

Il suffira alors d’envisager les équations algébriques

$\eta _{i}+\lambda \theta _{i}^{1}=0,$

dont les premiers membres sont des polynômes homogènes du deuxième degré par rapport à $\lambda$ et aux $\beta ''.$

Si ces équations admettent des solutions réelles, nous aurons des solutions périodiques du deuxième genre.

Je ne développerai pas la discussion dans les autres cas, me réservant de la faire complètement en ce qui concerne les équations de la Dynamique.

Cas où le temps n’entre pas explicitement.

316.Supposons que les fonctions $\mathrm {X} _{i}$ qui figurent dans les équations (1) ne dépendent pas du temps $t.$

Dans ce cas, comme nous l’avons vu au n^o 61, l’un des exposants caractéristiques est toujours nul.

D’autre part, si

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

est une solution périodique de période $\mathrm {T} ,$ il en est de même de

$x_{i}=\varphi _{i}(t+h)$

quelle que soit la constante $h.$

Dans le numéro précédent, nous supposions qu’il y avait, quel que soit $\mu ,$ une solution périodique

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

et la période ne pouvait être que $\mathrm {T} ,$ puisque les $\mathrm {X} _{i}$ étaient des fonctions périodiques de $t,$ de période $\mathrm {T} .$

La période était donc indépendante de $\mu .$

Il n’en est plus de même ici. Nous supposerons toujours que, quel que soit $\mu ,$ les équations (1) admettent une solution périodique

$x_{i}=\varphi _{i}(t).$

Mais la période dépendra de $\mu$ en général. J’appellerai $\mathrm {T}$ la période, et $\mathrm {T} _{0}$ la valeur de $\mathrm {T}$ pour $\mu =\mu _{0},$ c’est-à-dire pour $\lambda =0.$

Nous modifierons alors un peu la définition des quantités $\beta$ et $\psi .$

Nous désignerons toujours par $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0\,;$ mais nous représenterons par $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=k(\mathrm {T} +\tau )$ (et non pour $t=k\mathrm {T}$).

Alors, les $\psi _{i}$ seront des fonctions des $n+2$ variables

$\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n},\,\tau ,\,\lambda .$

Si l’on continue à regarder les $\beta$ et $\lambda$ comme les coordonnées d’un point dans l’espace à $n+1$ dimensions, les équations

(3)

$\psi _{i}=0$

représenteront alors non plus une courbe, mais une surface puisque nous pouvons faire varier indépendamment et d’une manière continue les deux paramètres $\tau$ et $\lambda .$

Mais il importe de remarquer que sur cette surface sont tracées des courbes dont les divers points correspondent à des solutions périodiques qui ne peuvent pas être regardées comme essentiellement distinctes.

Si, en effet,

$x_{i}=f_{i}(t)$

est une solution périodique, il eu sera de même de

$x_{i}=f_{i}(t+h)$

quelle que soit la constante $h,$ et cette nouvelle solution ne sera pas réellement distincte de la première.

À la première correspond le point

$\beta _{i}=f_{i}(0)-\varphi _{i}(0),$

et à la seconde le point

$\beta _{i}=f_{i}(h)-\varphi _{i}(0).$

Quand on fait varier $h$ d’une manière continue, le second point décrit une courbe dont les divers points ne correspondent pas ainsi à des solutions réellement distinctes.

En particulier, envisageons la solution

$x_{i}=f_{i}(t)$

À cette solution correspondra le point

$\beta _{i}=0$

qui appartient à la droite (4).

À la solution

$x_{i}=f_{i}(t+h),$

qui n’est pas réellement distincte de la première, correspondra le point

(4 bis)

$\beta _{i}=\varphi _{i}(h)-\varphi _{i}(0),$

qui appartient à une certaine surface (4 bis) faisant partie de la surface (3).

Il s’agit de savoir si la surface (3) contient des nappes autres que (4 bis) et s’approchant très près de (4 bis) ; c’est-à-dire s’il y a sur la surface (4 bis) des points par où passent d’autres nappes de la surface (3) que la surface (4 bis) elle-même.

Nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer $\beta _{1}=0$ (ou nous imposer une autre relation arbitraire entre les $\beta$).

En effet, les solutions

${\begin{aligned}x_{i}&=f_{i}(t),&x_{i}&=f_{i}(t+h)\end{aligned}}$

ne sont pas réellement distinctes et il suffira d’envisager l’une d’elles.

Nous pouvons donc choisir arbitrairement la constante $h\,;$ et nous pouvons le faire, par exemple, de telle façon que

$f_{i}(h)=\varphi _{i}(0),$

d’où

$\beta _{1}=0.$

C. Q. F. D.

Si nous nous imposons cette condition $\beta _{1}=0,$ les deux surfaces (3) et (4 bis) se réduisent à des courbes et, en particulier, la surface (4 bis) se réduit à la droite (4). . Nous sommes amenés de nouveau à rechercher si par un point de la droite (4) passe une autre branche de la courbe (3).

Pour cela, combinons l’équation $\beta _{1}=0$ avec les équations (3) ; ces équations représenteront la courbe (3) ou une courbe dont la courbe (3) n’est qu’une partie. Pour que cette courbe, dans le domaine considéré, ne se réduise pas à la droite (4), il faut que le jacobien de $\psi _{1},\,\psi _{2},\,\ldots ,\,\psi _{n},\,\beta _{1}$ par rapport à $\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n},\,\tau$ et celui de $\psi _{1},\,\psi _{2},\,\ldots ,\,\psi _{n}$ par rapport à $\beta _{2},\,\beta _{3},\,\ldots ,\,\beta _{n},\,\tau$ soit nul pour $\lambda =0.$

Comme rien ne distingue $\beta _{1}$ des autres $\beta ,$ les jacobiens des $\psi$ par rapport à $\tau$ et à $n-1$ quelconques des $\beta$ devront s’annuler tous. C’est-à-dire que tous les déterminants contenus dans la matrice des n^os 38 et 63 doivent s’annuler à la fois. En raisonnant comme au n^o 63, on verrait que l’équation en $\mathrm {S}$ doit avoir deux racines nulles.

Il en résulte que deux des exposants caractéristiques devront être multiples de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$ Cela est déjà vrai de l’un d’entre eux qui est nul. Un second exposant devra être multiple de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$

Si cette condition est remplie, nous formerons un système de $n+1$ équations comprenant les équations (3) et $\beta _{1}=0.$ Nous en tirerons $\tau$ et les $\beta$ en séries développées suivant les puissances entières et fractionnaires de $\lambda .$

Si les séries sont réelles, il y aura des solutions périodiques du deuxième genre ; si les séries sont imaginaires, il n’y en aura pas.

Je ne développerai pas la discussion.

317.Supposons maintenant que les équations

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i},$

où le temps entre explicitement, admettent une intégrale uniforme

$\mathrm {F} =\mathrm {C} ,$

de telle façon que l’on ait

$\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}=0.$

Nous avons vu au n^o 64 que dans ce cas le jacobien des $\psi$ par rapport aux $\beta$ s’annule et que l’un des exposants caractéristiques est nul.

Les équations

(3)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\ldots =\psi _{n}=0$

ne sont pas alors distinctes puisqu’on a identiquement

$\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}\right]-\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}\right]=0.$

Elles ne représentent donc pas une courbe, mais une surface.

Mais dans ce cas, d’après les principes du Chapitre III, nous avons une double infinité de solutions périodiques de période $\mathrm {T}$

$x_{i}=\varphi _{i}(t),$

puisqu’il y en a une qui correspond à chaque valeur du paramètre $\mu =\mu _{0}+\lambda$ et à chaque valeur de la constante $\mathrm {C} .$

Nous conviendrons de donner à la constante $\mathrm {C}$ une valeur déterminée $\mathrm {C} _{0}$ et nous n’aurons plus qu’une simple infinité de solutions périodiques de période $\mathrm {T}$

$x_{i}=\varphi _{i}(t),$

chacune d’elles correspondant à une valeur de $\lambda .$

Les équations (3) n’étant pas distinctes peuvent être remplacées par $n-1$ d’entre elles, par exemple par

$\psi _{1}=\psi _{2}=\ldots =\psi _{n-1}=0.$

Considérons alors le système

(3 bis)

${\begin{aligned}\psi _{1}&=\psi _{2}=\ldots =\psi _{n-1}=0,&\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}\right]&=\mathrm {C} _{0}.\end{aligned}}$

Les équations (3 bis) représentent non plus une surface mais une courbe dont fait partie la droite

(4)

$\beta _{i}=0.$

Pour que par un point de la droite (4) passe une autre branche de courbe, il faut que le jacobien de

$\psi _{1},\quad \psi _{2},\quad \ldots ,\quad \psi _{n-1},\quad \mathrm {F} ,$

par rapport aux $\beta ,$ s’annule.

Cette condition peut encore se mettre sous une autre forme.

Supposons que nous résolvions l’équation

$\mathrm {F} (x_{i})=\mathrm {C} _{0}$

par rapport à $x_{n}$ et que cette résolution donne

$x_{n}=\theta (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}).$

Substituons $\theta$ à la place de $x_{n}$ dans $\mathrm {X} _{i},$ et soit $\mathrm {X} _{i}^{\prime }$ le résultat de cette substitution.

Les équations (1) se trouveront ainsi remplacées par les suivantes

(1 bis)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}^{\prime }\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1).$

Ces équations (1 bis) admettront pour solution périodique

$x_{i}=\varphi _{i}(t).$

Les exposants caractéristiques de cette solution périodique, considérée comme appartenant aux équations (1 bis), seront au nombre de $n-1.$ Soient $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},\,\ldots ,$ $\alpha _{n-1}$ ces $n-1$ exposants. Ce seront les mêmes que ceux de cette solution périodique $x_{i}=\varphi _{i}(t),$ considérée comme appartenant aux équations (1) en supprimant celui des $n$ exposants qui est égal à zéro.

Pour que dans le voisinage d’un point de la droite (4), les équations (1) admettent des solutions périodiques du second genre, il faut et il suffit que les équations (1 bis) en admettent, c’est-à-dire qu’en un point de la droite (4) l’un des $n-1$ exposants caractéristiques $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},\,\ldots ,$ $\alpha _{n-1}$ soit multiple de ${\frac {2i\pi }{k\,\mathrm {T} }}\cdot$

Ainsi, la condition énoncée plus haut que le jacobien de $\psi _{1},$ $\psi _{2},\,\ldots ,$ $\psi _{n-1},$ $\mathrm {F}$ est nul est susceptible d’un énoncé tout différent. Pour qu’elle soit remplie, il faut que deux des exposants soient multiples de ${\frac {2i\pi }{k\,\mathrm {T} }}\,;$ cela est toujours vrai d’un d’entre eux qui est nul ; cela doit être vrai d’un second exposant.

Supposons cette condition remplie. Des équations (3 bis) nous tirerons les $\beta$ en séries ordonnées suivant les puissances entières et fractionnaires de $\lambda .$ Je ne ferai pas la discussion pour savoir si ces séries sont réelles.

