Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/219

199

chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

La loi $\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }=0$ s’écrit donc

(54-14)

${\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left({\sqrt {-g}}\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }\right)=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\mu }}}\mathrm {T} _{\alpha \beta }.$

Choisissons d’abord des coordonnées telles que ${\sqrt {-g}}=1.$

L’équation (54-14) se simplifie et devient

(55-14)

${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\nu }}}\mathrm {T} _{\alpha \beta }$

Reportons-nous maintenant à la définition de $t_{\beta }^{\alpha },$ c’est-à-dire à l’équation (31-14) :

${\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}\mathrm {R} _{\mu \nu }=-2\varkappa {\frac {\partial t_{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}},$

nous pouvons écrire

$-2\varkappa {\frac {\partial t_{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}={\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}\mathrm {R} _{\mu \nu }={\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}\left(\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {R} \right),$

car, lorsque $g=-1,$ $g_{\mu \nu }\,dg^{\mu \nu }=0.$

Appliquons, enfin, la loi de la gravitation en remplaçant $\mathrm {R} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {R}$ par $-\varkappa \mathrm {T} _{\mu \nu }$ (51-14), nous obtenons

${\frac {\partial t_{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}$	$={\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}\mathrm {T} _{\mu \nu }$
	$={\frac {\partial \mathrm {T} _{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}},$	d’après (55-14)

finalement,

(56-14)

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(\mathrm {T} _{\beta }^{\alpha }+t_{\beta }^{\alpha }\right)=0$

Cette équation étant soumise à la restriction ${\sqrt {-g}}=1.$

Par introduction de la densité tensorielle ${\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }={\sqrt {-g}}\mathrm {T} _{\beta }^{\alpha }$ et de la densité d’énergie de gravitation ${\mathfrak {t}}_{\beta }^{\alpha },$ on peut conserver la forme (56-14), en levant la restriction ${\sqrt {-g}}=1.$

Nous avons, en effet,

${\mathfrak {T}}_{\beta \alpha }^{\alpha }$	$={\frac {\partial {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}{\mathfrak {T}}_{\mu \nu }$
	$={\frac {\partial {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}\left[-{\frac {1}{\varkappa }}\left({\mathfrak {R}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }{\mathfrak {R}}\right)\right]=0,$

${\mathfrak {R}}_{\mu \nu }$ étant la densité tensorielle ${\sqrt {-g}}\mathrm {R} _{\mu \nu }.$