CHAPITRE XXVII.
THÉORIE DES CONSÉQUENTS.
305.Nous pouvons encore tirer de la théorie des invariants
intégraux d’autres conclusions qui nous seront utiles dans la suite,
en la présentant sous une forme un peu différente.
Commençons par examiner un exemple simple. Soit un point
dont les coordonnées dans l’espace soient
et
et dont le
mouvement soit défini par les équations
(1)
|
|
|
et
sont des fonctions données et uniformes de
supposons d’abord que
et
s’annulent tout le long de l’axe
des
de telle façon que
![{\displaystyle x=y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cbc92a21b5bfbd3081269e366d57fadac39c80)
soit une solution des équations (1).
Posons ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \omega ,&y&=\rho \sin \omega ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b64f7d26123a971d6dc4c56a1a9e963115129399)
les équations (1) deviendront
(2)
|
|
|
où
et
sont des fonctions de
et
périodiques de
période
par rapport à ![{\displaystyle \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2243e2ce8b3865a78e46f7e554deb7b3aaa09490)
Nous conviendrons de ne donner à
que des valeurs positives,
et nous pourrons le faire sans difficulté puisque
est
une solution.
Je suppose maintenant de plus que
ne puisse jamais s’annuler
et, par exemple, reste toujours positif ; alors
sera toujours
croissant avec
Imaginons qu’on ait intégré les équations (2) et qu’on en présente
la solution sous la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=f_{1}(\omega ,a,b),&z&=f_{2}(\omega ,a,b).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f478741484befe8300242e79416071c9d64a9b8)
Les lettres
et
représentent des constantes d’intégration.
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}&=f_{1}(\;0,\;a,b),&z_{0}&=f_{2}(\;0,\;a,b),\\\rho _{1}&=f_{1}(2\pi ,a,b),&z_{1}&=f_{2}(2\pi ,a,b).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c99a650588d7959ac0ba1bf0448f4015ca643c)
Soient
le point dont les coordonnées sont
![{\displaystyle x=\rho _{0},\quad y=0,\quad z=z_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746227581c3d276e93f72d6733e6b3bce737bbac)
et
celui dont les coordonnées sont
![{\displaystyle x=\rho _{1},\quad y=0,\quad z=z_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c539e2ee50c1e9eb717d4d5e4126bafc0547e0bb)
Ces deux points appartiennent tous deux au demi-plan des
situé du côté des
positifs.
Le point
sera dit le conséquent de
Ce qui justifie cette dénomination, c’est que, si l’on considère
le faisceau des courbes qui satisfont aux équations différentielles (1) ;
si, par le point
on fait passer une courbe et qu’on
la prolonge jusqu’à ce qu’elle rencontre de nouveau le demi-plan
cette nouvelle rencontre aura lieu en
Si l’on trace dans ce demi-plan une figure quelconque
les
conséquents des différents points de
formeront une figure
que l’on appellera la conséquente de
Il est clair que
et
sont des fonctions continues de
et
de
Donc, la conséquente d’une courbe continue sera une courbe
continue, celle d’une courbe fermée sera une courbe fermée, celle
d’une aire
fois connexe sera une aire
fois connexe.
Supposons maintenant que les trois fonctions
et
soient
liées par la relation
![{\displaystyle {\frac {d\,\mathrm {MX} }{dx}}+{\frac {d\,\mathrm {MY} }{dy}}+{\frac {d\,\mathrm {MZ} }{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c56cf409f0c3b0b30f034b33e1604cdf337f17)
où
est une fonction positive et uniforme de ![{\displaystyle x,\,y,\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79380584a7e07a6e498d1b5aac2483389009b3b)
Les équations (1) admettront alors l’invariant intégral
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,dx\,dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f76cfaa39d1c0b878652655727c6dda0182a6a1)
et les équations (2) admettront
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,\rho \,d\rho \,d\omega \,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc4603279ddfc422914c66f865de708e7a058b8)
Considérons maintenant les équations
(3)
|
|
|
où
est regardé comme la variable indépendante.
Elles admettront évidemment l’invariant intégral
(4)
|
|
|
(Cf. no 253).
Comme
et
ont été supposés plus haut essentiellement
positifs, c’est un invariant intégral positif.
Soient
une aire quelconque située dans le demi-plan
![{\displaystyle (y=0,\quad x>0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67fdf9df2e2f77e201a0bcbfe587e77978791d9)
et
sa conséquente.
Soient
l’intégrale
(5)
|
|
|
étendue à l’aire plane
et
la même intégrale étendue à l’aire
plane ![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19755ffce5cb08033e4489ba9ac587ea992e6533)
Soit alors
le volume engendré par l’aire
quand on la fait
tourner autour de l’axe des
d’un angle infiniment petit
l’intégrale (4) étendue à
sera évidemment
Soit de même
le volume engendré par l’aire
quand on la
fait tourner autour de l’axe des
d’un angle
l’intégrale (4)
étendue à
sera
L’invariant intégral (4) devant avoir même valeur pour
et
pour
on doit avoir
![{\displaystyle \mathrm {J} _{0}=\mathrm {J} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8e7d488d8d7b03f7d02d1c00e7174bb298e913)
Ainsi, l’intégrale (5) a même valeur pour une aire quelconque et sa conséquente.
C’est une nouvelle forme de la propriété fondamentale des invariants
intégraux.
306.Soit alors une courbe fermée
située dans le demi-plan
et enveloppant une aire
Soit
la conséquente
de
ce sera aussi une courbe fermée qui enveloppera
une aire
et cette aire
sera la conséquente de
Si l’intégrale (5), étendue à
et à
a pour valeur
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {J} _{0}=\mathrm {J} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8ad8556e3bc1a12872a15c41cadfb87e99ce59)
et il suit de là que
ne pourra être une partie de
et
une
partie de ![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f35d7133ed16ec752e55fb04946f919fe1d42d2)
Quatre hypothèses peuvent être faites sur la position relative
des deux courbes fermées
et
1o
est intérieur à
2o
est intérieur à
3o Les deux courbes sont extérieures l’une à l’autre ;
4o Les deux courbes se coupent.