318.Supposons maintenant que les $\mathrm {X} _{i}$ ne dépendent pas explicitement du temps, et que les équations (1) admettent une intégrale

$\mathrm {F} =\mathrm {C} .$

Dans ce cas, d’après le n^o 66, deux des exposants caractéristiques sont nuls. Si, pour un système de valeurs de $\mu$ et de $\mathrm {C} ,$ les équations admettent une solution périodique, elles en admettront encore pour les valeurs voisines de sorte que nous aurons une double infinité de solutions périodiques

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

dépendant des deux paramètres $\mu$ et $\mathrm {C} .$ La période $\mathrm {T}$ ne sera pas constante, ce sera une fonction de $\mu$ et de $\mathrm {C} .$

Donnons alors à $\mathrm {C}$ une valeur déterminée $\mathrm {C} _{0}$ et soient encore

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i},\quad \varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$

les valeurs de $x_{i}$ pour $t=0,$ et pour $t=k(\mathrm {T} +\tau ).$

Aux équations

(3)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\ldots =\psi _{n}=0$

nous adjoindrons d’abord l’équation $\mathrm {F} =\mathrm {C} _{0}$ et ensuite une relation arbitraire entre les $\beta ,$ par exemple $\beta _{1}=0.$

Nous pouvons en effet, sans restreindre la généralité, et pour la même raison qu’au n^o 316, supposer $\beta _{1}=0.$

Nous obtiendrons ainsi le système

(3 ter)

$\psi _{i}=0;\qquad \mathrm {F} =\mathrm {C} _{0},\qquad \beta _{1}=0.$

Ces équations représentent une courbe ; en effet, le nombre des équations est égal à $n-2\,;$ mais les $n$ équations (3) ne sont pas distinctes et peuvent être remplacées par $n-1$ d’entre elles et cela pour la même raison qu’au numéro précédent. Le système (3 ter) se réduit ainsi à $n+1$ équations. Le nombre des variables est $n+2,$ à savoir

$\beta _{1},\quad \beta _{2},\quad \ldots ,,\quad \beta _{n},\quad \tau ,\quad \mu .$

Cette courbe (3 ter) comprend la droite

(4)

$\beta _{1}=0.$

Soit $\beta _{i}=0,\,\mu =\mu _{0}$ un point de cette droite. Pour que, par ce point, passe une autre branche de courbe, il faut que le jacobien des premiers membres des équations (3 ter) soit nul, ou, ce qui revient au même, que le jacobien de $n-1$ des $\psi$ et de $\mathrm {F}$ par rapport à $\beta _{1},$ $\beta _{2},\,\ldots ,$ $\beta _{n}$ et $\tau$ soit nul, ou enfin, puisque rien ne distingue $\beta _{1}$ des autres $\beta ,$ que les jacobiens de $\mathrm {F}$ et de $n-1$ quelconques des $\psi$ par rapport à $\tau$ et à $n-1$ quelconques des $\beta$ soient tous nuls.

Cette condition est susceptible d’un autre énoncé.

Comme dans le numéro précédent, de l’équation $\mathrm {F} =\mathrm {C} _{0}$ nous tirerons

$x_{n}=\theta (x_{1},x_{2},\ldots x_{n-1}),$

et nous obtiendrons les équations

(1 bis)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}'\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1).$

Il faut alors, d’après le n^o 316, que des $n-1$ exposants caractéristiques [si la solution périodique est regardée comme appartenant aux équations (1 bis)], un soit nul et un autre multiple de ${\frac {2i\pi }{k\,\mathrm {T} }}\,;$ ou, ce qui revient au même, que des $n$ exposants caractéristiques [si la solution périodique est regardée comme appartenant aux équations (1)], deux soient nuls et un troisième multiple de ${\frac {2i\pi }{k\,\mathrm {T} }}\cdot$

Supposons cette condition remplie ; on tirera de (3 ter) les $\beta$ et $\tau$ en séries ordonnées suivant les puissances entières ou fractionnaires de $\lambda \,;$ je m’abstiendrai encore ici de la discussion.

Application aux équations de la Dynamique.

319. Je voudrais faire une discussion plus complète de ce qui concerne les équations de la Dynamique ; mais pour cela, j’ai besoin d’abord de démontrer une importante propriété de ces équations.

Soient $\xi _{i}$ et $\eta _{i}$ les valeurs de $x_{i}$ et $y_{i}$ pour $t=0\,;$ soient $\mathrm {X} _{i}$ et $\mathrm {Y} _{i}$ les valeurs de $x_{i}$ et $y_{i}$ pour $t=\mathrm {T} .$ Nous savons que

$\iint \sum \,dx_{i}\,dy_{i}$

est un invariant intégral ; on aura donc

$\iint \sum \left(d\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-d\xi _{i}\,d\eta _{i}\right)=0,$

l’intégrale double étant étendue à une aire quelconque $\mathrm {A} .$

Cela peut s’écrire

$\int \sum \left(\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}\,d\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}\,d\eta _{i}+\eta _{i}\,d\xi _{i}\right)=0,$

l’intégrale simple étant étendue au contour de l’aire $\mathrm {A} ,$ c’est-à-dire à un contour fermé quelconque.

En d’autres termes, l’expression

$\sum \left(\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}\,d\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}\,d\eta _{i}+\eta _{i}\,d\xi _{i}\right)$

est une différentielle exacte.

Il en résulte que

$d\mathrm {S} =\sum {\big [}(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i})\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}){\big ]}$

est aussi une différentielle exacte.

320. Si l’on fait varier $\mathrm {T} ,$ il est clair que $\mathrm {S}$ sera fonction de $\mathrm {T} .$ Calculons la dérivée de $\mathrm {S}$ par rapport à $\mathrm {T} ,$ à l’aide des équations

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{d\mathrm {T} }}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} _{i}}},&{\frac {d\mathrm {Y} _{i}}{d\mathrm {T} }}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Il vient

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=\int \sum &\left[{\frac {d\mathrm {X} }{d\mathrm {T} }}\,d(\mathrm {Y} +\eta )-{\frac {d\mathrm {Y} }{d\mathrm {T} }}\,d(\mathrm {X} +\xi )\right.\\&\qquad \qquad \;\left.+(\mathrm {X} +\xi )\,d{\frac {d\mathrm {Y} }{d\mathrm {T} }}-(\mathrm {Y} -\eta )\,d{\frac {d\mathrm {X} }{d\mathrm {T} }}\right],\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=\int \sum &\left[{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\,d(\mathrm {Y} +\eta )+{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}\,d(\mathrm {X} +\xi )\right.\\&\qquad \qquad \;\left.-(\mathrm {X} -\xi )\,d{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}-(\mathrm {Y} -\eta )\,d{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right],\end{aligned}}$

ou, en intégrant, par parties,

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=-\!\sum \!\left[(\mathrm {X} \!-\!\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} \!-\!\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\!\right]+2\!\int \!\sum \!\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}\,d\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\,d\mathrm {Y} \right)\!,$

ou enfin

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2\mathrm {F} -\sum \left[(\mathrm {X} -\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right]+{}$ fonction arbitraire de $\mathrm {T} .$

Nous prendrons la fonction arbitraire de $\mathrm {T}$ égale à une constante $-2\mathrm {C}$ et nous aurons

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2(\mathrm {F} -\mathrm {C} )-\sum \left[(\mathrm {X} -\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right]\cdot$

Pour $\mathrm {T} =0,$ on a $d\mathrm {S} =0$ et par conséquent

$\mathrm {C} =\mathrm {const.}$

Nous prendrons cette constante nulle de sorte que $\mathrm {S}$ s’annulera identiquement pour $\mathrm {T} =0\,;$ la fonction $\mathrm {S}$ est ainsi entièrement déterminée.

321.Cherchons les maxima et les minima de la fonction $\mathrm {S} .$ Considérons d’abord $\mathrm {T}$ comme une constante. Pour que la fonction $\mathrm {S}$ présente un maximum ou un minimum, il faut, à supposer que cette fonction $\mathrm {S}$ puisse être regardée comme fonction uniforme des variables $\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}$ et $\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i}$ dans le domaine considéré, il faut, dis-je, que ses dérivées par rapport à ces variables soient nulles, c’est-à-dire que l’on ait

$\mathrm {X} _{i}=\xi _{i},\qquad \mathrm {Y} _{i}=\eta _{i}.$

La solution correspondante est donc une solution périodique de période $\mathrm {T}$ et cette période $\mathrm {T}$ est ici une des données de la question.

Ne regardons plus $\mathrm {T}$ comme une donnée ; pour que $\mathrm {S}$ présente un maximum ou un minimum, il faudra que l’on ait d’abord

$\mathrm {X} _{i}=\xi _{i},\qquad \mathrm {Y} _{i}=\eta _{i},$

et, de plus,

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=0.$

Mais, si $\mathrm {X} =\xi ,\,\mathrm {Y} =\eta ,$ il reste

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2(\mathrm {F} -\mathrm {C} ),$

d’où

$\mathrm {F} =\mathrm {C} .$

La solution correspondante sera encore une solution périodique de période $\mathrm {T} .$

Mais la période $\mathrm {T}$ ne sera plus une donnée de la question : ce qui sera une donnée, c’est la constante des forces vives $\mathrm {C}$ qui n’intervenait pas dans le cas précédent.

Les deux manières de rechercher les maxima de $\mathrm {S}$ se rattachent aux deux manières d’entendre le principe de moindre action, celle de Hamilton, et celle de Maupertuis. On le comprendra mieux après avoir lu le Chapitre suivant.

322.On peut aussi modifier de la façon suivante la définition de la fonction $\mathrm {S} .$

Dans un grand nombre d’applications, $\mathrm {F}$ est une fonction périodique de période $2\pi$ par rapport aux $y_{i}.$ Dans ce cas, une solution peut encore être regardée comme périodique, quand $\mathrm {X} _{i}=\xi _{i}$ et que $\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}$ est multiple de $2\pi .$

Alors il est clair que si nous posons

$d\mathrm {S} =\sum \left[(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})\right],$

où $m_{1},\,m_{2},\,\ldots ,\,m_{n}$ sont des entiers quelconques, l’expression $d\mathrm {S}$ sera encore une différentielle exacte.

On trouvera d’ailleurs

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2\mathrm {F} -\sum \left[(\mathrm {X} -\xi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta -2m\pi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right]$${}+{}$fonct. arb. de $\mathrm {T} .$

Nous prendrons

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2(\mathrm {F} -\mathrm {C} )-\sum \left[(\mathrm {X} -\xi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta -2m\pi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right].$

Pour $\mathrm {T} =0,$ on a

$d\mathrm {S} =\sum 4m_{i}\pi \,d\xi _{i}.$

Nous prendrons

$\mathrm {S} =4\pi \sum m_{i}\xi _{i},$

ce qui achève de déterminer la fonction S.

Les maxima et minima de $\mathrm {S} ,$ en supposant $\mathrm {T}$ donné, s’obtiendront en égalant à zéro ses dérivées, ce qui donne

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}&=\xi _{i},&\mathrm {Y} _{i}&=\eta _{i}+2m_{i}\pi .\end{aligned}}$

La solution correspondante est encore une solution périodique puisque $\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}$ est un multiple de $2\pi .$ La période $\mathrm {T}$ est donnée.

Si $\mathrm {T}$ n’est pas donné, il faut d’abord que

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}&=\xi _{i},&\mathrm {Y} _{i}&=\eta _{i}+2m_{i}\pi \end{aligned}}$

et, de plus, que

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=0,$

d’où

$\mathrm {F} =\mathrm {C} .$

323.Il faut maintenant que nous apprenions à discerner les véritables maxima et les véritables minima de $\mathrm {S} \,;$ en effet, nous avons seulement jusqu’ici cherché la condition pour que les dérivées premières de $\mathrm {S}$ soient nulles ; mais on sait que cette condition n’est pas suffisante pour qu’il y ait un maximum ; il faut encore que les dérivées secondes satisfassent à certaines inégalités.

Supposons-nous d’abord placés dans les conditions du n^o 319 et regardons $\mathrm {T}$ comme donné.

Soit

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}^{\prime }(t),\end{aligned}}$

une solution périodique de période $\mathrm {T} ,$ de telle sorte que

${\begin{aligned}\varphi _{i}(0)&=\varphi _{i}(\mathrm {T} ),&\varphi _{i}'(0)&=\varphi _{i}'(\mathrm {T} ).\end{aligned}}$

À cette solution pourra correspondre un maximum ou un minimum de la fonction $\mathrm {S} .$

Soient

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}',\\x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}'',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}''\end{aligned}}$

deux solutions très peu différentes de cette solution périodique.

