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deuxième partie. — la relativité généralisée.

ou, ce qui revient au même, d’après (49-13),

(57-13)

$\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }{\sqrt {-g}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{\sigma \rho }{\frac {\partial g^{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}\cdot$

3^o Tenseur contrevariant du second ordre. — La divergence est

(58-13)

$\mathrm {A} _{\nu }^{\mu \nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {A} ^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\varepsilon \nu }.$

Le dernier terme disparaît lorsque le tenseur est symétrique gauche.

En résumé, en introduisant les densités tensorielles, nous avons

(59-13)

${\mathcal {A}}_{\mu \nu }^{\nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}{\mathcal {A}}_{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}{\mathcal {A}}^{\sigma \rho }{\frac {\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}\quad$

(pour les tenseurs symétriques),

(60-13)

${\mathcal {A}}_{\nu }^{\mu \nu }={\frac {\partial {\mathcal {A}}^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}\quad$

(pour les tenseurs symétriques gauches).

73. Le tenseur de Riemann-Christoffel.

Nous nous proposons maintenant de chercher les tenseurs qu’on peut obtenir par différentiation à partir du tenseur fondamental des $g_{\mu \nu }$ seul. La solution paraît évidente : il semble qu’il suffise de former la dérivée covariante du tenseur $g_{\mu \nu },$ mais on constate, en remplaçant dans (38-13) $\mathrm {A} _{\lambda \mu }$ par $g_{\mu \nu }$ que le tenseur ainsi obtenu est identiquement nul.

On arrive cependant au but de la façon suivante :

Formons la dérivée seconde covariante d’un vecteur arbitraire $\mathrm {A} _{\mu }\,;$ d’après les formules (36-13) et (38-13) nous pouvons écrire

$\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }$	$={\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!\left({\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }\right)$	$-{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}\left({\frac {\partial \mathrm {A} _{\varepsilon }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\!\varepsilon \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }\right)$
		$-{\begin{Bmatrix}\!\nu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}\left({\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\varepsilon }}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }\right)$
	$={\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\sigma }\,\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\rho }}{\partial x_{\sigma }}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\varepsilon }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\!\nu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\varepsilon }}}$
	$\qquad +{\begin{Bmatrix}\!\nu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\mu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }+{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\varepsilon \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }-\mathrm {A} _{\rho }{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\cdot$

Formons le tenseur $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }-\mathrm {A} _{\mu \sigma \nu }\,;$ dans cette différence, les termes symétriques en $\sigma$ et $\nu$ disparaissent ; dans le second terme