L’équation
exclut les deux premières de ces hypothèses.
Si, pour une raison quelconque, la troisième se trouve également
exclue, on sera certain que les deux courbes se coupent.
Supposons, par exemple, que
dépendent d’un paramètre
arbitraire
et que, pour
soit sa propre conséquente ;
alors, pour les valeurs très petites de
différera très
peu de
il ne pourra donc pas arriver que les deux courbes
et
soient extérieures l’une à l’autre, et il faudra qu’elles se coupent.
Courbes invariantes.
307.J’appellerai courbe invariante toute courbe qui sera sa
propre conséquente.
Il est aisé de former des courbes invariantes ; soient, en effet,
un point quelconque du demi-plan,
son conséquent ; joignons
à
par un arc de courbe quelconque
soit
le conséquent
de
celui de
et ainsi de suite. L’ensemble des
arcs de courbe
constituera évidemment une
courbe invariante.
Mais nous serons amenés aussi à envisager des courbes invariantes
dont la génération sera plus naturelle.
Supposons que les équations (1) admettent une solution périodique. Soient
(6)
|
|
|
les équations de cette solution périodique, de telle façon que les
fonctions
soient périodiques en
de période ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Je suppose que, quand
augmente de
augmente de
Les équations (6) représentent une courbe ; soit
le point où
cette courbe coupe le demi-plan ; ce point
sera évidemment
son propre conséquent.
Supposons maintenant qu’il existe des solutions asymptotiques
très voisines de la solution périodique (6). Soient
(7)
|
|
|
les équations de ces solutions.
Les fonctions
seront développables suivant les puissances
de
les coefficients étant eux-mêmes des fonctions périodiques
de
Dans cette expression,
est un exposant caractéristique,
est une constante d’intégration.
Dans les équations (7), les trois coordonnées
se trouvent
donc exprimées en fonction de deux paramètres,
et
ces équations
représentent donc une surface que l’on peut appeler la
surface asymptotique. Cette surface asymptotique va passer par
la courbe (6) ; puisque les équations (7) se réduisent aux équations (6),
quand on y fait
La surface asymptotique va couper le demi-plan suivant une
certaine courbe qui passe par le point
et qui est manifestement
une courbe invariante.
308.Considérons une courbe invariante
Je suppose que
dépendent du paramètre
ainsi d’ailleurs que la courbe
Je suppose que pour
la courbe
soit fermée, mais
qu’elle cesse de l’être pour les petites valeurs de
Soit
un point de
La position de ce point dépendra de
pour
la courbe
est fermée, de sorte que, après avoir parcouru
cette courbe à partir de
on revient au point
; si
est très petit, il n’en sera plus de même, mais on reviendra passer
très près de
il y aura donc sur la courbe
un arc de courbe
différent de celui où se trouve
mais qui viendra passer très près de
Soit
le point de cet arc de courbe qui est le plus
voisin de
Je joins
Soient
et
les conséquents de
et
ces deux points
se trouveront sur
soit
la courbe conséquente de la petite
droite
Nous aurons à envisager la courbe fermée
qui se compose de
l’arc
de la courbe
compris entre
et
et de la petite
droite
Quelle sera sa conséquente ?
Supposons, pour fixer les idées, que les quatre points
se succèdent sur
dans l’ordre
La conséquente
de
se composera de l’arc
de la
courbe
et du petit arc
conséquent de la petite droite
On peut faire plusieurs hypothèses :
1o Le petit quadrilatère curviligne
est convexe,
je veux dire qu’aucun de ses côtés curvilignes ne présente de
point double et que les seuls points communs à deux côtés sont
les sommets. Dans cette hypothèse, la courbe se présenterait
comme l’indique l’une des deux figures suivantes
Fig. 1. |
Fig.2
|
|
|
Cette hypothèse doit être rejetée, car il est manifeste que l’intégrale
est plus grande dans le cas de la fig. 1 pour
que
pour
et plus petite dans le cas de la fig. 2.
2o L’arc
ou
a un point double. — S’il en était ainsi l’arc qui joint un point quelconque de la courbe à son premier conséquent ;
nous supposerons qu’il n’en est pas ainsi ; et, en effet,
cette circonstance ne se présentera dans aucune des applications
que j’ai en vue ; elle ne s’appliquera pas, en particulier, dans le cas
de la courbe invariante engendrée par une surface asymptotique
ainsi que je l’ai expliqué à la fin du numéro précédent. Il est aisé
de constater, en effet, que la surface asymptotique ne présente pas
de ligne double si l’on se borne à la portion de cette surface qui
correspond aux petites valeurs des quantités que j’ai appelées
plus haut
D’autre part, la droite
n’a pas de point double, et il doit
en être de même de sa conséquente
En résumé, nous supposerons
que les quatre côtés de notre quadrilatère n’ont pas de
point double.
3o L’arc
coupe l’arc
— (Ce cas contient comme
cas particulier celui où la courbe K serait fermée.) Nos courbes
présentent alors l’aspect de la fig. 3.
Fig. 3.
4o L’arc
coupe son conséquent
— Nos courbes
présenteraient alors l’aspect de la fig. 4.
Il y a des cas où l’hypothèse doit être rejetée. Supposons, par
exemple, que
dépendent d’un paramètre
que pour
la courbe
soit fermée et que chacun de ses points soit son propre
conséquent, de telle façon que pour
les quatre sommets du
quadrilatère se confondent.
Alors les quatre distances
seront des
infiniment petits si
est l’infiniment petit principal. Supposons que
soit un infiniment petit d’ordre
un infiniment
petit d’ordre
et que
soit plus grand que
Fig. 4.