Je supposerai que $x_{i}',\,y_{i}',\,x_{i}'',\,y_{i}''$ soient assez petits pour qu’on puisse en négliger les carrés et qu’on puisse regarder ces quantités comme satisfaisant aux équations aux variations (Cf. Chapitre IV).

Soient $\xi _{i}'$ et $\eta _{i}'$ les valeurs de $x_{i}'$ et $y_{i}'$ pour $t=0\,;$ $\mathrm {X} _{i}'$ et $\mathrm {Y} _{i}'$ les valeurs de $x_{i}'$ et $y_{i}'$ pour $t=\mathrm {T} .$

Pour savoir si $\mathrm {S}$ a un maximum ou un minimum, il suffit d’étudier l’ensemble des termes du second degré dans le développement de $\mathrm {S}$ suivant les puissances des $\xi _{i}'$ et des $\eta _{i}'.$

Or il est aisé de reconnaître que cet ensemble de termes se réduit à

$\sum \left(\mathrm {X} _{i}'\eta _{i}'-\mathrm {Y} _{i}'\xi _{i}'\right).$

Étudions l’expression

(1)

$\sum \left(x_{i}''y_{i}'-y_{i}''x_{i}'\right).$

D’après le n^o 56, cette expression doit se réduire à une constante.

Quelle est la forme de la solution générale des équations aux variations.

S’il y a $n$ degrés de liberté, nous aurons $n-1$ solutions particulières de la forme

${\begin{aligned}x_{i}'&=e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}(t),&y_{i}'&=e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'(t).\end{aligned}}$

Les $\alpha _{k}$ sont les exposants caractéristiques et les $\theta$ sont des fonctions périodiques de période $\mathrm {T} .$

Nous aurons $n-1$ autres solutions de la forme

${\begin{aligned}x_{i}'&=e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}''(t),&y_{i}'&=e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'''(t)\end{aligned}}$

correspondant aux exposants $-\alpha k$ qui sont égaux et de signe contraire aux $n-1$ exposants $\alpha _{k}.$

Nous aurons la solution évidente

${\begin{aligned}x_{i}'&={\frac {d\varphi _{i}}{dt}},&y_{i}'&={\frac {d\varphi _{i}'}{dt}}\end{aligned}}$

et enfin la 2$n$^ième solution particulière sera

${\begin{aligned}x_{i}'&=t{\frac {d\varphi _{i}}{dt}}+\psi _{i},&y_{i}'&=t{\frac {d\varphi _{i}'}{dt}}+\psi _{i}'.\end{aligned}}$

Donc, la solution générale pourra s’écrire

${\begin{aligned}x_{i}'&=\sum \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}(t)+\sum \mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}''(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}}{dt}}+\mathrm {D} \left(t{\frac {d\varphi _{i}}{dt}}+\psi _{i}\right),\\y_{i}'&=\sum \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'(t)+\sum \mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'''(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}'}{dt}}+\mathrm {D} \left(t{\frac {d\varphi _{i}'}{dt}}+\psi _{i}'\right),\end{aligned}}$

les $\mathrm {A,\,B,\,C,\,D}$ étant des constantes d’intégration.

On aura de même,

$x_{i}''=\sum \mathrm {A} _{k}'e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}(t)+\sum \mathrm {B} _{k}'e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}''(t)+\mathrm {C} '{\frac {d\varphi _{i}}{dt}}+\mathrm {D} '\left(t{\frac {d\varphi _{i}}{dt}}+\psi _{i}\right)$

avec une formule analogue pour $y_{i}''.$

Les $\mathrm {A} ',\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {C} ',\,\mathrm {D} '$ sont de nouvelles constantes.

Substituons ces valeurs dans l’expression (1) ; cette expression deviendra une forme bilinéaire par rapport aux deux séries de constantes

${\begin{array}{rrrr}\mathrm {A} ,&\mathrm {B} ,&\mathrm {C} ,&\mathrm {D} ,\\\mathrm {A} ',&\mathrm {B} ',&\mathrm {C} ',&\mathrm {D} '.\end{array}}$

Cette forme devant s’annuler identiquement pour

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}&=\mathrm {A} _{k}'&\mathrm {B} _{k}&=\mathrm {B} _{k}'&\mathrm {C} &=\mathrm {C} '&\mathrm {D} &=\mathrm {D} '\end{aligned}}$

sera une forme linéaire par rapport aux déterminants contenus dans la matrice

$\left|\left|{\begin{array}{ccccccccc}\mathrm {A} _{1}&\mathrm {B} _{1}&\mathrm {A} _{2}&\mathrm {B} _{2}&\ldots &\mathrm {A} _{n-1}&\mathrm {B} _{n-1}&\mathrm {C} &\mathrm {D} \\\mathrm {A} _{1}'&\mathrm {B} _{1}'&\mathrm {A} _{2}'&\mathrm {B} _{2}'&\ldots &\mathrm {A} _{n-1}'&\mathrm {B} _{n-1}'&\mathrm {C} '&\mathrm {D} '\end{array}}\right|\right|.$

Les coefficients de cette forme linéaire devront être des constantes puisque l’expression (1) doit se réduire à une constante.

En général, aucun des exposants caractéristiques ne sera nul et deux de ces exposants ne seront pas égaux entre eux.

Il résulte de là que nous ne devons pas avoir de terme contenant l’un des déterminants

${\begin{array}{c}\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{j}'-\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{j}'-\mathrm {B} _{j}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {B} _{j}'-\mathrm {B} _{j}\mathrm {B} _{k}',\\\mathrm {A} _{k}\mathrm {C} '-\mathrm {CA} _{k}',\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {D} '-\mathrm {DA} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {C} '-\mathrm {CB} _{k}',\quad \mathrm {B} _{k}\mathrm {D} '-\mathrm {DB} _{k}',\end{array}}$

car le coefficient de ce terme devrait contenir en facteur l’une des exponentielles

$e^{(\alpha _{k}+\alpha _{j})t},\quad e^{(\alpha _{k}-\alpha _{j})t},\quad e^{-(\alpha _{k}+\alpha _{j})t},\quad e^{\pm \alpha _{k}t}$

et ne pourrait se réduire à une constante.

Les seuls déterminants qui puissent entrer dans notre forme sont donc

$\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}'-\mathrm {B} _{k}\mathrm {A} _{k}',\quad \mathrm {CD} '-\mathrm {DC} ',$

de sorte que je puis écrire

(2)

$\sum \left(x_{i}''y_{i}'-y_{i}'x_{i}''\right)=\sum \mathrm {M} _{k}\left(\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}'-\mathrm {B} _{k}\mathrm {A} _{k}'\right)+\mathrm {N} \left(\mathrm {CD} '-\mathrm {DC} '\right),$

les $\mathrm {M} _{k}$ et $\mathrm {N}$ étant des.constantes.

Je dis que $\mathrm {M} _{k}$ ne peut être nul ; sans quoi l’expression (1) ne dépendrait pas des constantes $\mathrm {A} _{k},$ $\mathrm {A} _{k}',$ $\mathrm {B} _{k},$ $\mathrm {B} _{k}'\,;$ si alors nous supposions que toutes les constantes $\mathrm {A} '$ et $\mathrm {B} ',$ $\mathrm {C} '$ et $\mathrm {D} '$ sont nulles à l’exception des deux constantes $\mathrm {A} _{k}'$ et $\mathrm {B} _{k}'$ auxquelles nous attribuerions des valeurs données, différentes de zéro, on aurait une relation

$\sum \left(x_{i}''y_{i}'-x_{i}'y_{i}''\right)=0$

qui serait linéaire par rapport aux inconnues $x_{i}'$ et $y_{i}'$ et où les coefficients $x_{i}''$ et $y_{i}''$ seraient des fonctions données du temps, différentes de zéro. Une pareille relation ne peut exister puisque les $2n$ variables $x_{i}'$ et $y_{i}'$ sont indépendantes. Donc $\mathrm {M} _{k}$ ne peut être nul.

Si nous changeons $t$ en $t+\mathrm {T} ,$ nous obtiendrons de nouvelles solutions des équations aux variations et ces solutions nouvelles s’obtiendront en changeant les constantes

$\mathrm {A} _{k},\quad \mathrm {B} _{k},\quad \mathrm {C} ,\quad \mathrm {D}$

en

$\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}\mathrm {T} },\quad \mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} },\quad \mathrm {C} +\mathrm {DT} ,\quad \mathrm {D} .$

Pour avoir

$\sum \left(\mathrm {X} _{i}'\eta _{i}'-\mathrm {Y} _{i}'\xi _{i}'\right),$

il suffira donc de faire dans l’expression (1),

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}'&=\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}\mathrm {T} },&\mathrm {B} _{k}'&=\mathrm {B} _{k}e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} },&\mathrm {C} '&=\mathrm {C} +\mathrm {DT} ,&\mathrm {D} '&=\mathrm {D} \end{aligned}}$

d’où

(3)

$\sum \left(\mathrm {X} _{i}'\eta _{i}'-\mathrm {Y} _{i}'\xi _{i}'\right)=\sum \mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}-\mathrm {NTD} ^{2}.$

324.Pour discuter l’équation (3), il faut distinguer plusieurs cas :

1^o Les exposants $\pm \alpha _{k}$ sont réels ; les fonctions

$\theta _{k.i},\quad \theta _{k.i}',\quad \theta _{k.i}'',\quad \theta _{k.i}'''$

sont alors aussi réelles.

2^o Les exposants $\pm \alpha _{k}$ sont purement imaginaires et le carré $\alpha _{k}^{2}$ est réel négatif.

Alors les fonctions $\theta _{k.i}$ et $\theta _{k.i}''$ $\theta _{k.i}'$ et $\theta _{k.i}'''$ sont imaginaires conjuguées.

3^o Les exposants $\pm \alpha _{k}$ sont complexes. Alors nous aurons, parmi les exposants caractéristiques, les exposants $\pm \alpha _{j}$ qui seront imaginaires conjugués des exposants $\pm \alpha _{k},$ et

$\theta _{j.i},\quad \theta _{j.i}',\quad \theta _{j.i}'',\quad \theta _{j.i}'''$

seront imaginaires conjugués de

$\theta _{k.i},\quad \theta _{k.i}',\quad \theta _{k.i}'',\quad \theta _{k.i}'''.$

Supposons maintenant les $x_{i}'$ et les $y_{i}'$ réels. Pour le calcul des constantes $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {D} ,$ nous aurons $2n$ équations que l’on obtiendra en faisant dans l’équation qui donne $x_{i}',$ par exemple,

$t=0,\quad t=\mathrm {T} ,\quad t=2\mathrm {T} ,\quad \ldots ,\quad t=(2n-1)\mathrm {T} .$

Ces $2n$ équations sont linéaires par rapport aux $2n$ inconnues $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {D} .$ Les seconds membres sont réels et les coefficients sont réels ou imaginaires conjugués deux à deux.

Quand on change ${\sqrt {-1}}$ en $-{\sqrt {-1}}$ :

1^o $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ ne changent pas quand $\alpha _{k}$ est réel ;

2^o $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ se permutent quand $\alpha _{k}$ est purement imaginaire ;

3^o $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ se changent en $\mathrm {A} _{j}$ et $\mathrm {B} _{j}$ quand $\alpha _{k}$ est complexe et imaginaire conjugué de $\alpha _{j}.$

Donc :

1^o $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ sont réels quand $\alpha _{k}$ est réel ;

2^o $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ sont imaginaires conjugués quand $\alpha _{k}$ est purement imaginaire ;

3^o $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {A} _{j},$ $\mathrm {B} _{k}$ et $\mathrm {B} _{j}$ sont imaginaires conjugués quand $\alpha _{k}$ est complexe et imaginaire conjugué de $\alpha _{j}.$

Enfin $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D}$ sont réels.

