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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Signalons dès maintenant que l’invariant contracté (n^o 66) $\mathrm {R} =g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }$ est l’extension de la courbure de Gauss (n^o 58), c’est, en chaque point-événement, la courbure totale. Pour éviter toute confusion, une remarque est nécessaire la condition de courbure totale nulle $\mathrm {R} =0$ n’exprime pas la « planéité » de l’Univers, elle n’exprime pas que l’Espace-Temps est euclidien ; les tenseurs $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ et $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ donnent une mesure bien plus précise des divergences entre l’Univers réel et l’Espace-Temps euclidien.

76. Théorème fondamental de la Mécanique^[1].

La divergence de $\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R}$ est identiquement nulle.

Ce théorème est d’une importance capitale. Dans l’espace tridimensionnel, l’annulation de la divergence d’un vecteur exprime la continuité du flux de ce vecteur ; dans la théorie de l’Univers quadridimensionnel, où nous ajoutons une coordonnée de temps, l’annulation d’une divergence est la condition de conservation ou de permanence. Le théorème exprime la permanence du tenseur d’Univers considéré et nous verrons plus loin que, joint à la loi de gravitation, il a pour conséquence la conservation de l’impulsion et de l’énergie.

La dérivée covariante contractée ou divergence du tenseur

$\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R}$

est

$\mathrm {R} _{\mu \nu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x_{\mu }}},$

car $g_{\mu }^{\nu }=1$ pour $\mu =\nu$ et $g_{\mu }^{\nu }=0$ pour $\mu \neq \nu .$

Nous allons vérifier que

(10-14)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }^{\nu }\equiv {\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x_{\mu }}}\cdot$

D’après (57-13) nous avons

$\mathrm {R} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }{\sqrt {-g}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {R} _{\sigma \rho }{\frac {\partial g^{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}},$

1. Eddington, Espace, Temps et Gravitation, partie théorique, n^o 38.