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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.
indices
et
ce qui est légitime puisque ce sont des indices
muets ; de plus, dans le dernier terme, nous avons écrit
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x'_{\lambda }}}={\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial }{\partial x_{\gamma }}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e22a3471a0a325f5038b0b84bec15e56830a475)
Nous avons de même les formules.
(31-13)
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(32-13)
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Nous avons interchangé dans les derniers termes les indices muets
![{\displaystyle \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f423d4c0d1a3f651562797e2198c75a3f65e09fe)
Ajoutons (31) et (32) et retranchons (30), nous obtenons
(33-13)
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et, en multipliant les deux membres par ![{\displaystyle g'^{\lambda \rho }{\frac {\partial x_{\varepsilon }}{\partial x'_{\rho }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9bcc8437a43ef3ed34fc6762eff7b0f01ff3bc)
(34-13)
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[d’après (6-13)]
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[d’après (14-13), (16-13) et (27-13)].
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C’est la formule auxiliaire dont nous allons nous servir.
Soit maintenant
un quadrivecteur covariant : nous avons
![{\displaystyle \mathrm {A} '_{\mu }={\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }}}\mathrm {A} _{\sigma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65343d13aba6572c1907b26d65c8c9fbd2dd0c03)
et, par dérivation,
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {A} '_{\mu }}{\partial x'_{\nu }}}={\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\tau }}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\sigma }}{\partial x_{\tau }}}+{\frac {\partial ^{2}x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }\,\partial x'_{\nu }}}\mathrm {A} _{\sigma }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68859510f391fb72a790cc0dd3681292bf06bacc)