Comme
est le conséquent de
la longueur de l’arc
devra être d’ordre
Soit alors
l’un des points d’intersection
de
Dans le triangle mixtiligne dont deux côtés sont
les droites
et
et le troisième côté l’arc de courbe
faisant partie de
le côté
est plus grand que la différence
des deux autres ; il devrait donc être d’ordre
et nous
avons vu qu’il doit être d’ordre
L’hypothèse doit donc être rejetée.
5o Deux côtés adjacents du quadrilatère se coupent, par
exemple
et
— Il faut alors que
qui est l’antécédent
de
coupe lui-même
si
est l’intersection de
avec
et
celle de
avec l’arc
sera le conséquent
de
et nous tomberons sur la figure suivante
Fig. 5.
Il est manifeste que
et
peuvent jouer le même rôle que
et
et que l’on retombe sur le premier cas.
Cette nouvelle hypothèse doit donc être rejetée.
En résumé les deux arcs
et
se couperont toutes les
fois que pour une raison ou pour une autre les hypothèses 2o et 4o
devront être rejetées.
Il resterait à examiner le cas où les points
se suivraient
sur
dans un ordre différent. Les ordres
ne diffèrent pas essentiellement de celui
que nous venons d’étudier.
Les ordres tels que
ne
se présenteront pas dans les applications qui vont suivre ; nous
supposerons toujours en effet que, si
est très petit, les distances
et
sont très petites par rapport à la longueur
des arcs
ou
Il reste l’ordre
ou les ordres équivalents ; nous n’en
parlerons pas non plus ; il est clair que, s’il se présente, il y aura
sur l’arc
un point qui sera son propre conséquent.
309.Supposons par exemple que les équations (1) admettent
une solution périodique
(6)
|
|
|
et des solutions asymptotiques
(7)
|
|
|
Supposons que les équations (1) dépendent d’un paramètre
très petit
et que
soient développables suivant les puissances
de ce paramètre.
Supposons que, pour
les solutions asymptotiques (7) se
réduisent à des solutions périodiques. Voici comment cela pourra
se faire. Nous avons dit que les
sont développables suivant les
puissances de
les coefficients étant eux-mêmes des fonctions
périodiques de
Mais l’exposant
dépend de
supposons qu’il
s’annule pour
alors pour
les fonctions
deviendront
des fonctions périodiques de
et les solutions (7) se réduiront
à des solutions périodiques.
La surface asymptotique va couper le demi-plan suivant une certaine courbe
qui passe par le point
intersection du
demi-plan avec la courbe gauche (6).
La courbe
est manifestement invariante, comme je l’ai dit
à la fin du no 307 ; pour
chacun des points de
est son
propre conséquent.
Je supposerai de plus que, pour
la courbe
est fermée.
Reportons-nous au Chapitre VII, tome I ; nous avons vu aux
nos 107 et suivants que, dans le cas de la Dynamique, les exposants
caractéristiques sont développables suivant les puissances
de
et sont d’ailleurs deux à deux égaux et de signe contraire.
Nous supposerons qu’il en est ainsi.
Nous avons alors en réalité deux surfaces asymptotiques correspondant
aux deux exposants égaux et de signe contraire
et
nous avons donc deux courbes
qui iront se couper au point
Nous distinguerons quatre branches de courbe
![{\displaystyle \mathrm {C} _{0}',\quad \mathrm {C} _{0}'',\quad \mathrm {C} _{1}',\quad \mathrm {C} _{1}''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4c38d5dfba5a5d9b43adf3c522a1d49dcbce10)
aboutissant toutes quatre au point
et
correspondront
à l’exposant
et
à l’exposant ![{\displaystyle -\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38722d8160b530278b8b42daf78ab08e9191ce77)
Fig. 6.
Ces diverses branches de la courbe sont représentées sur la
fig. 6. La branche
est la branche
la branche
est la branche
la branche
est la branche
et
la branche
est la branche
Ces quatre branches de courbe sont évidemment invariantes.
Maintenant, pour
se confond avec
avec
et (si nous supposons que, pour
la courbe
que nous appellerons
alors
est fermée) ces quatre branches de courbe iront
s’appliquer sur la courbe fermée
On peut déduire de là que, pour
très petit, ces branches de
courbe différeront peu les unes des autres ; que
s’écartera peu
de
de
et que
suffisamment prolongé ira passer très
près de
suffisamment prolongé.
J’ai marqué sur la figure divers points de ces branches de courbe
et leurs conséquents. Ainsi
sont respectivement
les conséquents de
Ce que nous remarquerons d’abord, c’est que les points
se succèdent bien (comme nous l’avons supposé au début
du no 308) dans l’ordre
quand on parcourt de
à
la courbe invariante formée des deux branches
et
Cette courbe invariante n’est pas fermée, mais elle diffère peu
de la courbe fermée
Examinons, en ce qui la concerne, les cinq hypothèses du
no 308. La première, comme nous l’avons vu, doit toujours être
rejetée. La seconde ne se présentera pas non plus.
Elle ne pourrait se présenter, en effet, que si la surface asymptotique (7)
avait une ligne double.
Nous avons dit que les
sont développables suivant les puissances
de
soit donc
![{\displaystyle \Phi _{i}=\Phi _{i}^{0}+\mathrm {A} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}+\mathrm {A} ^{2}e^{2\alpha t}\Phi _{i}^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59fa8176bacfe19c54c6554801d56367618e8223)
Si notre surface avait une ligne double, cette ligne double
devrait satisfaire aux équations (1) ; en effet, la surface asymptotique
est engendrée par une infinité de lignes satisfaisant à ces
équations de telle sorte que, si deux nappes de cette surface
venaient à se couper, l’intersection ne pourrait être autre chose
qu’une de ces lignes.