Ces conditions sont d’ailleurs suffisantes pour que $x_{i}'$ et $y_{i}'$ soient réelles.

Donnons aux constantes $\mathrm {A} _{k},\,\mathrm {B} _{k},\,\mathrm {C,\,D} ,$ de même qu’aux constantes $\mathrm {A} _{k}',$ $\mathrm {B} _{k}',$ $\mathrm {C} ',$ $\mathrm {D} '$ des valeurs satisfaisant à ces conditions. Alors le second membre de (2) devra être réel ; et pour qu’il en soit ainsi il faut :

1^o Que $M_{k}$ soit réel si $\alpha _{k}$ est réel ;

2^o Que $M_{k}$ soit purement imaginaire si $\alpha _{k}$ est purement imaginaire ;

3^o Que $\mathrm {M} _{k}$ et $\mathrm {M} _{j}$ soient imaginaires conjugués si $\alpha _{k}$ et $\alpha _{j}$ sont complexes et imaginaires conjugués.

La forme (3) contient un terme

$\mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k},$

et ne contient pas d’autre terme dépendant de $\mathrm {A} _{k}$ ou $\mathrm {B} _{k}.$

Si l’exposant $\alpha _{k}$ est réel, la présence d’un terme en $\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}$ suffit pour que la forme quadratique (3) ne puisse être définie.

Si donc un seul des exposants $\alpha _{k}$ est réel, la fonction $\mathrm {S}$ ne peut présenter ni maximum ni minimum.

Supposons maintenant que deux exposants $\alpha _{k}$ et $\alpha _{k}$ soient complexes et imaginaires conjugués.

Annulons toutes les constantes sauf

$\mathrm {A} _{k},\quad \mathrm {B} _{k},\quad \mathrm {A} _{j},\quad \mathrm {B} _{j},$

la forme (3) se réduit à

$\mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}+\mathrm {M} _{j}\left(e^{-\alpha _{j}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{j}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{j}\mathrm {B} _{j}.$

Ces deux termes sont imaginaires conjugués, de sorte que la forme (3) est réelle.

Supposons que $\mathrm {A} _{k}$ ne change pas et que $\mathrm {B} _{k}$ change de signe ; $\mathrm {A} _{j}$ qui est imaginaire conjugué de $\mathrm {A} _{k}$ ne changera pas non plus, et $\mathrm {B} _{j}$ qui est imaginaire conjugué de $\mathrm {B} _{k}$ se changera en $-\mathrm {B} _{j}.$

Donc, la forme (3) changera de signe ; elle ne peut donc être définie.

Si donc un seul des exposants $\alpha _{k}$ est complexe, la fonction $\mathrm {S}$ ne peut avoir ni maximum ni minimum.

Supposons maintenant que $\alpha _{k}$ soit purement imaginaire. Alors $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ sont imaginaires conjugués et le produit $\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}$ est la somme de deux carrés.

Pour que $\mathrm {S}$ ait un maximum, il faut et il suffit que toutes les quantités

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}},\quad -\mathrm {NT}$

soient négatives ; pour que $\mathrm {S}$ ait un minimum, il faut et il suffit que toutes ces quantités soient positives.

Il importe de remarquer que toutes ces quantités sont réelles ; car ${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}$ et ${\frac {\alpha _{k}}{\sqrt {-1}}}$ sont réels.

325.Comment ces résultats sont-ils modifiés si l’on suppose que la constante des forces vives est regardée comme une des données de la question. On a alors identiquement

$\sum \left({\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\,x'+{\frac {d\mathrm {F} }{dy}}\,y'\right)=0,$

où l’on suppose que dans ${\frac {d\mathrm {F} }{dx}}$ et ${\frac {d\mathrm {F} }{dy}},$ $x_{i}$ et $y_{i}$ ont été remplacés par les fonctions périodiques $\varphi _{i}(t)$ et $\varphi _{i}'(t).$

Et, en effet, la valeur constante de la fonction $\mathrm {F}$ doit être la même pour la solution périodique

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)\end{aligned}}$

et pour la solution infiniment voisine

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}'.\end{aligned}}$

Cette relation est une équation linéaire entre les constantes

$\mathrm {A} _{k},\quad \mathrm {B} _{k},\quad \mathrm {C} ,\quad \mathrm {D}$

et les coefficients doivent être indépendants de $t.$

Il résulte de là que $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ ne doivent pas figurer dans la relation, puisque ces constantes sont toujours multipliées par $e^{\pm \alpha _{k}t}$ et que cette exponentielle ne pourrait disparaître.

De plus, $\mathrm {C}$ n’y figure pas non plus puisque la solution

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}}{dt}},&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}'}{dt}},\end{aligned}}$

où $\mathrm {C}$ est une constante très petite, se déduit de la solution périodique en donnant au temps un très petit accroissement $\mathrm {C}$ et correspond, par conséquent, à la même valeur de la constante des forces vives que la solution périodique.

Notre relation, qui ne peut se réduire à une identité, se réduit donc à

$\mathrm {D} =0.$

Mais, si $\mathrm {D}$ est nul, le terme $-\mathrm {NTD} ^{2}$ disparaît dans la forme (3).

Pour que $\mathrm {S}$ admette un maximum ou un minimum, il suffit donc que les quantités

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}$

soient toutes de même signe.

S’il n’y a que deux degrés de liberté, 'il n’y a qu’une de ces quantités.

Donc, s’il n’y a que deux degrés de liberté et si $\alpha _{k}$ est purement imaginaire, la fonction $\mathrm {S}$ présente toujours soit un maximum, soit un minimum.

326.Supposons-nous maintenant placés dans les conditions du n^o 322, de sorte que

$d\mathrm {S} =\sum \left[(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})\right]$

et regardons $\mathrm {T}$ comme une constante. Pour que $\mathrm {S}$ ait un maximum ou un minimum, il faut d’abord que l’on ait une solution périodique

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)\end{aligned}}$

où

${\begin{aligned}\varphi _{i}(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}(t)\,;&\varphi _{i}'(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}'(t)+2m_{i}\pi .\end{aligned}}$

Nous envisagerons alors une solution voisine

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}'\,;&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}',\end{aligned}}$

et la discussion se poursuivra comme plus haut ; les résultats sont les mêmes.

Pour qu’il y ait un maximum ou un minimum, il faut d’abord que tous les exposants $\alpha _{k}$ soient purement imaginaires ; il faut ensuite que toutes les quantités

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}},\quad -\mathrm {NT}$

soient de même signe.

Si l’on considère la constante des forces vives comme une donnée de la question, $\mathrm {D}$ est nul, le terme $-\mathrm {NTD} ^{2}$ disparaît et il suffit que les quantités

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}$

soient toutes de même signe.

327.Qu’arrive-t-il maintenant si les équations admettent d’autres intégrales uniformes que celle des forces vives et si, par conséquent, quelques-uns des exposants caractéristiques sont nuls ?

On pourrait néanmoins faire une discussion analogue à celle qui précède.

Supposons, par exemple, que nos équations admettent, outre l’intégrale des forces vives, $p$ autres intégrales uniformes :

$\mathrm {F} _{1},\quad \mathrm {F} _{2},\quad \dots ,\quad \mathrm {F} _{p},$

et de telle façon que les crochets deux à deux $[\mathrm {F} _{i},\,\mathrm {F} _{k}]$ de ces intégrales soient nuls. Nous savons alors par le n^o 69 que $2p+2$ exposants caractéristiques sont nuls. Nous supposerons que tous les autres exposants sont différents de zéro.

Nous aurons alors $n-p-1$ couples de constantes analogues aux constantes $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ et $p+1$ couples de constantes $\mathrm {C} _{k}$ et $\mathrm {D} _{k}$ analogues aux constantes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D} .$

La forme (3) deviendrait alors

$\sum \mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}-\sum \mathrm {N} _{k}\mathrm {TD} _{k}^{2},$

où $\textstyle \sum \mathrm {N} _{k}\mathrm {TD} _{k}^{2}$ est une somme de termes analogues au terme $\mathrm {NTD} ^{2}.$

Si maintenant nous regardons les valeurs de nos $p+1$ intégrales comme des données de la question, les constantes $\mathrm {D} _{k}$ seront toutes nulles, les termes $\mathrm {N} _{k}\mathrm {TD} _{k}^{2}$ disparaîtront et la condition pour que $\mathrm {S}$ soit maximum ou minimum sera encore que toutes les quantités

$\mathrm {M} _{k}\left(e^{-\alpha _{k}\mathrm {T} }-e^{\alpha _{k}\mathrm {T} }\right)$

soient de même signe.

Je n’insiste pas d’ailleurs sur ce point, car, dans le cas du problème des trois corps, ou bien nous aurons affaire au problème restreint du n^o 9, ou bien nous pourrons diminuer le nombre des degrés de liberté en employant les procédés des n^os 15 et 16.

Or, dans le cas des problèmes réduits des n^os 9, 15 et 16, il n’y a plus qu’une seule intégrale uniforme, celle des forces vives, et il n’y a que deux exposants nuls, comme nous l’avons vu au n^o 78.

Solutions du deuxième genre des équations de la Dynamique.

328.Changeons $\mathrm {T}$ successivement en $2\mathrm {T} ,$ $3\mathrm {T} ,\ldots ,$ $m\mathrm {T} ,\ldots \,;$ la fonction $\mathrm {S}$ définie plus haut dépend de $\mathrm {T} ,$ soit

$\mathrm {S} _{m}=\mathrm {S} (m\mathrm {T} ).$

Cherchons les maxima et les minima de $\mathrm {S} _{m}$ en regardant $\mathrm {T}$ comme une constante.

Si nous envisageons une solution périodique de période $\mathrm {T} ,$ ce sera également une solution périodique de période $m\mathrm {T} .$ Donc, les dérivées premières de $\mathrm {S} _{m}$ sont nulles.

Pour qu’il y ait maximum ou minimum, il faut d’abord que tous les exposants $\alpha _{k}$ soient purement imaginaires.

Si ensuite toutes les quantités

(1)

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}$

sont négatives, il y aura maximum ; si elles sont toutes positives, il y aura minimum.

Voici le premier point sur lequel je voulais attirer l’attention.

Si nous donnons à l’entier $m$ toutes les valeurs entières possibles, les $n-1$ quantités (1) présenteront, en général, toutes les combinaisons de signes possibles.

Posons, en effet, pour abréger,

${\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}=\omega _{k},$

et soit

$z_{k}=m\omega _{k}+2m_{k}\pi .$

Donnons à $m$ et aux $m_{k}$ toutes les valeurs entières possibles ; si nous regardons $z_{1},$ $z_{2},\,\ldots ,$ $z_{n-1}$ comme les coordonnées d’un point dans l’espace à $n-1$ dimensions, nous obtiendrons ainsi une infinité de points. Je dis qu’il y aura une infinité de ces points dans toute portion de l’espace à $n-1$ dimensions si petite qu’elle soit.

Je n’aurais, pour le montrer, qu’à avoir recours aux raisonnements par lesquels on établit qu’une fonction uniforme de $n$ variables réelles ne peut avoir $n+1$ périodes distinctes.

Les quantités inscrites dans le tableau suivant :

${\begin{array}{cccc}\omega _{1},&\omega _{2},&\ldots ,&\omega _{n-1},\\2\pi ,&0,&\ldots ,&0,\\0,&2\pi ,&\ldots ,&0,\\......\!\!&\!\!\!.......\!\!&\!\!\!...\ldots \!\!&\!\!\!......,\\0,&0,&\ldots ,&2\pi ,\end{array}}$

joueraient dans ce raisonnement le rôle des périodes.

