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deuxième partie. — la relativité généralisée.

ou

(48-17)

$d\tau =\cos \chi \,dt\,;$

$dt$ est l’intervalle de temps mesuré par l’observateur. Cet intervalle mesuré est d’autant plus grand par rapport à l’intervalle de temps propre $d\tau$ que $\cos \chi$ est plus petit : le temps qui s’écoule en un même point d’espace, entre deux événements, paraît donc à l’observateur d’autant plus long que la région qu’il observe est plus voisine de la zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}$ à la distance $r={\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U} .$ Dans la zone $r={\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U} ,$ le temps est stationnaire pour l’observateur, car $dt$ est infiniment grand par rapport à $ds.$

Mais ceci n’est qu’un point de vue relatif à l’observateur et ne signifie pas que le cours du temps soit arrêté dans la zone $\chi ={\frac {\pi }{2}}\,;$ si l’observateur se transportait dans ces régions, il trouverait, suivant l’expression d’Eddington, que la Nature y est aussi active que partout ailleurs, et c’est son ancienne demeure qui lui paraîtrait immobilisée dans un repos éternel.

Cette apparence est due à l’orthogonalité des temps propres aux deux endroits distants de ${\frac {1}{2}}\pi \mathrm {U} .$ Nous allons préciser l’influence de la courbure du temps en étudiant le mouvement d’un point matériel libre.

Comme précédemment, nous considérerons successivement les deux systèmes de coordonnées

$\quad r=\mathrm {U} \chi ,\quad \theta ,\quad \varphi ,\quad ct$ ($r,$ coordonnées curvilignes)

et

$\mathbf {r} =\mathrm {U} \operatorname {tang} \chi ,\quad \theta ,\quad \varphi ,\quad ct$ (projection sur l’Univers tangent)

Si nous adoptons le premier système, l’expression de $ds^{2}$ s’écrit, d’après (24-17) ou (43-17),

(49-17)

$ds^{2}=-dr^{2}-\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})+\cos ^{2}\!\chi \,c^{2}dt^{2}.$

Appliquant les équations du mouvement (33-17), calculant les symboles de Christoffel d’après les valeurs des $g_{\mu \nu }$ de (49-17), on trouve, pour les intégrales des aires et de l’énergie,

(50-17)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {U} ^{2}\operatorname {tang} ^{2}\!\chi \left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)&=h.\\\!\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{\!2}\!\!+\mathrm {U} ^{2}\sin ^{2}\!\chi \left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{\!2}\!\!&=c^{2}\sin ^{2}\!\chi \cos ^{2}\!\chi +(k\!+\!\varepsilon h^{2})\cos ^{4}\!\chi ,\end{aligned}}\right.$