Comme
dépend à la fois du temps
et du paramètre
nous
mettrons ce fait en évidence en écrivant
![{\displaystyle \Phi _{i}=\Phi _{i}(t,\mathrm {A} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0d7d911d61ea4d1f5ed3e8974d57b6a55f94f0)
S’il y avait une ligne double, nous devrions avoir les trois
identités
![{\displaystyle \Phi _{i}(t,\mathrm {A} )=\Phi _{i}(t',\mathrm {B} )\qquad (i=1,\,2,\,3),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d65bdee20a2b6e4937ca275b6775bd6b8d8a6b)
où
et
sont deux constantes et où
est une fonction de
ces
trois identités devraient subsister quel que soit ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
En différentiant, on aura
![{\displaystyle {\frac {d\Phi _{i}}{dt}}={\frac {d\Phi _{i}}{dt'}}{\frac {dt'}{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edfdd9c2bb1562fbba2ecf24349eade464c6163d)
Mais, en vertu des équations (1), on aura
![{\displaystyle {\frac {d\Phi _{1}}{dt}}=\mathrm {X} \left[\Phi _{1}(t,\mathrm {A} ),\,\Phi _{2}(t,\mathrm {A} ),\,\Phi _{3}(t,\mathrm {A} )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5353a398442289ddc884d135c3eb2bf6c0d2c3f3)
et de même
![{\displaystyle {\frac {d\Phi _{1}}{dt'}}=\mathrm {X} \left[\Phi _{1}(t',\mathrm {B} ),\,\Phi _{2}(t',\mathrm {B} ),\,\Phi _{3}(t',\mathrm {B} )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab7d71826c1eda8ef4cb04ef0c6efa2db962b33d)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Phi _{i}}{dt}}&={\frac {d\Phi _{i}}{dt'}},&{\frac {dt'}{dt}}&=1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e26c1b798da610f2a2640c22a41b347cc1389b)
d’où
![{\displaystyle t'=t+h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf77e2da17d8c41743140b1cc1eae0e6c07d0a96)
étant une constante.
On tirerait de là
![{\displaystyle \Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {A} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t)+\mathrm {A} ^{2}e^{2\alpha t}\Phi _{i}^{2}(t)=\Phi _{i}^{0}(t+h)+\mathrm {C} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t+h)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf92252744628545aeeaa247a8c97c1321d9b01)
où
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {B} e^{\alpha h}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424629613380a1b9703a2c60414b5c39c6273b04)
L’identité devant être vraie pour
d’où
![{\displaystyle \mathrm {A} e^{\alpha t}=\mathrm {C} e^{\alpha t}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fddd624f45d4e7a1fee166c674d845e60dc032)
il vient
![{\displaystyle \Phi _{i}^{0}(t)=\Phi _{i}^{0}(t+h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950a4004f15ac028f127f4e38cd612cee17d6736)
d’où
d’où
![{\displaystyle \Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {A} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t)+\ldots =\Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {C} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cb71ccdd149124e75566111be69db727b9ad4f)
ou
![{\displaystyle \mathrm {A} \Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {A} ^{2}e^{\alpha t}\Phi _{i}^{2}(t)+\ldots =\mathrm {C} \Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {C} ^{2}e^{\alpha t}\Phi _{i}^{2}(t)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8ea50010d5ffe4425559f585c45405e6f4fa19)
ou, en faisant encore ![{\displaystyle t=-\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f7e85720a04d37217799a808572bb370c5d6e3)
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {C} =\mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bebad27479e7d912f9c9fb407afe030a2e4fe41)
Les deux valeurs
et
étant égales, il n’y a pas de Ligne double.
C. Q. F. D.
La troisième hypothèse est celle qu’il convient d’adopter.
Passons à la quatrième ; pour voir si elle doit être rejetée, il
faut chercher à se rendre compte de l’ordre de grandeur des distances
et
c’est ce que nous ferons dans les diverses
applications qui vont suivre.
Enfin, la cinquième hypothèse se ramène toujours à la première,
comme nous l’avons vu.
Extension des résultats précédents.
310.Nous avons fait plus haut sur les équations (1) des hypothèses
très particulières ; mais toutes ne sont pas également
nécessaires.
Considérons, en effet, un domaine
simplement connexe et
faisant partie du demi-plan
et supposons que l’on
sache d’une manière quelconque que, si le point
se
trouve à l’origine du temps en un point
de ce domaine,
va
en croissant constamment de 0 à
quand
croît de 0 à
de
telle façon que la courbe satisfaisant aux équations (1) et passant
par le point
en la supposant prolongée depuis ce point
jusqu’à sa nouvelle rencontre avec le demi-plan, n’est jamais
tangente à un plan passant par l’axe des
Alors on pourra définir, comme au no 305, le conséquent
du point
et il est clair que tout ce qui précède sera
encore applicable aux figures qui se trouvent à l’intérieur du
domaine
Il ne sera pas nécessaire que les courbes qui satisfont aux
équations (1) et qui viennent rencontrer le demi-plan en dehors
de
soient assujetties à ne jamais être tangentes à un plan
passant par l’axe des
Il ne sera pas nécessaire non plus que
soit une solution des équations (1).
Alors, si
est une courbe fermée intérieure à
et si
est sa
conséquente, les deux courbes seront extérieures l’une à l’autre
ou se couperont.
Les résultats du no 308 seront également applicables aux
courbes invariantes qui ne sortiront pas du domaine
et, si
même une courbe invariante sort du domaine
quand elle est suffisamment prolongée, les résultats seront encore applicables à
la portion de cette courbe qui est intérieure à ce domaine.
