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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

empruntée ou cédée au champ de gravitation. Il n’y a plus conservation de l’impulsion-énergie matérielle, mais pour maintenir la loi de conservation, nous attribuons au champ de gravitation une énergie ${\mathfrak {t}}_{\mu }^{\nu }$ équivalente à toute autre forme d’énergie.

En posant $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0$ dans le vide, mettant cette équation sous la forme (37-14), puis ajoutant à $t_{\mu }^{\sigma }$ le tenseur matériel $\mathrm {T} _{\mu }^{\sigma }$ (47-14), nous avons suivi la voie indiquée par Einstein dans sa découverte de la loi de la gravitation^[1].

On peut présenter autrement la question. La conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l’énergie sont des lois expérimentales, vérifiées dans tous les phénomènes connus.

L’expression la plus générale de ces lois est facile à trouver : si le champ de gravitation est négligeable nous pouvons exprimer ces lois de conservation par

(58-14)

${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=0,$

car cette équation symbolise les équations de l’hydrodynamique en coordonnées galiléennes.

Nous remarquons que cette équation est la forme dégénérée (en coordonnées galiléennes) de l’équation tensorielle $\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }=0.$ La formule $\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }=0$ doit donc exprimer la loi générale de conservation, que nous avons toutes raisons de considérer comme rigoureuse.

Ceci posé, la loi de gravitation que nous cherchons est (comme la formule de Poisson) une relation entre la matière et la structure d’Univers : elle doit s’exprimer par une égalité entre le tenseur matériel et un certain tenseur de courbure. Le choix de ce tenseur géométrique est très restreint, car pour pouvoir être égalé au tenseur matériel il doit être conservatif comme lui. Le plus simple des tenseurs conservatifs est $\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R}$ (théorème fondamental n^o 76) ; nous sommes donc conduits à essayer la loi :

$\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} =-\varkappa \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }\qquad$ ($\varkappa$ constante universelle),

1. Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie (Ann. d. Physik, t. XLIX, 1916).