Il y aurait exception si ces périodes n’étaient pas distinctes, c’est-à-dire si l’une des quantités $\omega$ était commensurable avec $2\pi ,$ ou, plus généralement, s’il existe une combinaison linéaire des $z$ n’admettant qu’une seule période, c’est-à-dire s’il y a une relation de la forme

(2)

$b_{1}\omega _{1}+b_{2}\omega _{2}+\ldots +b_{n-1}\omega _{n-1}+2\pi b_{n}=0,$

les $b$ étant entiers.

Laissons d’abord de côté ce cas d’exception ; les quantités (1) seront égales à

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin z_{k}.$

Dire que l’on peut choisir l’entier $m$ de telle sorte que ces quantités réalisent une combinaison de signe donnée, c’est dire qu’il y a des nombres $\mathrm {Z} _{k}$ satisfaisant à des inégalités de la forme

(3)

$\;a_{1}\!<\!z_{1}\!<\!a_{1}\!+\!\pi ,\quad a_{2}\!<\!z_{2}\!<\!a_{2}\!+\!\pi ,\quad \ldots ,\quad a_{n-1}\!<\!z_{n-1}\!<\!a_{n-1}\!+\!\pi ,$

les $a_{k}$ étant égaux à 0 ou à $\pi .$

Or, c’est ce qui résulte immédiatement de ce que nous venons de dire plus haut.

Passons au cas où l’on a une relation de la forme (2). Nous pouvons toujours supposer les entiers $b$ premiers entre eux ; dans ce cas, l’expression

(4)

$b_{1}z_{1}+b_{2}z_{2}+\ldots +b_{n-1}z_{n-1}$

admet pour période unique $2\pi .$

Pour qu’il n’existe pas de nombres $z_{k}$ satisfaisant aux inégalités (3), il faut et il suffit que la différence entre la plus grande et la plus petite valeur que prenne l’expression (4), quand on donne aux $z_{k}$ toutes les valeurs compatibles avec les inégalités (3), que cette différence, dis-je, soit plus petite que $2\pi ,$ c’est-à-dire qu’une période de cette expression (4).

Or, cette différence est manifestement

$\pi \left(|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n-1}|\right)\,;$

on doit donc avoir

(5)

$|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n-1}|\leqq 2.$

L’inégalité ne peut avoir lieu que si tous les $b$ sont nuls, sauf un d’entre eux qui doit être égal à $\pm 1.$

Dans ce cas $\omega _{k}$ doit être égal à un multiple de $2\pi \,;$ cela reviendrait à dire que $\alpha _{k}$ devrait être nul, puisque $\alpha _{k}$ n’est déterminé qu'à un multiple près de ${\frac {2\pi {\sqrt {-1}}}{\mathrm {T} }}.$

Or, nous avons précisément exclu le cas où l’un des $\alpha _{k}$ est nul.

L’égalité ne peut avoir lieu que si tous les $b$ sont nuls, sauf deux d’entre eux qui doivent être égaux à $\pm 1.$

Alors la somme de la différence de deux des $\omega _{k}$ sera un multiple de $2\pi \,;$ et, si nous remarquons que les $\alpha _{k}$ ne sont déterminés qu’à un multiple près de ${\frac {2\pi {\sqrt {-1}}}{\mathrm {T} }},$ nous pouvons énoncer ce résultat d’une autre manière.

Deux des exposants caractéristiques seront égaux.

C’est le seul cas d’exception qui subsiste et que l’on peut facilement exclure.

329.Supposons maintenant que les équations de la Dynamique considérées dépendent d’un paramètre arbitraire $\mu ,$ ainsi que cela arrive, comme nous le savons, pour le problème des trois corps.

Quand nous ferons varier $\mu$ d’une manière continue, la solution périodique

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)\end{aligned}}$

variera aussi d’une manière continue, ainsi que l’on peut s’en rendre compte par la lecture du Chapitre III.

Les quantités $\mathrm {M} _{k}$ varieront aussi d’une manière continue, mais, ainsi qu’il a été expliqué au n^o 323, elles ne pourront jamais s’annuler ; elles conserveront donc toujours le même signe ; or, c’est leur signe seul qui nous intéresse.

La constante des forces vives sera regardée comme une des données de la question, mais cette donnée pourra dépendre de $\mu$ et nous la choisirons de telle façon que la période $\mathrm {T}$ de la solution périodique demeure constante.

Les exposants $\alpha _{k}$ varieront aussi d’une manière continue quand on fera varier $\mu$ d’une manière continue ; voyons un peu comment se fait cette variation dans le cas du problème des trois corps. Pour $\mu =0,$ tous les exposants sont nuls ; mais, dès que $\mu$ cesse d’être nul, les exposants cessent aussi de l’être ; un de ces exposants ne pourra s’annuler, ou devenir égal à un multiple de ${\frac {2\pi {\sqrt {-1}}}{\mathrm {T} }},$ ou devenir égal à un autre exposant caractéristique que pour certaines valeurs particulières de $\mu .$

330.Envisageons une solution périodique de période $\mathrm {T} ,$ telle que tous les exposants $\alpha _{k}$ soient purement imaginaires ; c’est ce que nous avons appelé plus haut une solution stable ; nous avons démontré aux Chapitres III et IV l’existence de ces solutions.

Considérons l’un des exposants, $\alpha _{1}$ par exemple ; quand $\mu$ variera d’une manière continue, ${\frac {\alpha _{1}}{\sqrt {-1}}},$ qui est réel, deviendra une infinité de fois commensurable avec ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}.$ Donnons à $\mu$ une valeur $\mu _{0}$ telle que

${\frac {\alpha _{1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {2k\pi }{p\mathrm {T} }},$

$k$ et $p$ étant des entiers premiers entre eux ; et qui, de plus, ne corresponde pas à un maximum ou à un minimum de ${\frac {\alpha _{1}}{\sqrt {-1}}}.$

On verra plus loin, au n^o 334, pourquoi je mets au numérateur $2k\pi$ et non pas $k\pi .$

Dans tout intervalle, si petit qu’il soit, il y a une infinité de pareilles valeurs.

Si $m$ est un entier quelconque, pour cette valeur $\mu _{0},$ l’expression

${\frac {\mathrm {M} _{1}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {p\,m\,\alpha _{1}\,\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}$

est nulle ; de plus, comme $\mu _{0}$ ne correspond pas à un maximum ou à un minimum de ${\frac {\alpha _{1}}{\sqrt {-1}}},$ cette expression changera de signe quand $\mu$ passera de $\mu _{0}-\varepsilon$ à $\mu _{0}+\varepsilon .$

Supposons, par exemple, qu’elle passe du négatif au positif.

En raisonnant comme au n^o 328 nous verrons que l’on peut choisir l’entier $m$ de telle façon que les expressions

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {p\,m\,\alpha _{k}\,\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}\quad (k=2,\,3,\,\ldots ,\,n-1)$

présentent toutes les combinaisons possibles de signes, et en particulier qu’elles soient toutes négatives.

Cela posé, pour $\mu =\mu _{0}-\varepsilon ,$ notre fonction $\mathrm {S} _{m.p}$ présentera un maximum, puisque toutes nos expressions seront négatives ; mais pour $\mu =\mu _{0}+\varepsilon ,$ notre solution périodique ne correspondra plus à un maximum de $\mathrm {S} _{m.p}$ puisque l’une de ces expressions sera devenue positive.

Théorèmes sur les maxima.

331.Pour aller plus loin, il est nécessaire de démontrer une propriété des maxima ; soit $\mathrm {V}$ une fonction de trois variables $x_{1},$ $x_{2}$ et $z,$ développable suivant les puissances croissantes de ces trois variables. Je suppose :

1^o Que, pour $x_{i}=x_{2}=0,$ $\mathrm {V}$ s’annule ainsi que ses dérivées ${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}},$ ${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}},$ et cela quel que soit $z\,;$

2^o Que pour $x_{1}=x_{2}=0,$ $\mathrm {V}$ présente un maximum pour $z>0$ et un minimum pour $z<0.$

Je dis que les équations

${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=0$

admettront d’autres solutions réelles que la solution

$x_{1}=x_{2}=0.$

En effet, développons $\mathrm {V}$ suivant les puissances de $z$ et soit

$\mathrm {V} =\mathrm {V} _{0}+z\,\mathrm {V} _{1}+z^{2}\mathrm {V} _{2}+\ldots .$

Les fonctions $\mathrm {V} _{0},\,\mathrm {V} _{1},\,\mathrm {V} _{2},\,\ldots$ sont elles-mêmes développables suivant les puissances de $x_{1}$ et de $x_{2}\,;$ mais ces développements ne contiendront, ni termes de degré 0, ni terme de degré 1, car on doit avoir quel que soit $z$

$\mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=0$

pour $x_{1}=x_{2}=0.$

De plus, $\mathrm {V} _{0}$ ne contient pas non plus de termes du second degré, sans quoi en passant de $z>0$ à $z<0,$ on ne saurait passer du cas du maximum au cas du minimum.

Au contraire, $\mathrm {V} _{1}$ contiendra des termes du premier degré, du moins nous le supposerons. Envisageons alors les équations

(1)

$\left\{{\begin{aligned}0&={\frac {d\mathrm {V} _{0}}{dx_{1}}}+z\,{\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx_{1}}}+z^{2}{\frac {d\mathrm {V} _{2}}{dx_{1}}}+\ldots \\0&={\frac {d\mathrm {V} _{0}}{dx_{2}}}+z\,{\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx_{2}}}+z^{2}{\frac {d\mathrm {V} _{2}}{dx_{2}}}+\ldots \end{aligned}}\right.$

qu’il s’agit de résoudre.

Soient $\mathrm {U} _{0}$ et $\mathrm {U} _{1}$ les termes de degré le moins élevé de $\mathrm {V} _{0}$ et de $\mathrm {V} _{1}\,;$ d’après ce que nous avons vu, $\mathrm {U} _{1}$ est de second degré et $\mathrm {U} _{0}$ de degré $p,$ $p$ étant plus grand que 2 ; posons

$(p\!-\!2)\mu =1\,;\quad \;x_{1}=y_{1}t,\quad \;x_{2}=y_{2}t,\quad \;\mathrm {V} =\mathrm {W} t^{p}\,;\quad \;z=\pm t^{p-1}.$

$\mathrm {W}$ peut se développer suivant les puissances de $t\,;$ soit

$\mathrm {W} =\mathrm {W} _{0}+t\,\mathrm {W} _{1}+t^{2}\mathrm {W} _{2}+\ldots .$

On a évidemment

$\mathrm {W} _{0}=\pm \mathrm {U} _{1}t^{-p}+\mathrm {U} _{0}t^{-p}=\pm \mathrm {U} _{1}'+\mathrm {U} _{0}',$

$\mathrm {U} _{1}'=\mathrm {U} _{1}t^{-p}$ et $\mathrm {U} _{0}'=\mathrm {U} _{0}t^{-p}$ sont deux polynômes homogènes en $y_{1}$ et $y_{2},$ l’un de degré 2, l’autre de degré $p.$ Je prends le signe $+$ ou $-,$ suivant que j’ai pris $z=\pm t^{p-2}.$ L’expression

${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{2}}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{1}}}$

se trouvera aussi développée suivant les puissances de $t$ quand on y aura remplacé $x_{1}$ et $x_{2}$ par $y_{1}t$ et $y_{2}t\,;$ elle contiendra en facteur une certaine puissance de $t\,;$ divisons par ce facteur et soit $\mathrm {H}$ le quotient. Ce quotient développé suivant les puissances de $t$ s’écrira

$\mathrm {H} =\mathrm {H} _{0}+t\,\mathrm {H} _{1}+t^{2}\mathrm {H} _{2}+\ldots \,;$

$\mathrm {H} _{0}$ sera la première des expressions

${\frac {d\mathrm {W} _{k}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {W} _{k}}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{1}}}$

qui ne s’annulera pas.