311.Considérons maintenant, au lieu d’un domaine plan
une aire courbe
simplement connexe. Par un point
de cette
aire courbe faisons passer une courbe
satisfaisant aux équations (1)
et prolongeons cette courbe jusqu’à ce qu’elle rencontre
de nouveau
le nouveau point d’intersection
pourra encore
s’appeler le conséquent de
Si nous considérons deux points,
et
très voisins l’un de
l’autre, leurs conséquents seront, en général, très voisins l’un de
l’autre ; il y aurait exception si le point
se trouvait sur le bord
de
ou si la courbe
touchait la surface au point
ou au
point
Sauf ces cas d’exception, les coordonnées de
sont
des fonctions analytiques des coordonnées de
Pour éviter ces cas d’exception, je considérerai un domaine
faisant partie de
et tel que la courbe
issue d’un point
intérieur à
vienne recouper
en un point
qui ne vienne
jamais sur le bord de
tel aussi que la courbe
ne touche
ni
en
ni en
Je supposerai enfin que ce domaine
est simplement
connexe.
Adoptons un système particulier de coordonnées que j’appellerai,
par exemple,
et
et pour lesquelles je supposerai seulement
ce qui suit :
1o Quand
et
seront plus petits que 1, les coordonnées
rectangulaires
et
seront des fonctions analytiques et
uniformes de
et
qui seront périodiques de période
par
rapport à
2o À un point
de l’espace ne pourra correspondre plus
d’un système de valeurs de
tel que
(λ)
|
|
|
3o Quand on fait
ou
et qu’on fait varier
et
de
à
le point
décrit la surface
ou une portion
de cette surface comprenant le domaine
4o Des conditions (1) et (2) il résulte que le déterminant fonctionnel
de
par rapport à
n’est jamais infini ni nul
quand les inégalités (λ) sont remplies.
5o On peut transformer les équations (1) en les mettant sous la
forme
(1 bis)
|
|
|
Je supposerai que
reste positif pour
![{\displaystyle |\xi |<1,\quad |\eta |<1,\quad \zeta =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4ce85f03092cd2feb1623125fbecf83d87ca34)
Les équations (1 bis) admettront l’invariant intégral
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {M} }{\Delta }}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a908dee9ba9c8206751716d5142dadb9a4e2b49f)
et les équations
(3 bis)
|
|
|
admettront l’invariant intégral
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {MZ} ^{\star }}{\Delta }}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859d6c2ee433cd8851daf9560a24be27625edc8d)
Soit
une figure quelconque faisant partie de
et
sa conséquente ;
supposons que les différents points de
et de
se
déplacent de telle façon que
et
restent constants et que
croisse de 0 à
étant très petit ; la figure
engendrera un
volume
et la figure
engendrera un volume
l’intégrale
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {MZ} ^{\star }}{\Delta }}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta =\varepsilon \int {\frac {\mathrm {MZ} ^{\star }}{\Delta }}\,d\xi \,d\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99f4302256ed96025f383cd05d898e4ebfa6ad8)
aura même valeur pour
et pour
donc l’intégrale double
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {MZ} ^{\star }}{\Delta }}\,d\xi \,d\eta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6a4a66526acb45c31972959167e2781508a1c6)
analogue à l’intégrale (5) du no 305, aura même valeur pour
et
Elle est d’ailleurs essentiellement positive.
Il résulte de là que les résultats du no 306 sont applicables aux
courbes fermées
situées à l’intérieur de
et que ceux du
no 308 sont applicables aux courbes invariantes
ou du moins à
la portion de ces courbes qui est à l’intérieur de
Même une courbe invariante sort du domaine
quand elle est
suffisamment prolongée, les résultats seront encore applicables à
la portion de cette courbe qui est intérieure à ce domaine.
Application aux équations de la Dynamique.
312.Soit
une fonction des quatre variables
formons les équations canoniques
(1)
|
|
|
Je supposerai, comme je le fais d’ordinaire :
1o Que
est une fonction périodique de
et
2o Que
dépend d’un paramètre
et est développable suivant
les puissances de ce paramètre sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {F} _{2}+\ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e0b9d944f2d7410c560f64ca3099d0130e2c6d9)
3o Que
est fonction seulement de
et de
Cela posé, nous aurons l’intégrale
(2)
|
|
|
étant une constante.
Cela posé, donnons à
une valeur déterminée une fois pour
toutes et soit
un point mobile dont les coordonnées rectangulaires
sont
![{\displaystyle [1+\varphi (x_{1})\cos y_{1}]\cos y_{2},\quad [1+\varphi (x_{1})\cos y_{1}]\sin y_{2},\quad \varphi (x_{1})\sin y_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e4fe3b87b104153c7363d145a146abc2fb593bb)
La fonction
est une fonction de
que je me réserve de
déterminer plus complètement dans la suite.
Supposons d’abord que
qui dépendra de
d’une manière
quelconque, soit développable suivant les puissances croissantes
de
et
Il en résultera que, pour
la fonction
ne dépendra plus de
et, d’autre part, que la fonction
ne changera pas quand on changera
en
et
en
Nous supposerons alors que
est une fonction impaire de
qui croît de 0 à 1 and
croît de 0 à
on pourra prendre
par exemple
![{\displaystyle \varphi (x_{1})={\frac {x_{1}}{\sqrt {1+x_{1}^{2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3022a8802e24120fb3f073c1c3f33523b0f47d6)
Si l’on adopte cette hypothèse, le point
sera toujours à l’intérieur
d’un tore de rayon 1, tangent à l’axe des ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
À chaque point
intérieur à ce tore, correspondront une infinité
de systèmes de valeurs de
et
mais ces systèmes ne
seront pas essentiellement distincts les uns des autres, puisqu’on
passe de l’un à l’autre en augmentant
ou
d’un multiple de
ou en changeant
en
et
en
Si l’on se donne
et
s’en déduira à l’aide de
l’équation(2). Supposons que les variables
et
varient conformément
aux équations (1), le point
correspondant décrira une certaine
courbe que j’appellerai trajectoire.
Par chaque point intérieur au tore passe une trajectoire et une
seule.
