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chapitre XVII. — la courbure de l’espace et du temps.

110. Hypothèse de de Sitter^[1]. La courbure du temps.
L’Espace-Temps hyperbolique.

Étudions maintenant la solution de de Sitter (24-17, 26-17).

(43-17)

$ds^{2}=-\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}\!+\sin ^{2}\!\chi \left(d\theta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]+\cos ^{2}\!\chi c^{2}dt^{2},$

$\chi ={\frac {r}{\mathrm {U} }}\cdot$

La différence avec la solution d’Einstein porte uniquement sur le dernier terme, $g_{44}$ étant égal à $\cos ^{2}\!\chi$ au lieu de $1\,:$ il en résulte une profonde modification dans la conception de l’Univers.

La « coupe à temps constant » $dt=0$ est, comme dans l’hypothèse d’Einstein, un espace sphérique (ou elliptique)

(44-17)

$dl^{2}=\mathrm {U} ^{2}\left[d\chi ^{2}\!+\sin ^{2}\!\chi \left(d\theta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right],$

mais il y a aussi une courbure du temps.

Une autre interprétation de l’équation (43-17) s’obtient en faisant le changement de coordonnées suivant :

(45-17)

$\left\{{\begin{aligned}\sin \chi &=\sin \zeta \sin \omega ,\\\operatorname {tang} {\frac {{\sqrt {-1}}\,ct}{\mathrm {U} }}&=\cos \zeta \operatorname {tang} \omega .\end{aligned}}\right.$

On obtient ainsi

(46-17)

$ds^{2}=-\mathrm {U} ^{2}\left\{d\omega ^{2}\!+\sin ^{2}\!\omega \left[d\zeta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\zeta \left(d\theta ^{2}\!+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]\right\}.$

ce qui peut être interprété comme étant l’équation, en coordonnées sphériques $(\omega ,$ $\zeta ,$ $\theta ,$ $\varphi )$ d’une hypersphère de rayon $\mathrm {U}$ dans une multiplicité pseudo euclidienne à cinq dimensions. L’Espace-Temps quadridimensionnel qui limite l’hypersphère à cinq dimensions est l’analogue de l’espace tridimensionnel dans l’hypothèse d’Einstein, avec cette différence qu’une des coordonnées est imaginaire et qu’il ne faut chercher dans la formule (46-17) aucune représentation réelle.

En changeant l’azimut de $\zeta ,$ on fait une opération correspondante à la rotation de l’axe du temps dans la théorie de Min-

1. De Sitter, Monthly Notices, novembre 1917.