Les équations

${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=0$

peuvent être remplacées par les suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {H} &=0,&{\frac {d\mathrm {W} }{dy_{1}}}&=0,\end{aligned}}$

et je me propose de démontrer que l’on peut tirer de ces équations les $y$ en séries ordonnées suivant les puissances entières et fractionnaires de $t,$ s’annulant avec $t$ et à coefficients réels.

Pour cela, il suffit d’établir, d’après les n^os 32 et 33, que, pour $t=0,$ ces équations admettent une solution réelle d’ordre impair.

Or, pour $t=0,$ ces équations se réduisent à

${\begin{aligned}\mathrm {H} _{0}&=0,&{\frac {d\mathrm {W} _{0}}{dy_{1}}}&=0,\end{aligned}}$

ou bien

(2)

${\frac {d\mathrm {W} _{k}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {W} _{k}}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{1}}}=0$

et

(3)

$\pm {\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{1}}}+{\frac {d\mathrm {U} _{0}'}{dy_{1}}}=0.$

L’équation (2) exprime que, si l’on suppose $y_{1}$ et $y_{2}$ liés par la relation $\mathrm {U} _{1}'=\mathrm {const.} ,$ $\mathrm {W} _{k}$ admet un maximum ou un minimum.

Or, si l’on regarde un instant $y_{1}$ et $y_{2}$ comme les coordonnées d’un point dans un plan, la relation $\mathrm {U} _{1}'=\mathrm {const.}$ représentera une ellipse, car la forme quadratique $\mathrm {U} _{1}$ (et par conséquent la forme $\mathrm {U} _{1}'$) doit être définie pour que $\mathrm {V}$ puisse admettre un maximum ou un minimum. Or, l’ellipse étant une courbe fermée, la fonction $\mathrm {W} _{2}$ devra présenter au moins un maximum et un minimum quand le point $y_{1},\,y_{2}$ décrira cette courbe fermée.

Donc, quelle que soit la valeur constante attribuée à $\mathrm {U} _{1}'$ l’équation (2) admettra au moins deux racines, et deux racines d’ordre impair, car nous avons vu au n^o 34 qu’un maximum ou un minimum correspond toujours à une racine d’ordre impair. D’ailleurs ici, où nous n’avons plus qu’une variable indépendante, le théorème du n^o 34 est presque évident.

Cela posé, deux cas sont à distinguer :

Premier cas. — $\mathrm {U} _{0}'$ n’est pas une puissance de $\mathrm {U} _{1}'\,;$ dans ce cas on n’a pas identiquement

${\frac {d\mathrm {W} _{0}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {W} _{0}}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{0}}}=0.$

On aura donc $\mathrm {W} _{k}=\mathrm {W} _{0},$ et

$\mathrm {H} _{0}={\frac {d\mathrm {U} _{0}'}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {U} _{0}'}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{1}}}=0.$

L’équation $\mathrm {H} _{0}=0$ est alors homogène en $y_{1}$ et $y_{2}.$ Quelle que soit la valeur constante attribuée à $\mathrm {U} _{1}',$ elle nous donnera pour le rapport ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ la même valeur.

Nous tirerons donc d’abord ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ de l’équation (2) et, d’après ce qui précède, nous obtiendrons au moins deux solutions d’ordre impair.

Soit ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}}}$ l’une de ces solutions ; posons $y_{1}=\alpha _{1}u,$ $y_{2}=\alpha _{2}u$ et substituons dans l’équation (3), nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {U} _{0}'&=\mathrm {A} u^{p},&\mathrm {U} _{1}'&=\mathrm {B} u^{2}\end{aligned}}$

et l’équation (3) se réduit à

$\mathrm {A} u^{p-2}\pm \mathrm {B} =0.$

Si $p-2$ est impair, cette équation nous donnera une valeur réelle pour $u.$

Si $p-2$ est pair ; deux cas sont à distinguer.

Si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de même signe, nous prendrons le signe inférieur

$\mathrm {A} u^{p-2}-\mathrm {B} =0.$

Si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de signes contraires, nous prendrons le signe supérieur

$\mathrm {A} u^{p-2}+\mathrm {B} =0,$

et nous aurons toujours deux valeurs réelles pour $u.$

Dans tous les cas, ces solutions réelles sont simples.

Ainsi, les équations (2) et (3) admettront toujours des solutions d’ordre impair.

Deuxième cas. — On a

$\mathrm {U} _{0}'=\mathrm {A} \left(\mathrm {U} _{1}'\right)^{\frac {p}{2}}.$

Nous commencerons alors par résoudre l’équation (3) qui s’écrit

${\frac {p}{2}}\,\mathrm {A} \left(\mathrm {U} _{1}'\right)^{{\frac {p}{2}}-1}\pm 1=0.$

Cette équation nous donne la valeur de $\mathrm {U} _{1}'\,;$ cette valeur est réelle et simple ; mais cela ne suffit pas, car $\mathrm {U} _{1}'$ est une forme définie négative ; il faut pour que la solution convienne que la valeur trouvée pour $\mathrm {U} _{1}'$ soit négative ; nous choisirons en conséquence le signe $\pm$

La valeur de $\mathrm {U} _{1}'$ ainsi déterminée, on attribue à $\mathrm {U} _{1}'$ cette valeur constante et l’on n’a plus pour résoudre l’équation (3) qu’à chercher les maxima et minima de $\mathrm {W} _{k}.$ Comme nous l’avons vu, on trouvera au moins deux solutions d’ordre impair.

Nous avons donc établi que les équations (2) et (3) ont toujours des solutions réelles d’ordre impair. Le théorème énoncé au début de ce numéro est donc démontré.

332.Soit maintenant $\mathrm {V}$ une fonction de $n+1$ variables

$x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}$ et  $z.$

Je suppose :

1^o Que $\mathrm {V}$ est développable suivant les puissances de $x$ et de $z\,;$

2^o Que pour

$x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0,$

on a quel que soit $z$

$\mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}=0.$

3^o Envisageons l’ensemble des termes de $\mathrm {V}$ qui sont du second degré par rapport aux $x.$ Ils représentent une forme quadratique qui peut être égalée à la somme de $n$ carrés affectés de coefficients positifs ou négatifs.

Je suppose que, quand $z$ passe du positif au négatif, deux de ces $n$ coefficients passent du positif au négatif et que les $n-2$ autres coefficients ne s’annulent pas.

Je dis que, dans ces conditions, les équations

(1)

${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}=0$

admettent des solutions réelles différentes de

$x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0.$

En effet, développons $\mathrm {V}$ suivant les puissances de $z$ et soit

$\mathrm {V} =\mathrm {V} _{0}+\mathrm {V} _{1}\,z+\mathrm {V} _{2}\,z^{2}+\ldots .$

Soient $\mathrm {U} _{0}$ et $\mathrm {U} _{1}$ l’ensemble des termes du deuxième degré de $\mathrm {V} _{0}$ et $\mathrm {V} _{1}.$

L’ensemble $\mathrm {U} _{1}$ est une forme quadratique décomposable en une somme de $n-2$ carrés ; car nous savons que, pour $z=0,$ deux des coefficients dont il a été question plus haut s’annulent.

Si donc nous considérons le discriminant de $\mathrm {U} _{0},$ c’est-à-dire le déterminant fonctionnel de

${\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{n}}},\quad$

par rapport à

$x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n},$

ce déterminant s’annule ainsi que tous ses mineurs du premier ordre ; mais tous les mineurs du deuxième ordre ne s’annulent pas, sans quoi un troisième coefficient serait nul, ce que nous ne supposons pas.

Nous pouvons aussi supposer qu’on ait fait un changement linéaire de variables tel que $\mathrm {U} _{0}$ soit ramené à la forme

$\mathrm {U} _{0}=\mathrm {A} _{3}x_{3}^{2}+\mathrm {A} _{4}x_{4}^{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}x_{n}^{2}$

et, par conséquent, que le déterminant fonctionnel de

${\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{3}}},\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{4}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{n}}},\quad$

par rapport à

$x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n}$

ne soit pas nul.

Envisageons alors les équations

(2)

${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{3}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{4}}}=\ldots {\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}=0$

qui sont $n-2$ des équations (1). Je dis qu’on pourra en tirer

$x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n},$

en séries ordonnées suivant les puissances de

$z,\quad x_{1},\quad x_{2}.$

Pour cela, il suffit, en vertu du n^o 30, que le déterminant fonctionnel des équations (2) par rapport à

$x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n},$

ne s’annule pas quand on y fait

$z=x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=\ldots =x_{n}=0.$

Or, les équations (2), quand on fait $z=0$ et qu’on se restreint aux termes du premier degré par rapport aux $x,$ se réduisent à

${\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{3}}}={\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{4}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{n}}}=0$

et nous venons de voir que le déterminant fonctionnel correspondant n’est pas nul.

Dans $\mathrm {V} ,$ remplaçons $x_{3},\,x_{4},\,\ldots ,\,x_{n}$ par leurs valeurs tirées ainsi des équations (2) ; je dis que nous allons nous retrouver dans les conditions du numéro précédent :

1^o En effet, nous n’avons plus que trois variables indépendantes $z,$ $x_{1}$ et $x_{2}$ ;

2^o La fonction $\mathrm {V}$ est développable suivant les puissances de ces variables ;

3^o Les équations (1) peuvent être remplacées par

(3)

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{1}}}={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{2}}}=0,$

où les $\partial \,$ représentent des dérivées prises en regardant les $x_{3},$ $x_{4},\,\ldots ,$ $x_{n}$ comme des fonctions de $x_{1}$ et de $x_{2}$ définies par les équations (2).

Nous avons, en effet,

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{3}}}{\frac {dx_{3}}{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{4}}}{\frac {dx_{4}}{dx_{1}}}+\ldots +{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dx_{1}}},$

d’où, en vertu des équations (2),

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{1}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}},\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{2}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}\,;\end{aligned}}$

4^o Pour $z>0,$ $\mathrm {V} ,$ considéré comme fonction de $x_{1}$ et de $x_{2},$ présente un maximum quand ces deux variables sont nulles.

