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chapitre XVII. — la courbure de l’espace et du temps.

sente l’aspect de l’Univers pour l’observateur ; celui-ci a l’illusion d’un espace euclidien infini.

Cherchons les équations du mouvement d’un point matériel dans l’Univers d’Einstein^[1] : les équations différentielles d’une géodésique (n^o 78) sont les suivantes :

${\frac {d^{2}x_{\sigma }}{ds^{2}}}=-{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}$

ou

${\frac {d^{2}x_{\sigma }}{c^{2}dt^{2}}}=-\left[{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\4\\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\sigma }}{c\,dt}}\right]{\frac {dx_{\alpha }}{c\,dt}}{\frac {dx_{\beta }}{c\,dt}},$

et, en nous restreignant aux systèmes de référence dans lesquels les $g_{\mu \nu }$ ne dépendent pas de $x_{4}=ct,$

(33-17)

${\frac {d^{2}x_{\sigma }}{c^{2}dt^{2}}}=-{\begin{Bmatrix}44\\\sigma \\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{c\,dt}}{\frac {dx_{\beta }}{c\,dt}},+2{\begin{Bmatrix}\alpha 4\\4\\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{c\,dt}}{\frac {dx_{\beta }}{c\,dt}}\cdot$

Avec les coordonnées employées dans les équations (23-17) et (25-17), $r$ ou $\chi \left(={\frac {r}{\mathrm {U} }}\right),$ $\theta ,$ $\varphi ,$ $ct,$ les symboles de Christoffel non nuls sont les suivants :

${\begin{Bmatrix}22\\1\end{Bmatrix}}=-\mathrm {U} \sin \chi \cos \chi ,\qquad {\begin{Bmatrix}33\\1\end{Bmatrix}}=-\mathrm {U} \sin \chi \cos \chi \sin ^{2}\!\theta ,$ ${\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}21\\2\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}13\\3\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}31\\3\end{Bmatrix}}={\frac {1}{\mathrm {U} }}\cot \chi ,$ ${\begin{Bmatrix}33\\2\end{Bmatrix}}=-\sin \theta \cos \theta ,\qquad {\begin{Bmatrix}23\\3\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}32\\3\end{Bmatrix}}=\cot \theta .$

Nous obtenons

(34-17)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}r}{c^{2}dt^{2}}}&=\mathrm {U} \sin \chi \cos \chi \left[\left({\frac {d\theta }{c\,dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}\!\theta \left({\frac {d\varphi }{c\,dt}}\right)^{2}\right],\\{\frac {d^{2}\theta }{c^{2}dt^{2}}}&=-{\frac {2}{\mathrm {U} }}\cot \chi {\frac {dr}{c\,dt}}{\frac {d\theta }{c\,dt}}+\sin \theta \cos \theta \left({\frac {d\varphi }{c\,dt}}\right)^{2},\\{\frac {d^{2}\varphi }{c^{2}dt^{2}}}&=-{\frac {2}{\mathrm {U} }}\cot \chi {\frac {dr}{c\,dt}}{\frac {d\varphi }{c\,dt}}-2\cot \theta {\frac {d\theta }{c\,dt}}{\frac {d\varphi }{c\,dt}}.\end{aligned}}\right.$

Nous pouvons prendre $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ et ${\frac {d\theta }{dt}}=0\,;$ les intégrales des aires

1. D’après de Sitter, Monthly Notices, novembre 1917.