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chapitre XVII. — la courbure de l’espace et du temps.

rente

(39-17)

$v_{1}^{2}=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}\!+\mathbf {r} ^{2}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\!=\left(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\right)^{2}\left(k-\varepsilon h^{2}\right).$

Tant que $\mathbf {r}$ est très petit, la vitesse observée est encore sensiblement ${\sqrt {k}}$ ($\varepsilon h^{2}$ étant très petit), mais à mesure que $\chi$ approche de $\pm {\frac {\pi }{2}},$ c’est-à-dire à mesure que le mobile paraît à l’observateur s’éloigner à l’infini, toutes les vitesses apparentes croissent indéfiniment, quelque petites que soient les vitesses réelles $v={\sqrt {k}}$ dans l’espace sphérique.

Dans la seconde des équations (38-17), remplaçons ${\frac {d\varphi }{dt}}$ par sa valeur ${\frac {h(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2})}{\mathbf {r} ^{2}}}$ tirée de la première équation ; nous obtenons l’expression du carré de la vitesse radiale

(40-17)

$\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}=\left(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\right)^{2}\left(\mathrm {K} -{\frac {1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {r} ^{2}}}h^{2}\right).$

Enfin l’équation (37-17) de la géodésique prend la forme

$\mathbf {r} \cos(\varphi -\varphi _{0})=$ const.

ce qui montre que, pour l’observateur, la trajectoire du mobile libre est une ligne droite.

Étudions particulièrement le cas de la lumière. Faisant $ds=0$ dans l’expression (32-17), nous obtenons

(41-17)

${\frac {1}{\left(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\right)^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}\mathbf {r} ^{2}\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}=c^{2}.$

Soient $c_{1}$ la vitesse de la lumière, $\alpha$ l’angle de la tangente au rayon lumineux et du rayon vecteur, on a, pour les composantes radiale et transversale de la vitesse,

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=c_{1}\cos \alpha ,\qquad \mathbf {r} {\frac {d\varphi }{dt}}=c_{1}\sin \alpha .$

L’expression (41-17) s’écrit donc

${\frac {\cos ^{2}\alpha }{\left(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\right)^{2}}}c_{1}^{2}+{\frac {\sin ^{2}\alpha }{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}c_{1}^{2}=c^{2}.$

BECQUEREL.

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