Il est aisé de voir quelle est la forme de ces trajectoires
pour
Pour
les équations différentielles se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&=0,&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd42d40c1fe7c90d77f0d486648ec269f57f3dd)
Les
sont donc des constantes, ce qui montre que nos trajectoires
sont situées sur des tores, et les
sont des fonctions
linéaires du temps ; car
![{\displaystyle -{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=n_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e0df08e73a261b52ef54b5de3e657d868b146e)
ne dépendant que des
est une constante.
Si le rapport
est commensurable, les trajectoires sont
des courbes fermées ; elles ne sont pas fermées, au contraire, si
ce rapport est incommensurable.
Soient
quatre entiers tels que
![{\displaystyle m_{1}p_{2}-m_{2}p_{1}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac25d1f13b5f4b403e4bf64ae544f4571d5a183)
posons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}y_{1}'&=&{}{}&m_{1}y_{1}&{}+{}&m_{2}y_{2},\\y_{2}'&=&{}{}&p_{1}y_{1}&{}+{}&p_{2}y_{2},\\x_{1}'&=&{}{}&p_{2}x_{1}&{}-{}&p_{1}x_{2},\\x_{2}'&=&{}-{}&m_{2}x_{1}&{}+{}&m_{1}x_{2}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9caeda6bc1237147a3402914fcb3ad620c7fdc)
L’identité
![{\displaystyle x_{1}'y_{1}'+x_{2}'y_{2}'=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aca913630e090eaf20a5d2ee88a11c9f8de72c1)
montre qu’en passant des variables
aux variables
on
n’altère pas la forme canonique des équations.
Nous supposerons que
ne s’annule pas quand
reste inférieur
à une certaine limite
Alors
conservera toujours le
même signe et l’on aura, par exemple,
![{\displaystyle {\frac {dy_{2}}{dt}}>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37850a9aea232d18f43fd856be1d9babb638028)
Cette inégalité, vraie pour
le sera encore pour les petites
valeurs de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Alors les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}&=0,&|x_{1}|&<a-\varepsilon \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9cf620361df7b3b0e84df3bfa1eb072b6f1bb4)
définiront un certain domaine plan
qui aura d’ailleurs la forme
d’un cercle.
Les trajectoires issues d’un point de ce domaine ne seront alors
jamais tangentes à un plan passant par l’axe des
du moins
avant d’avoir recoupé de nouveau le demi-plan
Notre
domaine pourra donc jouer le rôle du domaine
du no 310.
Les équations (1) admettent l’invariant intégral
![{\displaystyle \int dx_{1}\,dx_{2}\,dy_{1}\,dy_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f54271d4c81d487046f4f43509ee50b012c210d)
d’où l’on déduit le suivant à l’aide de l’intégrale ![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ba6cbfb2d8647df984ebb050c2e46a1bd6d95e)
![{\displaystyle \mathrm {J} =-\int {\frac {dx_{1}\,dy_{1}\,dy_{2}}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3764314ef7dc2f50f91db2f395b5166733a40213)
Mais
est égal à
et par conséquent négatif. L’invariant
est alors un invariant positif.
Les résultats des nos 306 et 308 sont donc applicables aux
courbes tracées dans le domaine
Cela posé, soit
une valeur de
plus petite que
et telle
que les valeurs correspondantes de
et de
satisfassent à la
relation
![{\displaystyle m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546b68cbd9e9f0642c03f382f869ce52a12cabb6)
où
et
sont deux entiers premiers entre eux.
La courbe
![{\displaystyle x_{1}=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f870c207369a9846cb8c318021566ecaa9d0858)
qui est une circonférence, sera une courbe invariante pour ![{\displaystyle \mu =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1fbd9b60e51f99639d432b9b86c1f1f486e1b2)
En supposant toujours
les trajectoires issues des divers
points de cette circonférence auront pour équation générale
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=n_{1}t+\mathrm {const.} ,&y_{2}&=n_{2}t+\mathrm {const.} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc265029cb0b37a57fce2622bb030be71524c62)
d’où
![{\displaystyle y_{1}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}y_{2}+\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939dea489e2a728667cf7d04663c16ee4e2dcec3)
Pour avoir les conséquents successifs d’un point donné, il suffira
de faire successivement
![{\displaystyle y_{2}=0,\quad y_{2}=2\pi ,\quad y_{2}=4\pi ,\quad \ldots ,\quad y_{2}=2k\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d1f34f16565a51289c054665d2c9b584fd94f1)
Pour passer d’un point à son conséquent il suffit donc d’augmenter
de
![{\displaystyle {\frac {2\pi n_{1}}{n_{2}}}=-{\frac {2\pi m_{2}}{m_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af899d92239382cbc9e11fe1fec436ac08f0c317)
d’où il suit que tous les points de la circonférence invariante
coïncideront avec leur
ième conséquent.
Ce point et ses
premiers conséquents sont distribués
sur cette circonférence dans un ordre circulaire qu’il est aisé de
retrouver quand on connaît les deux entiers
et
je l’appellerai
l’ordre
Ne supposons plus
les équations (1), d’après le Chapitre III, admettront encore des solutions périodiques peu différentes
des solutions
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=b,&y_{1}&=n_{1}t+\mathrm {const.} ,&y_{2}&=n_{2}t+\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b235a0d430b2c41129a52594ae5cf06ad5718a)
Elles en admettront au moins deux dont l’une instable et l’autre
stable. À chacune de ces solutions périodiques correspondra une
trajectoire fermée ; je considère une de ces trajectoires que j’appelle
et qui correspondra à une solution instable, afin que par
passent deux surfaces asymptotiques.
Soit
le point où cette trajectoire perce le demi-plan
ses conséquents successifs (fig. 7). Le point
coïncidera avec son
ième conséquent
Je joins le point
au centre de la circonférence
le
rayon ainsi mené coupera la circonférence en un point
très
voisin de
Les divers points
se succéderont sur la circonférence
dans l’ordre circulaire
J’ai fait la figure en supposant, pour fixer les idées,
La trajectoire fermée
coupe le demi-plan aux cinq
points
Par cette trajectoire passent deux
surfaces asymptotiques qui se coupent.
