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deuxième partie. — la relativité généralisée.

et de l’énergie sont alors

(35-17)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi \left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)&=h,\\\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi \left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!&+\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}=k,\end{aligned}}\right.$

$h$ et $k$ étant deux constantes d’intégration.

Éliminant $dt,$ nous avons l’équation différentielle de l’orbite

(36-17)

$\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\!+\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi ={\frac {k}{h^{2}}}\mathrm {U} ^{4}\sin ^{4}\!\chi$

dont l’intégrale est

(37-17)

$\operatorname {tang} \chi \cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {h}{k\mathrm {U} ^{2}-h}}\cdot$

C’est l’équation de la géodésique dans l’espace sphérique (ou elliptique). La seconde des formules (35-17) montre que le mobile suit cette géodésique avec la vitesse constante ${\sqrt {k}}.$

La vitesse de la lumière est $c,$ ainsi qu’on le voit immédiatement en faisant $ds=0$ dans l’équation (23-17).

Ces résultats correspondent au point de vue du surobservateur quadridimensionnel.

Mais tout autre est le point de vue de l’observateur tridimensionnel, qui projette le mobile sur l’espace euclidien tangent. Pour lui, la coordonnée distance est, non plus la coordonnée curviligne $r=\mathrm {U} \chi ,$ mais la coordonnée rectiligne $\mathbf {r} =\operatorname {tang} \chi .$ Adoptant maintenant la coordonnée $\mathbf {r} ,$ nous obtenons, en écrivant, comme plus haut, $\varepsilon ={\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}},$

${\frac {dr}{dt}}=\cos ^{2}\chi {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},\qquad \cos ^{2}\!\chi ={\frac {1}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}},\qquad \sin ^{2}\!\chi ={\frac {\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}$

et les formules (35-17) deviennent

(38-17)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\mathbf {r} ^{2}}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)&=h,\\{\frac {1}{(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}\!&+{\frac {\mathbf {r} ^{2}}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!=k,\end{aligned}}\right.$

d’où l’on tire facilement l’expression du carré de la vitesse appa-