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chapitre XVII. — la courbure de l’espace et du temps.

d’Einstein est exacte, l’espace n’est que quasi sphérique : il a une courbure moyenne constante $\mathrm {R={\frac {6}{U^{2}}}}$ (d’après 5-17) ou $\mathrm {R=6\lambda } ,$ Fig. 19.
puisque $\lambda =\mathrm {\frac {1}{U^{2}}}$ (23-17), mais sa courbure est plus grande aux points où la densité dépasse la moyenne $\rho ,$ et diminue jusqu’à $4\lambda$ s’il n’y a aucune matière (14-17).

Figurons une sphère ordinaire et soit $\mathrm {O}$ un point de la surface. Du centre $\mathrm {A} ,$ on peut faire la projection conique de la surface sur le plan tangent en $\mathrm {O} .$ De même, projetons l’espace sphérique sur l’espace euclidien tangent au point $\mathrm {O} ,$ où se trouve l’observateur. Soit $\mathbf {r}$ la distance $\mathrm {OP}$ de ce point origine à la projection $\mathrm {P}$ d’un point de l’espace sphérique ; nous allons remplacer la coordonnée $\chi$ (ou $r$) par la coordonnée $\mathbf {r} :$

(31-17)

$\mathbf {r} =\mathrm {U\operatorname {tang} {\chi }} .$

L’expression de l’élément de ligne d’Univers devient

(32-17)

$ds^{2}=-{\frac {d\mathbf {r} ^{2}}{(1+\mathbf {\varepsilon } \mathbf {r} ^{2})^{2}}}-{\frac {\mathbf {r} ^{2}(d\theta ^{2}+{\sin }^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})}{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}+c^{2}dt^{2}$

en posant $\mathrm {\varepsilon ={\frac {1}{U^{2}}}} \cdot$