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chapitre XVI. — le principe d’action stationnaire.

La matière doit satisfaire les quatre équations représentées par (29)^[1].

Einstein a appelé les ${\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }$ les composantes d’énergie de la matière, les ${\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }$ les composantes de l’énergie du champ de gravitation. Les équations (28) ou (29) expriment la loi générale de conservation de l’impulsion-énergie.

Il nous semble utile de montrer que les ${\mathfrak {T}}_{\nu }^{\sigma }$ s’identifient bien avec les composantes de la densité tensorielle d’énergie, telle qu’elle a été définie au Chapitre XIV.

Dans le cas de la relativité restreinte, où les $g_{\mu \nu }$ et $g^{\mu \nu }$ sont constants, les ${\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }$ sont nuls. La loi (28) exprime alors la conservation de ${\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }.$ Or nous ne connaissons qu’une chose qui se conserve : c’est l’impulsion-énergie dont l’expression la plus générale est le tenseur $\mathrm {T} _{\sigma }^{\nu }$ défini au n^o 81 ; on peut dire encore que les équations (28) doivent être identifiées avec les équations connues de l’hydrodynamique (en l’absence d’un champ de force). Les ${\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }$ représentent donc, dans ce cas particulier, les composantes du tenseur matériel $\mathrm {T} _{\sigma }^{\nu }.$

La loi covariante qui doit, dans le cas général, remplacer la loi de conservation ${\frac {\partial \mathrm {T} _{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}$ de la relativité restreinte, s’exprime par l’annulation de la divergence de $\mathrm {T} _{\sigma }^{\nu },$ c’est-à-dire par les équations

$\mathrm {T} _{\sigma \nu }^{\nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left({\sqrt {-g}}\,\mathrm {T} _{\sigma }^{\nu }\right)+{\frac {1}{2}}g_{\sigma }^{\mu \nu }\mathrm {T} _{\mu \nu }=0.$

Comparant ces équations aux équations (29), nous voyons que les ${\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }$ des équations (25), (26), (28), (29) s’identifient avec les ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {T} _{\sigma }^{\nu },,$ c’est-à-dire, non pas avec les composantes du tenseur impulsion-énergie, mais avec les composantes de la densité tensorielle impulsion-énergie (à un facteur constant près, qui peut être fait égal à $1$ par un choix convenable des unités).

Les équations (28) nous montrent que les quantités ${\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }$ représentent une densité d’énergie qui ne dépend que des $g_{\mu \nu },$ des $g^{\mu \nu }$ et de leurs dérivées. Les ${\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }$ peuvent donc être considérés comme les composantes de la densité d’énergie du champ de gravitation.

1. Il est à remarquer que les équations de conservation (28) et (29) sont déduites uniquement des équations (14) du champ de gravitation et du principe de relativité (covariance générale), sans intervention des équations (15)