L’intersection de ces surfaces asymptotiques avec le demi-plan
se composera de diverses courbes ; nous aurons deux courbes se
coupant en
deux en
deux en
deux en
deux
en
Toutes ces courbes sont représentées sur la figure.
Fig. 7.
Considérons en particulier les deux courbes qui passent en
nous distinguerons quatre branches de courbe, à savoir
les deux premières sont représentées en
trait plein, les deux dernières en trait pointillé ; la première et la
troisième, comme la deuxième et la quatrième sont dans le prolongement
l’une de l’autre.
De même à chacun des points
aboutiront quatre branches
de courbe dont deux sont représentées en trait plein et deux en
trait pointillé et qui sont deux à deux dans le prolongement l’une
de l’autre.
Soit
un point de la branche
par
menons un
rayon allant au centre de la circonférence
et prolongeons
ce rayon jusqu’en
à sa rencontre avec la courbe en trait plein
Comme
est très petit et que toutes nos courbes
diffèrent très peu de la circonférence
le segment
sera très petit.
Nous voyons alors que
sont
les conséquents successifs de
que
sont ceux de
et enfin que
sont ceux de
Les arcs
ne sont plus rectilignes en
général, mais sont des arcs de courbe très petits.
La partie de la figure en trait plein reproduit alors les fig. 1
ou 2 du no 308 ; et l’ensemble de nos courbes en trait plein
représente une courbe invariante
J’ai fait la figure dans la première hypothèse qui, comme nous
l’avons vu, doit être rejetée ainsi que la cinquième ; d’après ce
que j’ai dit au no 309, il en est de même de la deuxième.
Il faut examiner la quatrième avec plus de détail. Pour cela,
cherchons l’équation de nos surfaces asymptotiques. D’après ce
que nous avons vu au no 207, cette équation peut s’obtenir de la
façon suivante :
On forme une fonction
qui est développable suivant les puissances
de
de telle sorte que
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,\mathrm {S} _{1}+\ldots +\mu ^{\frac {p}{2}}\mathrm {S} _{p}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74cfd968f2b592781de63f54a25ffe96799c5f6e)
Quant à
c’est une fonction périodique de période
par
rapport à
et
par rapport à
Nous aurons ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}'&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}'}},&x_{2}'&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}'}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29fe8e6c8fa8965f5ba248455dd8eb90da034ea)
(4)
|
|
|
L’équation (4) est l’équation de la surface asymptotique.
Si la série
était convergente, la périodicité des
entraînerait
cette conséquence que nos courbes devraient être fermées
et que les deux points
et
coïncideraient. Mais il n’en est
pas ainsi (cf. no 225, et sqq.).
Que signifie alors l’équation (4) ? Elle ne peut être vraie qu’au
point de vue formel ; c’est-à-dire que si
est la somme des
premiers termes de la série
de telle façon que
![{\displaystyle \Sigma _{p}=\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,\mathrm {S} _{1}+\ldots +\mu ^{\frac {p}{2}}\mathrm {S} _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f7195c3403b46fd74567cdb242b3179895616c)
l’équation
(4 bis)
|
|
|
sera vraie aux quantités près de l’ordre ![{\displaystyle \mu ^{\frac {p+1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267668acce9e0122c67b61ee45441b0b574d5d71)
Mais l’équation (4 bis) représente une surface fermée et
est
aussi grand que l’on veut.
Nous devons donc conclure que la distance
est un infiniment
petit d’ordre infini (cf. nos 225 et suivants). D’autre part,
la distance
(ou
) est de l’ordre de
et est par
conséquent infiniment petit d’ordre
La distance
est donc infiniment petite par rapport
à
ce qui montre que la quatrième hypothèse doit être
rejetée.
La seule hypothèse possible est donc la troisième.
Donc les deux arcs
et
se coupent.
Application au problème restreint.
313.Je vais appliquer les principes précédents au problème
du no 9 et j’adopterai les notations de ce numéro ; nous aurons
par conséquent les équations canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dy_{i}'}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{i}'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05df470312adb0a9d9646d2a3a393a6045caf01)
où l’on a posé
(5)
|
|
|
et, d’autre part,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '&=\mathrm {R} +\mathrm {G} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots ,\\\mathrm {F} _{0}&={\frac {1}{{2}x_{1}'^{2}}}+x_{2}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f47e6b7c952e3ba6a466ccac3024eb91058fc6)
Posons maintenant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {L} -\mathrm {G} ,&x_{2}&=\mathrm {L} +\mathrm {G} ,\\2y_{1}&=l-g+t,&2y_{2}&=l+g-t\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1168560f1e2a9f852080c3250f765ed39f5f401)
les équations conserveront la forme canonique et deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{i}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee130598d1f4843b1f7f1646c990d2183a6e81b)
on aura d’ailleurs
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}={\frac {2}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}+{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9de0285386ceeb05eb8a930ad19b8b827f48bd)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&={\frac {+4}{(x_{1}+x_{2})^{3}}}+{\frac {1}{2}},&n_{2}&={\frac {+4}{(x_{1}+x_{2})^{3}}}-{\frac {1}{2}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5f4057b95e16886e954ac675081a9d643c66e0)
Si nous supposons l’excentricité très petite,
et
différeront
très peu en valeur absolue ; donc L’une des deux quantités
et
est très petite.
J’observe de plus que les égalités
![{\displaystyle \mathrm {L} ={\sqrt {\overset {}{a}}},\qquad \mathrm {G} ={\sqrt {a(1-e^{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf0caa103db039dc510e0ca1e2dab8848409f1d)
montrent que
est toujours plus petit que
en valeur absolue.