Pour le voir, il nous faut rechercher dans $\mathrm {V}$ les termes du deuxième degré par rapport à $x_{1}$ et à $x_{2}.$ Soient

$\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}+z^{2}\mathrm {W} _{2}+\ldots$

ces termes. Pour obtenir

$\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}$

qui seuls m’intéressent, je prends les deux termes

$\mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1},$

et je néglige les autres termes de $\mathrm {V}$ qui ne peuvent influer sur $\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}.$

Je tire des équations (2)

$x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n}$

en séries ordonnées suivant les puissances de $x_{1}$ et $x_{2}\,;$ je conserve seulement dans ces séries, les termes qui sont de degré 1 par rapport à $x_{1}$ et $x_{2}$ et de degré 0 ou 1 par rapport à $z\,;$ les autres termes peuvent être négligés car ils n’influent pas sur

$\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}.$

Les équations (2) se réduisent alors à

${\begin{aligned}2\mathrm {A} _{3}x_{3}+z\,{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{3}}}&=0,\\2\mathrm {A} _{4}x_{4}+z\,{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{4}}}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ..\\2\mathrm {A} _{n}x_{n}+z\,{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{n}}}&=0.\end{aligned}}$

Si, dans $\mathrm {U} _{0},$ nous substituons à la place de $x_{3},$ $x_{4},\,\ldots ,$ $x_{n},$ les valeurs ainsi obtenues, nous voyons que $\mathrm {U} _{0}$ devient divisible par $z^{2}\,;$ quant à $\mathrm {U} _{1}$ il se réduit à

$\mathrm {U} _{1}^{0}+z\,\mathrm {U} _{1}^{1}+z^{2}\mathrm {U} _{1}^{2},$

où $\mathrm {U} _{1}^{0}$ n’est autre chose que ce que devient $\mathrm {U} _{1}$ quand on y annule $x_{3},$ $x_{4},\,\ldots ,$ $x_{n}$ et où $\mathrm {U} _{1}^{1}$ et $\mathrm {U} _{1}^{2}$ sont deux autres formes quadratiques par rapport aux $x.$ On aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {U} _{0}&=z^{2}\mathrm {U} _{0}^{2}\,;&\mathrm {U} _{1}&=\mathrm {U} _{1}^{0}+z\,\mathrm {U} _{1}^{1}+z^{2}\mathrm {U} _{1}^{2}\end{aligned}}$

et

$\mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=z\,\mathrm {U} _{1}^{0}+z^{2}\left(\mathrm {U} _{0}^{2}+\mathrm {U} _{1}^{1}\right)+z^{3}\mathrm {U} _{1}^{2}.$

Pour le calcul de $\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1},$ je puis négliger les deux derniers termes qui sont divisibles par $z^{2}$ et $z^{3},$ et j’aurai simplement

$\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}=z\,\mathrm {U} _{1}^{0}.$

Je me propose de démontrer que $\mathrm {V}$ présente un maximum pour $x_{1}=x_{2}=0$ et pour $z$ positif et très petit ; or il suffit de le faire voir pour $\mathrm {W} _{0}+z\mathrm {W} _{1},$ c’est-à-dire pour $z\mathrm {U} _{1}^{0}.$

Il reste donc finalement à démontrer que $\mathrm {U} _{1}^{0}$ est une forme définie négative.

Pour nous en rendre compte, nous écrirons la forme quadratique $\mathrm {U} _{1}$ de la manière suivante

$\mathrm {U} _{1}=\mathrm {U} _{1}'+\mathrm {U} _{1}''\,;$

$\mathrm {U} _{1}'$ est une somme de deux carrés affectés de coefficients dont je ne préjuge pas le signe ; $\mathrm {U} _{1}''$ dépend seulement des $n-2$ variables

$x_{3},\quad x_{4},\quad \ldots ,\quad x_{n}.$

Cela est toujours possible d’après les propriétés générales des formes quadratiques.

Considérons la forme

$\mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=z\,\mathrm {U} _{1}'+\left(\mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}''\right),$

où $z$ est supposé positif et très petit. La forme $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}'',$ ne dépendant que des $n-2$ variables $x_{3},$ $x_{4},\,\ldots ,$ $x_{n},$ pourra être égalée à une somme de $n-2$ carrés affectés de coefficients dont les signes devront être les mêmes que ceux de $\mathrm {A} _{3},$ $\mathrm {A} _{4},\,\ldots ,$ $\mathrm {A} _{n},$ puisque, $z$ étant très petit, cette forme diffère très peu de $\mathrm {U} _{0}.$ Ils ne changent donc pas de signe quand $z$ passe du positif au négatif.

D’après nos hypothèses, quand $z$ passe du positif au négatif, $n-2$ de nos coefficients ne s’annulent pas et deux coefficients au contraire passent du négatif au positif.

Ces deux derniers ne peuvent être que les coefficients de $\mathrm {U} _{1}'.$

Donc $\mathrm {U} _{1}'$ est la somme de deux carrés affectés de coefficients négatifs.

Pour avoir $\mathrm {U} _{1}^{0};$ il faut dans $\mathrm {U} _{1}$ faire

$x_{3}=x_{4}=\ldots =x_{n}=0.$

Alors $\mathrm {U} _{1}''$ s’annule et $\mathrm {U} _{1}$ se réduit à $\mathrm {U} _{1}'.$

Donc $\mathrm {U} _{1}^{0}$ est une forme définie négative. C. Q. F. D.

Donc $\mathrm {V} ,$ considéré comme fonction de $x_{1}$ et $x_{2},$ est maximum pour $z$ positif et très petit et pour $x_{1}=x_{2}=0.$

On verrait de même, ou plutôt on voit en même temps, que $\mathrm {V}$ est minimum pour $z$ négatif et très petit et pour $x_{1}=x_{2}=0.$

Nous sommes donc bien, comme je l’avais annoncé, ramenés aux conditions du numéro précédent et le théorème énoncé au début de ce numéro peut être regardé comme établi.

Existence des solutions du deuxième genre.

333.Revenons aux hypothèses du n^o 330 ; nous avons défini la fonction $\mathrm {S} _{mp},$ qui dépend de $\mu ,$ des $2n$ variables

(α)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {X} _{1}+\xi _{1},\quad \ldots ,\quad \mathrm {X} _{n}+\xi _{n},\\&\mathrm {Y} _{1}+\eta _{1},\quad \mathrm {Y} _{2}+\eta _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {Y} _{n}+\eta _{n}.\end{aligned}}\right.$

Les $\xi _{i}$ et les $\eta _{i}$ sont les valeurs de $x_{i}$ et $y_{i}$ pour $t=0\,;$ les $\mathrm {X} _{i}$ et les $\mathrm {Y} _{i}$ sont les valeurs de $x_{i}$ et $y_{i}$ pour $t=mp\mathrm {T} .$

Nous voulons étudier les solutions des équations

(1)

${\frac {d\mathrm {S} _{mp}}{d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})}}={\frac {d\mathrm {S} _{mp}}{d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})}}=0\,;$

d’après les n^os 321 et 322, ces solutions correspondent aux solutions périodiques de période $mp\mathrm {T} .$ Nous en connaissons déjà une, puisqu’une solution périodique de période $\mathrm {T}$ est en même temps périodique de période $mp\mathrm {T} \,;$ je me propose de montrer qu’il y en a d’autres.

Mais, auparavant, je veux faire voir par quel artifice on peut regarder $\mathrm {S} _{mp}$ comme dépendant seulement de $\mu$ et des $2n-1$ variables

(β)

$\left\{{\begin{array}{ccccc}&\mathrm {X} _{1}+\xi _{1},&\mathrm {X} _{2}+\xi _{2},&\ldots ,&\mathrm {X} _{n-1}+\xi _{n-1},&\\&\mathrm {Y} _{1}+\eta _{1},&\mathrm {Y} _{2}+\eta _{2},&\ldots ,&\mathrm {Y} _{n-1}+\eta _{n-1}.&\mathrm {Y} _{n}+\eta _{n}.\end{array}}\right.$

Pour cela, nous supposerons

$\mathrm {X} _{n}+\xi _{n}=0.$

Envisageons maintenant les équations

(1 bis)

${\frac {\partial \mathrm {S} _{mp}}{\partial (\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})}}={\frac {\partial \mathrm {S} _{mp}}{\partial (\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})}}=0.$

Nous employons les $d$ pour représenter les dérivées de $\mathrm {S}$ regardée comme fonction des variables (α) et les $\partial \,$ pour représenter les dérivées de cette même fonction $\mathrm {S}$ regardée comme fonction des variables (β).

Je me propose de démontrer l’équivalence des équations (1) et (1 bis).

Le n^o 322 nous a donné

$d\mathrm {S} =\sum \left[(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})\right],$

Les équations (1) peuvent donc s’écrire

$-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )=\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),$

et les équations (1 bis)

${\begin{aligned}\qquad -(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )=\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}&=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1),\\\mathrm {X} _{n}-\xi _{n}&=0.\end{aligned}}$

Mais, en vertu de l’équation des forces vives, on a identiquement

$\mathrm {F} (\mathrm {X} _{i},\mathrm {Y} _{i})=\mathrm {F} (\xi _{i},\eta _{i}+2m_{i}\pi ).$

Or, d’après les équations (1 bis), tous les $\mathrm {X} _{i}$ sont égaux aux $\xi _{i}$ et tous les $\mathrm {Y} _{i}$ (sauf un), à $\eta _{i}+2m_{i}\pi .$ L’identité précédente peut donc s’écrire de la manière suivante ; j’écris, pour abréger,

$\mathrm {F} (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n};\,\eta _{1}\!+\!2m_{1}p,\eta _{2}\!+\!2m_{2}\pi ,\ldots ,\eta _{n-1}\!+\!2m_{n-1}\pi ,\mathrm {Y} _{n})=\mathrm {F} (\mathrm {Y} _{n}).$

Mon identité peut s’écrire sous la forme

$\mathrm {F} \left[\eta _{n}+2m_{n}\pi +(\mathrm {Y} _{n}-\eta _{n}-2m_{n}\pi )\right]-\mathrm {F} \left(\eta _{n}+2m_{n}\pi \right)=0,$

ou, en vertu du théorème des accroissements finis,

(2)

$(\mathrm {Y} _{n}-\eta _{n}-2m_{n}\pi )\,\mathrm {F} '\left[\eta _{n}+2m_{n}\pi +\theta (\mathrm {Y} _{n}\!-\!\eta _{n}\!-\!2m_{n}\pi )\right]=0,$

où $\theta$ est compris entre 0 et 1, et où $\mathrm {F} '$ est la dérivée de $\mathrm {F}$ par rapport à $\mathrm {Y} _{n}.$

Soient $\xi _{i}^{0}$ et $\eta _{i}^{0}$ les valeurs de $\xi _{i}$ et $\eta _{i}$ qui correspondent à la solution périodique de période $\mathrm {T} \,;$ le domaine envisagé ne comprend que le voisinage immédiat du point $\mu =\mu _{0},$ $\xi _{i}=\xi _{i}^{0},$ $\eta _{i}=\eta _{i}^{0}\,;$ donc $\xi _{i}$ et $\mathrm {X} _{i}$ ne s’écarteront jamais beaucoup de $\xi _{i}^{0},$ ni $\eta _{i}$ ou $\mathrm {Y} _{i}-2m_{i}\pi$ de $\eta _{i}^{0}\,;$ donc le second facteur $\mathrm {F} '$ de la relation (2) ne s’écarte jamais beaucoup de sa valeur pour $\xi _{i}=\xi _{i}^{0},$ $\eta _{i}=\eta _{i}^{0},$ et cette valeur ne sera pas nulle en général.

Donc, le premier facteur de la relation (2) doit s’annuler, et l’on a

$\mathrm {Y} _{n}-\eta _{n}-2m_{n}\pi =0.$

En d’autres termes, les équations (1 bis) entraînent les équations (1). Nous pouvons donc regarder $\mathrm {S} _{mp}$ comme fonction des variables (β) : et, quand elle sera maxima, comme fonction des variables (β), elle sera également maxima comme fonction des variables (α).

J’ai appelé $\xi _{i}^{0}$ et $\eta _{i}^{0}$ les valeurs de $\xi _{i}$ et de $\eta _{i}$ qui correspondent à la solution périodique de période $\mathrm {T} \,;$ les valeurs correspondantes de $\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}$ et $\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i}$ seront $2\xi _{i}^{0}$ et $2\eta _{i}^{0}+2m_{i}mp\pi$ (si la solution périodique de période $\mathrm {T}$ change $y_{i}$ en $y_{i}+2m_{i}\pi ,$ conformément aux hypothèses du n^o 322). Soit $\mathrm {S} _{0}$ la valeur correspondante de $\mathrm {S} _{mp}\,;$ posons

${\begin{aligned}\mu &=\mu _{0}+\mu '\,;&\mathrm {V} &=\mathrm {S} _{mp}-\mathrm {S} _{0}\,;&\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}&=2\xi _{i}^{0}+\xi _{i}',\end{aligned}}$

$\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i}=2\eta _{i}^{0}+2m_{i}mp\mathrm {T} +\eta _{i}'$

et considérons $\mathrm {V}$ comme fonction de $\mu ',$ des $\xi '$ et des $\eta '\,;$ la fonction $\mathrm {V}$ se trouvera dans les mêmes conditions que la fonction $\mathrm {V}$ du numéro précédent.

