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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

boles de Christoffel s’annulent au point considéré, mais leurs dérivées ne s’annulent pas. Le premier terme seul subsiste dans $\mathrm {R} _{\mu \rho },$ etc. et l’expression (12-14) devient

	$-{\frac {1}{2}}g^{\sigma \rho }\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\sigma }\,\partial x_{\alpha }}}{\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\alpha \end{Bmatrix}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\rho }\,\partial x_{\alpha }}}{\begin{Bmatrix}\mu \sigma \\\alpha \end{Bmatrix}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\alpha }}}{\begin{Bmatrix}\sigma \rho \\\alpha \end{Bmatrix}}\right)$
$=$	$-{\frac {1}{4}}g^{\sigma \rho }g^{\beta \alpha }\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\sigma }\,\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial g_{\mu \beta }}{\partial x_{\rho }}}+{\frac {\partial g_{\rho \beta }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \rho }}{\partial x_{\beta }}}\right)\right.$
	$\qquad \qquad \;+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\rho }\,\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial g_{\mu \beta }}{\partial x_{\sigma }}}+{\frac {\partial g_{\sigma \beta }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \sigma }}{\partial x_{\beta }}}\right)$
	$\qquad \qquad \;-\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial g_{\sigma \beta }}{\partial x_{\rho }}}+{\frac {\partial g_{\rho \beta }}{\partial x_{\sigma }}}-{\frac {\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x_{\beta }}}\right)\right],$

car à cause de (b) $g^{\beta \alpha }$ se comporte comme une constante à l’égard de la double différentiation.

Huit des neuf termes du crochet se détruisent deux à deux soit directement, soit par changement d’indices muets ; il ne reste que le terme

	$-{\frac {1}{4}}g^{\sigma \rho }g^{\beta \alpha }{\frac {\partial ^{3}g_{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}$
$=$	$-{\frac {1}{4}}g^{\beta \alpha }{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}\left(g^{\sigma \rho }{\frac {\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}\right)\qquad$	d’après (b)
$=$	$-g^{\beta \alpha }{\frac {1}{4}}{\frac {\partial ^{3}(\operatorname {Log} g)}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }\,\partial x_{\mu }}}$	d’après (51-13)
$=$	$0$	puisque $g=-1$ en tout point,

ce qui démontre le théorème.

Les quatre identités (10-14)

(13-14)

$\;\mathrm {R} _{1\nu }^{\nu }\equiv {\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x_{1}}}\,;\;\;\mathrm {R} _{2\nu }^{\nu }\equiv {\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x_{2}}}\,;\;\;\mathrm {R} _{3\nu }^{\nu }\equiv {\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x_{3}}}\,;\;\;\mathrm {R} _{4\nu }^{\nu }\equiv {\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x_{4}}}$

sont précisément les identités qui étaient à prévoir à cause de l’indétermination des quatre coordonnées (n^o 75) et qui réduisent à six le nombre des équations indépendantes exprimant la loi de la gravitation.

Le même théorème s’applique au tenseur

$\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }={\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} '\qquad \left(\mathrm {R} _{\mu }^{'\nu }=\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-\lambda g_{\mu }^{\nu }\right)\,;$

la divergence de ce tenseur est identiquement nulle.