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chapitre XII. — la théorie des surfaces de gauss.

Le tableau des $g_{\mu \nu }$ est le suivant :

(14-12)

$\left\{{\begin{array}{cccc}-1&\;0&\;0&\;\omega x_{2}\\\;0&-1&\;0&-\omega x_{1}\\\;0&\;0&-1&0\\\omega x_{2}&-\omega x_{1}&0&1-\omega ^{2}\!\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)\end{array}}\right.$

Un point matériel libre décrit dans le système euclidien une droite d’un mouvement uniforme ; sa ligne d’Univers est $\delta \int ds=0.$ Son mouvement n’est évidemment pas changé par le fait qu’on prend de nouvelles coordonnées $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $x_{4}$ et l’on a toujours $\delta \int ds=0.$ Mais, dans le nouveau système de coordonnées, les $g_{\mu \nu }$ ne sont plus des constantes, ce sont des fonctions des $x_{\mu }\,;$ il en résulte que, dans le système des $x_{\mu },$ la géodésique devient courbe, le mouvement du point matériel n’apparaît plus comme rectiligne et uniforme. Nous attribuons alors la courbure de la géodésique à un champ de force, à un champ de gravitation (au sens généralisé) qui se manifeste dans le nouveau système ; ce champ est complètement déterminé par les $g_{\mu \nu }$ puisque le mouvement du point matériel libre, indépendant de la nature du point matériel, ne dépend que de ces grandeurs. Nous voyons que l’apparition d’un champ de gravitation est liée à la variation des $g_{\mu \nu }.$

Dans l’exemple que nous avons choisi, nous remarquons que

$g_{44}=1+{\frac {2\Omega }{c^{2}}}$

où

$\Omega =-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}c^{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)$

est le potentiel de la force centrifuge ($\omega c$ étant la vitesse de rotation). Par analogie, tous les $g_{\mu \nu }$ sont regardés comme les « composantes » du potentiel généralisé du champ de gravitation.

Nous avons déjà remarqué (n^o 59) que dans le cas général d’une transformation arbitraire, les $x_{\mu }$ ne sont plus ni des longueurs, ni un temps ; ce sont des « coordonnées d’Univers ». Ainsi, dans l’exemple très particulier que nous venons de donner, $x_{4}$ n’est pas « le temps » du système tournant : il n’y a pas de temps défini pour ce système tout entier, comme nous l’avons précédemment montré (n^o 57).

On voit que la méthode suivie est calquée sur celle de Gauss,

BECQUEREL.

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