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deuxième partie. — la relativité généralisée.

kowski (n^o 28). Il n’y a plus de temps d’Univers absolu : l’espace et le temps restent unis ; à ce point de vue, le principe de relativité est mieux satisfait que dans l’hypothèse d’Einstein.

Si l’on veut garder des coordonnées réelles, la forme de l’Univers est celle d’un hyperboloïde dans une multiplicité à cinq dimensions.

Écrivons, en effet, $\omega =\,{\sqrt {-1}}\,\omega ',$ $\zeta ={\sqrt {-1}}\,\zeta ',$ nous obtenons

$ds^{2}=\mathrm {U} ^{2}\left\{d\omega '^{2}-\operatorname {sh} ^{2}\!\omega '\left[d\zeta '^{2}+\operatorname {sh} ^{2}\!\zeta '\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]\right\}.$

Posons

${\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathrm {U} \operatorname {sh} \omega '\operatorname {sh} \zeta ',&z&=\mathbf {r} \cos \psi ,\\x&=\mathbf {r} \sin \psi \sin \varphi ,&\mathbf {t} &=\mathrm {U} \operatorname {sh} \omega '\operatorname {ch} \zeta ',\\y&=\mathbf {r} \sin \psi \cos \varphi ,&u&=\mathrm {U} \operatorname {ch} \omega '.\end{aligned}}$

L’expression de $ds^{2}$ devient

$ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}-du^{2}+d\mathbf {t} ^{2},$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}-\mathbf {t} ^{2}=\mathrm {U} ^{2},$

ce qui est l’équation d’un hyperboloïde à une nappe dans la multiplicité à cinq dimensions $x,\,y,\,z,\,u,\,\mathbf {t} .$

Les $g_{\mu \nu }$ de l’équation (46-17) vérifient les équations de la loi de la gravitation (22-17) sous les conditions

(47-17)

$\rho =0,\qquad \lambda ={\frac {3}{\mathrm {U} ^{2}}},$

$\rho$ étant la densité moyenne de la matière.

À première vue, la condition $\rho =0$ peut paraître inadmissible, puisqu’il y a de la matière dans l’espace, et que l’espace (44-17) est fini. Voici l’interprétation : nous avons, en écrivant les équations (22-17), considéré l’aspect ultra-macroscopique, la forme d’ensemble de l’Univers, abstraction faite des condensations et irrégularités locales. Les conditions précédentes signifient que l’Univers a une courbure naturelle qui n’est pas conditionnée par la matière mondiale. La matière intervient seulement pour modifier localement la courbure, sans changer la courbure d’ensemble et sans modifier le rayon $\mathrm {U} .$ En d’autres termes l’Espace-Temps a une existence et une forme d’ensemble indépendantes de la matière qu’il contient ; cette matière viendrait