Donc
et
sont essentiellement positifs.
Supposons
très petit, la fonction
sera une fonction de
et de
développable en outre suivant les puissances
de
et de
Ce sera donc aussi une fonction de
et de
développable en outre suivant les puissances de
et
![{\displaystyle {\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\sin y_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38cf707f926eb3e8e116e7c837e3a69e3b8cfc8)
Elle sera périodique de période
tant en
qu’en ![{\displaystyle y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a3c8c2e01474c1a353aef6bec0e5f0aae6d3a0)
Si, au contraire, c’est
qui est très petit, la fonction
sera
une fonction de
et de
développable en outre suivant les
puissances de
et
![{\displaystyle {\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}}}\sin y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9118b670a80e031719a262a75a0f585c71cb07)
Mais nous supposons nos quatre variables
et
liées par
l’équation des forces vives
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f6d422568704d93efc874a979998cd5e3e762d)
cette équation se réduit approximativement à
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f302efcee3437ddf84dbfae2f50d1990146ff39)
Construisons la courbe
en prenant
et
comme les
coordonnées d’un point dans un plan.
L’équation peut s’écrire
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{2}(2\mathrm {C} +x_{1}-x_{2})=4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b32435c2fcc1527760c2474096d7ef254dc1726)
Cette courbe a deux asymptotes
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=0,&x_{2}-x_{1}&=2\mathrm {C} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616c182114cc65c523266b5d785800f99da3f625)
et elle est symétrique par rapport à la première de ces deux
asymptotes.
Mais il importe de remarquer que la seule partie de la courbe
qui nous soit utile est celle qui est située dans le premier quadrant
![{\displaystyle x_{1}>0,\quad x_{2}>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493cdca2e08b6a261cb3800a146165f590be1ba5)
Suivant les valeurs de
la courbe peut présenter une des
formes représentées par les deux figures suivantes :
Fig. 8.
Les axes de coordonnées sont représentés en trait mixte, les
asymptotes et les parties utiles de la courbe en trait plein, les
parties inutiles de la courbe en trait pointillé.
Nous supposerons que l’on donne à
une valeur telle que la
courbe présente la forme de la fig. 9 et qu’elle comprenne deux
arcs utiles
et
Nous n’envisagerons d’ailleurs que l’arc
Remarquons que quand on parcourt cet arc
décroît constamment
de
à zéro,
croît constamment de zéro à
et
croît constamment de zéro à
Si nous construisons maintenant la courbe
en regardant
et
comme des constantes et
et
comme les coordonnées d’un point dans un plan, la courbe différera peu de
et pourra encore être représentée par la fig. 9 ; elle aura un arc
utile
et quand on parcourra cet arc le rapport
croîtra constamment
de zéro à
Fig. 9.
On est ainsi conduit au mode de représentation géométrique
suivant : on représentera la situation du système par le point
dont les coordonnées rectangulaires sont
![{\displaystyle {\begin{array}{c}{\dfrac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}}}\cos y_{2}}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}+4x_{1}}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\cos y_{1}}},\quad {\dfrac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}}}\sin y_{2}}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}+4x_{1}}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\cos y_{1}}},\\[0.75ex]{\dfrac {2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\sin y_{1}}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}+4x_{1}}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\cos y_{1}}}\cdot \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fc62a8fecf6f50b6275133eaf743856502df7d)
Ces trois fonctions sont développables suivant les puissances
de
et
si
est très petit, et suivant celles
de
et
si
est très petit. Elles ne dépendent
que du rapport ![{\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4771131e260383f3dadad855f31e7f07449594cb)
À chaque système de valeurs de
et de
et à chaque point
de l’arc utile
correspond ainsi un point de l’espace et un seul.
Le déterminant fonctionnel des trois coordonnées par rapport
à
et au rapport
conserve toujours le même signe.
Nous pouvons donc appliquer les résultats du numéro précédent
à l’intérieur de tout domaine
où
ne s’annule pas.
Or
s’annule pour
Mais si l’on a
on aura évidemment
![{\displaystyle {\frac {2}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}+{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}<{\frac {2}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}+{\frac {x_{2}+x_{1}}{2}}={\frac {3}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce7b4f51c3574ee8e97e9aea48b9270fcbc6644)
Or, le premier membre de cette égalité est
et en construisant
la courbe
nous avons supposé que nous nous trouvions
dans le cas de la fig. 9 ; or le cas de la fig. 9 suppose
![{\displaystyle \mathrm {C} >{\frac {3}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0901656d8fe462dc95b29cd83981784aaae4181)
Comme
diffère très peu de
et par conséquent de
nous ne
pourrons avoir à la fois
![{\displaystyle \mathrm {C} >{\frac {3}{2}},\quad \mathrm {F} _{0}<{\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c826052bafb40c765e405df342e9362cb80a4600)
(à moins que
ne soit très voisin de sa limite
, ce que nous ne
supposerons pas).
On n’aura donc pas, dans les conditions où nous nous sommes
placés,
Ainsi les résultats du numéro précédent sont applicables et si
l’on construit les surfaces asymptotiques et que l’on envisage
l’intersection de ces surfaces avec le demi-plan
les deux
arcs analogues à ceux que nous avons appelés plus haut
et
se couperont.
J’ajouterai encore un mot :
Les coordonnées du troisième corps par rapport au grand et
au petit axe de l’ellipse qu’il décrit sont, d’après une formule
bien connue,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {L} ^{2}&(\cos l&{}+{}&\ldots ),\\\mathrm {LG} &(\sin l&{}+{}&\ldots ),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d199b766e2e7f017ad41c43dfdda511f08cbb426)
On voit ainsi que, quand
change de signe, la seconde de ces
coordonnées change de signe.
Il en résulte que la planète troublée circule dans le même sens
que la planète troublante si
est positif et en sens contraire si
est négatif.