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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

y a un champ électromagnétique, un autre tenseur doit être ajouté au tenseur matériel.

En résumé, la loi de la gravitation et la loi de conservation de l’impulsion-énergie sont étroitement unies. La loi de conservation est imposée par la loi d’Einstein, d’autre part celle-ci peut être écrite intuitivement en partant de la loi de conservation.

Remarquons toutefois qu’on pourrait, a priori, égaler le tenseur d’énergie à tout autre tenseur d’Univers ayant une divergence nulle (n^o 76), par exemple avec les tenseurs mixtes conservatifs qui correspondent aux invariants $\mathrm {R} _{\mu \nu }\mathrm {R} ^{\mu \nu },$ $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }\mathrm {R} _{\rho }^{\mu \nu \sigma }.$ On aurait d’autres lois de gravitation compatibles encore avec la conservation de l’impulsion-énergie. Mais les tenseurs en question contiennent les dérivées du quatrième ordre des $g_{\mu \nu }\,;$ la loi dans le vide serait un groupe d’équations différentielles du quatrième ordre, et une difficulté proviendrait des conditions aux limites indispensables pour déterminer la solution particulière convenant au champ d’une particule matérielle. La loi choisie (avec ou sans la constante $\lambda$) est la plus simple qu’on puisse adopter, elle comporte le minimum d’arbitraire, et il se trouve que dans les limites de précision des observations, cette loi est expérimentalement vérifiée.

84. Les équations de l’hydrodynamique.

Revenons au tenseur impulsion-énergie, dont l’expression en coordonnées galiléennes est (45-14). Nous pouvons, dans l’aspect macroscopique, considérer comme très petit un fragment de matière dans lequel s’exercent des tensions internes, c’est-à-dire dans lequel diverses portions de matière ont des vitesses de grandeurs et d’orientations différentes. Pour tenir compte de ces tensions internes, nous pouvons décomposer le tenseur en deux parties, la première se rapportant au mouvement d’ensemble du fragment de matière, de vitesse $v_{\mathrm {X_{1}} },$ $v_{\mathrm {X_{2}} },$ $v_{\mathrm {X_{3}} },$ la seconde relative aux mouvements internes $v'_{\mathrm {X_{1}} },$ $v'_{\mathrm {X_{2}} },$ $v'_{\mathrm {X_{3}} }$ par rapport au centre d’inertie. Les termes rectangles s’annulent puisque les vitesses internes sont relatives au centre d’inertie. $\textstyle \sum \rho \,v'_{\mathrm {X} _{\alpha }}v'_{\mathrm {X} _{\beta }}$ est la quantité de mouvement parallèle à l’axe $\mathrm {OX} _{\alpha }$ qui traverse, par unité de temps, l’unité de surface normale à $\mathrm {OX} _{\beta }\,;$ cette somme est préci-