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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Nous obtenons donc

(56′-14)

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }+{\mathfrak {t}}_{\beta }^{\alpha }\right)=0$

en posant^[1]

$-2\varkappa {\frac {\partial {\mathfrak {t}}_{\beta }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}={\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial d_{\beta }}}\left({\mathfrak {R}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }{\mathfrak {R}}\right).$

Les quatre équations résumées dans (56′-14)

(57-14)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{1}^{1}\!+\!{\mathfrak {t}}_{1}^{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{1}^{2}\!+\!{\mathfrak {t}}_{1}^{2}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{1}^{3}\!+\!{\mathfrak {t}}_{1}^{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{4}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{1}^{4}\!+\!{\mathfrak {t}}_{1}^{4}\right)&=0,\\{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{2}^{1}\!+\!{\mathfrak {t}}_{2}^{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{2}^{2}\!+\!{\mathfrak {t}}_{2}^{2}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{2}^{3}\!+\!{\mathfrak {t}}_{2}^{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{4}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{2}^{4}\!+\!{\mathfrak {t}}_{2}^{4}\right)&=0,\\{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{3}^{1}\!+\!{\mathfrak {t}}_{3}^{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{3}^{2}\!+\!{\mathfrak {t}}_{3}^{2}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{3}^{3}\!+\!{\mathfrak {t}}_{3}^{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{4}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{3}^{4}\!+\!{\mathfrak {t}}_{3}^{4}\right)&=0,\\{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{4}^{1}\!+\!{\mathfrak {t}}_{4}^{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{4}^{2}\!+\!{\mathfrak {t}}_{4}^{2}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{4}^{3}\!+\!{\mathfrak {t}}_{4}^{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{4}}}\!\left({\mathfrak {T}}_{4}^{4}\!+\!{\mathfrak {t}}_{4}^{4}\right)&=0\end{aligned}}\right.$

(où ${\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }$ et ${\mathfrak {t}}_{\beta }^{\alpha }$ doivent être remplacés par $\mathrm {T} _{\beta }^{\alpha }$ et $t_{\beta }^{\alpha }$ lorsque ${\sqrt {-g}}=1$) expriment la loi générale de conservation de l’impulsion-énergie $\left({\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }+{\mathfrak {t}}_{\beta }^{\alpha }\right)$ quand il y a action réciproque de la matière et du champ de gravitation. La démonstration a été faite au n^o 80 ; il n’y a qu’à remplacer dans cette démonstration $t_{\beta }^{\alpha }$ par ${\mathfrak {t}}_{\beta }^{\alpha }+{\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }.$

Si nous supposons un système clos où le champ de gravitation soit négligeable, nous pouvons prendre des coordonnées galiléennes et les quatre équations qui précèdent (où les $t_{\beta }^{\alpha }$ sont nuls), qui ne sont autres que les équations bien connues de l’hydrodynamique (voir numéro suivant), expriment la conservation de l’impulsion d’Univers au sens de la relativité restreinte (n^o 47).

Si le champ de gravitation n’est pas négligeable, la loi $\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }=0$ exprime la conservation de l’ensemble du tenseur matériel et de l’énergie de gravitation, c’est-à-dire que toute variation du tenseur impulsion-énergie de la matière peut être considérée comme

1. L’expression de ${\mathfrak {t}}_{\beta }^{\alpha }$ est
   ${\mathfrak {t}}_{\beta }^{\alpha }=-{\frac {1}{2\varkappa }}\left(g_{\beta }^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}-g_{\beta }^{\alpha }{\mathfrak {L}}\right)$

   avec

   ${\mathfrak {L}}={\sqrt {-g}}\,g^{mn}\left({\begin{Bmatrix}m\beta \\\alpha \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}n\alpha \\\beta \end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}mn\\\beta \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\alpha \end{Bmatrix}}\right)\qquad$ (voir note du n^o 79).