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chapitre XVII. — la courbure de l’espace et du temps.

à être détruite, l’Espace-Temps subsisterait avec le même rayon ; seules, les rides dues aux condensations locales disparaîtraient.

La différence avec la conception d’Einstein est radicale : dans l’hypothèse d’Einstein ${\bigg (}\varkappa \rho =2\lambda ,$ $\lambda ={\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}}{\bigg )},$ c’est la matière mondiale qui détermine la courbure moyenne de l’espace (de l’espace seul, puisque le temps est rectiligne). L’hypothèse d’Einstein nécessite l’existence de quantités de matière de beaucoup supérieures à celles que nous connaissons (ce qui n’a, d’ailleurs, rien d’invraisemblable) ; l’hypothèse de de Sitter ne conduit plus du tout à cette nécessité.

Il convient d’insister sur la différence entre l’espace d’Einstein et celui de de Sitter, tous deux représentés par la même équation

$dl^{2}=\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}+\sin ^{2}\!\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})\right]\,;$

l’espace d’Einstein a une courbure moyenne $\mathrm {R} ={\frac {6}{\mathrm {U} ^{2}}}=6\lambda ,$ mais cette courbure n’est pas la courbure $4\lambda$ dans le vide ; la courbure moyenne n’est donc pas égale à la courbure de la majeure partie des régions de l’espace ; presque partout, la courbure est seulement $4\lambda .$ Nous voyons ainsi que la matière, qui détermine la courbure de l’espace, intervient en produisant des sortes de plissements par lesquels la forme de l’espace est brusquement changée de distance en distance, de manière que l’espace se ferme en prenant une forme quasi-sphérique de courbure moyenne $6\lambda .$ Au contraire, dans l’hypothèse de de Sitter, nous avons une courbure moyenne $\mathrm {R} ={\frac {12}{\mathrm {U} ^{2}}}=4\lambda ,$ précisément égale à la courbure constante dans les régions vides de matière. L’espace n’est pas quasi-sphérique, il est bien sphérique (ou elliptique) avec seulement des rides locales, très disséminées, dues à la présence de matière, rides qu’on peut, si l’on cherche une image, comparer au relief du sol.

Conséquences de la courbure du temps. — Revenons à l’équation (43-17), la position de l’observateur étant prise pour origine des $r=\mathrm {U} \chi .$ Pour un point fixe dans l’espace, on a $d\chi =0,$ $d\theta =0,$ $d\varphi =0\,;$ la formule se réduit à

$ds=\cos \chi \,c\,dt$