En effet, quel que soit $\mu ',$ $\mathrm {V}$ et ses dérivées premières par rapport aux $\xi '$ et aux $\eta '$ s’annulent quand

$\xi _{i}'=\eta _{i}'=0.$

Si l’on envisage l’ensemble des termes du second degré de $\mathrm {V}$ par rapport aux $\xi '$ et aux $\eta '$ et qu’on le considère comme une forme quadratique décomposée en une somme de carrés, on voit que deux de ces coefficients de ces carrés passent tous deux du négatif au positif, ou tous deux du positif au négatif quand $\mu$ change de signe, et que les autres coefficients ne s’annulent pas.

Et en effet l’expression

${\frac {\mathrm {M} _{1}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {pm\alpha _{1}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}$

change de signe et les autres expressions

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {pm\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}$

ne s’annulent pas. Le coefficient que j’ai appelé $\mathrm {D}$ au n^o 323 ne s’annule pas non plus et d’ailleurs il n’y en a pas d’autre puisque nous avons seulement $2n-1$ variables, les variables (β).

Nous sommes donc dans les conditions du numéro précédent et nous pouvons affirmer que les équations

${\frac {d\mathrm {V} }{d\xi _{i}'}}={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta _{i}'}}=0$

admettent d’autres solutions réelles que $\xi _{i}'=\eta _{i}'=0$ ou, ce qui revient au même, les équations

(1)

${\frac {d\mathrm {S} _{mp}}{d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})}}={\frac {d\mathrm {S} _{mp}}{d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})}}=0$

admettent d’autres solutions réelles que celles qui correspondent à la solution périodique de période $\mathrm {T} .$

Or, les maxima de la fonction $\mathrm {S} _{mp}$ ou, plus généralement, les solutions des équations (1) correspondent aux solutions périodiques de période $mp\mathrm {T} .$

Nous devons donc conclure que nos équations différentielles admettent des solutions périodiques de période $mp\mathrm {T} ,$ différentes de la solution de période $\mathrm {T} ,$ se confondant avec celle-ci pour $\mu =\mu _{0},$ et en différant très peu pour $\mu$ voisin de $\mu _{0}.$

Si l’on fait attention au raisonnement qui précède, on verra qu’il n’exige pas que la solution périodique de période $\mathrm {T}$ corresponde à un maximum de $\mathrm {S} _{mp}.$

Nous pourrons donc supposer $m=1.$

Il n’exige même pas que la solution de période $\mathrm {T}$ soit stable ; il suffit que l’un des exposants caractéristiques $\alpha _{1}$ soit égal pour $\mu =\mu _{0}$ à

${\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}.$

Nous arrivons donc au résultat suivant :

Si les équations de la Dynamique admettent une solution périodique de période $\mathrm {T}$ et telle que l’un des exposants caractéristiques soit voisin de

${\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}.$

elles admettront également des solutions périodiques de période $p\mathrm {T}$ peu différentes de la solution de période $\mathrm {T}$ et se confondant avec celles-ci quand l’exposant caractéristique devient égal à

${\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}.$

Ce sont les solutions du deuxième genre.

remarque.

334. Tous ces raisonnements supposent que $\mathrm {S} _{mp}$ est une fonction uniforme de $\mathrm {X} _{i}+\xi _{i},$ $\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i}.$ C’est à cette condition seulement que l’on peut affirmer que tous les maxima de $\mathrm {S} _{mp}$ correspondent à une solution périodique (voir n^o 321). Cette circonstance à laquelle il faut faire la plus grande attention, est un obstacle que l’on rencontrera souvent quand on voudra tirer les conséquences du théorème du n^o 321.

Vérifions si $\mathrm {S} _{mp}$ est bien fonction uniforme de ces variables. Nous pouvons supposer $m=1,$ d’après ce que nous venons de voir. D’autre part, $\mathrm {S} _{p}$ est évidemment fonction uniforme des $\xi _{i}$ et des $\eta _{i}\,;$ elle sera aussi fonction uniforme des $\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}$ et des $\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i},$ pourvu que le déterminant fonctionnel des $\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}$ et des $\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i}$ par rapport aux $\xi _{i}$ et aux $\eta _{i}$ ne s’annule pas dans le domaine envisagé ; ce domaine se réduisant aux environs immédiats des valeurs

$\mu =\mu _{0},\quad \xi _{i}=\xi _{i}^{0},\quad \eta _{i}=\eta _{i}^{0},$

il suffira que le déterminant fonctionnel ne soit pas nul en ce point. Or, ce déterminant fonctionnel s’écrit (en supposant $n=2$ pour fixer les idées)

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{1}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{1}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{2}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{2}}}+1\end{array}}\right|.$

Il faut, donc vérifier que l’équation en $\mathrm {S}$

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{2}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{2}}}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0$

n’a pas de racine égale à $-1.$

Or, les racines de cette équation sont, d’après le n^o 60, égales à

$e^{\alpha _{p}\mathrm {T} },$

les $\alpha$ étant les exposants caractéristiques ; il faut donc vérifier que l’on n’a pas

$\alpha ={\frac {(2k+1)\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }},$

$k$ étant entier ; or, l’exposant $\alpha _{1}$ est égal par hypothèse à

${\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }},$

$k$ étant entier, et les autres exposants ne sont pas en général commensurables avec ${\frac {\pi {\sqrt {-1}}}{\mathrm {T} }}.$

La difficulté qui nous occupe ne se présentera donc pas.

C’est pour l’éviter que j’ai supposé au n^o 330

$\alpha _{1}={\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}$ ($k$ entier)

et non pas

$\alpha _{1}={\frac {k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}$ ($k$ entier).

Cas particuliers.

335.Disons quelques mots des cas les plus simples ; supposons seulement deux degrés de liberté.

Supposons que la forme analogue à celle que j’ai appelée $\mathrm {U} _{0},$ dans l’analyse du n^o 331, soit homogène du troisième degré seulement en $x_{1}$ et $x_{2}.$

L’équation

(1)

${\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{2}}}-{\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{1}}}$

admet toujours, comme nous l’avons vu, des racines réelles.

Le théorème est ici d’ailleurs évident, puisque cette équation est du troisième degré en ${\frac {x_{1}}{x_{2}}}.$ Elle peut avoir une ou trois racines réelles ; supposons d’abord qu’elle n’en ait qu’une pour fixer les idées.

Si alors nous posons

${\begin{aligned}x_{1}&=\alpha _{1}\rho \cos \varphi +b_{1}\rho \sin \varphi \\x_{1}&=\alpha _{2}\rho \cos \varphi +b_{2}\rho \sin \varphi ,\end{aligned}}$

en choisissant les coefficients $a$ et $b$ de telle sorte que $\mathrm {U} _{1}$ se réduise à $-\rho ^{2},$ le rapport

${\frac {\mathrm {U} _{0}}{\mathrm {U} _{1}^{\frac {3}{2}}}}$  considéré au n^o 331

admettra seulement un- maximum et un minimum, quand $\varphi$ variera de $0$ à $2\pi \,;$ ce maximum et ce minimum d’ailleurs égaux et de signes contraires correspondront à des valeurs de $\varphi$ distantes de $\pi .$

On aura alors

$\mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=\rho ^{3}f(\varphi )-z\rho ^{2}.$

La fonction $f(\varphi )$ présente un maximum et un minimum égaux et de signes contraires ; la fonction $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ présente alors :

Pour $z>0,$ un maximum pour $\rho =0,$ et deux minimax.

Pour $z<0,$ un minimum pour $\rho =0,$ et deux maxima.

J’appelle minimax, à l’exemple des Anglais, un point pour lequel les dérivées premières s’annulent et où il n’y a ni maximum, ni minimum.

La fonction $\mathrm {V}$ se comportera de la même manière, puisque, si $z$ est très petit, les termes $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ auront seuls de l’influence.

Les équations différentielles admettront donc quel que soit $z\,:$

Une solution de période $\mathrm {T} ,$ du premier genre, stable ;

Une solution de période $p\,\mathrm {T} ,$ du deuxième genre, stable pour $z<0$ et instable pour $z>0.$

Supposons maintenant que l’équation (1) ait trois racines réelles.

La fonction $f(\varphi )$ aura trois maxima et trois minima deux à deux égaux et de signes contraires.

Dans ce cas $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ et, par conséquent, $\mathrm {V}$ présentent :

Pour $z>0,$ un maximum pour $\rho =0,$ et six minimax ;

Pour $z<0,$ un minimum pour $\rho =0,$ six maxima.

Les équations différentielles admettront donc, quel que soit $z\,:$

Une solution de période $\mathrm {T} ,$ du premier genre, stable ;

Trois solutions de période $p\,\mathrm {T} ,$ du deuxième genre. Nous verrons plus loin qu’à un certain point de vue toutes ces solutions ne sont pas distinctes.

Passons à un cas un peu plus compliqué et supposons que $\mathrm {U} _{0}$ soit du quatrième degré.

Dans ce cas, l’équation (1) est du quatrième degré, et comme elle a toujours au moins deux racines réelles d’après le n^o 331, elle en aura deux ou quatre. On n’a plus alors

$f(\varphi )=-f(\varphi +\pi )$

mais bien

$f(\varphi )=f(\varphi +\pi ).$

Supposons d’abord qu’il n’y ait que deux racines réelles.

Alors, la fonction $f(\varphi )$ présentera un maximum et un minimum quand $\varphi$ variera de 0 à $\pi ,$ et autant quand $\varphi$ variera de $\pi$ à $2\pi .$

Trois cas sont à distinguer suivant les signes de ce maximum et de ce minimum.

Premier cas. — Le maximum et le minimum sont positifs.

Les fonctions $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ et $\mathrm {V}$ présentent :

Pour $z>0,$ un maximum pour $\rho =0,$ deux minima et deux minimax.

Pour $z<0,$ un minimum pour $\rho =0.$

Les équations différentielles admettent, outre la solution du premier genre qui existe toujours, deux solutions du deuxième genre pour $z>0$ et n’en admettent aucune pour $z<0\,;$ de ces deux solutions, une est stable et une instable.

Deuxième cas. — Le maximum est positif et le minimum négatif.

Les fonctions $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ et $\mathrm {V}$ présentent :

Pour $z>0,$ un maximum pour $\rho =0,$ deux minimax ;

Pour $z<0,$ un minimum pour $\rho =0,$ deux minimax.

Les équations différentielles admettent toujours, outre la solution du premier genre qui est stable, une solution instable du deuxième genre.

Troisième cas. — Le maximum lui-même est négatif.

Les équations différentielles ont alors :

Pour $z>0,$ une solution du premier genre stable ;

Pour $z<0,$ une solution du premier genre stable et deux solutions du deuxième genre dont une stable et instable.

Il resterait à examiner le cas où l’équation (1) a quatre racines réelles.

Les équations admettent alors :

Pour $z>0,$ une solution du premier genre stable, $h$ solutions du deuxième genre instables, $k$ solutions du second genre stable ;

Pour $z<0,$ une solution du premier genre stable, $2-h$ solutions du second genre stables, $2-k$ solutions du deuxième genre instables.

Les nombres entiers $h$ et $k$ peuvent, suivant les signes des maxima et des minima de $f(\varphi ),$ prendre les valeurs suivantes

${\begin{array}{rrlr}h=k=2\,;&h=2,\;k=1\,;&h=2,\;k=0\,;&h=1,\;k=0\,;\\&h=k=0\,;&h=k=1.\end{array}}$