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chapitre XVIII. — champ de gravitation et champ électromagnétique.

que le système de coordonnées est arbitraire, le système de jauges est arbitraire ; il faut, dans le cas le plus général, diviser l’Univers en cellules quadridimensionnelles par un système quelconque de coordonnées, et dans chaque cellule infiniment petite adopter une jauge. Les jauges sont seulement soumises à la condition qu’en deux cellules infiniment voisines les jauges soient infiniment peu différentes, ce qui est possible car l’ambiguïté disparaît à la limite pour un déplacement infiniment petit. Dans la théorie primitive, où les jauges étaient supposées les mêmes partout, dix mesures d’intervalles $ds$ autour d’un point permettaient de déterminer les dix potentiels $g_{\mu \nu }$ correspondant au système de coordonnées employé, c’est-à-dire permettaient de décrire le champ de gravitation ; dans la théorie plus générale, quatorze mesures vont être nécessaires, comme nous allons le montrer, pour déterminer les dix $g_{\mu \nu }$ et quatre « potentiels » supplémentaires qui paraissent bien correspondre aux composantes du quadrivecteur potentiel électromagnétique.

Ce sont les quatorze potentiels $g_{\mu \nu }$ et $\varphi _{\mu }$ qui définissent la géométrie du système de coordonnées et du système de jauges choisis, et qui contiennent en eux la structure de l’Espace-Temps.

116. La géométrie de Weyl.

Faisons décrire à un vecteur $\mathrm {A} _{\mu },$ par déplacement parallèle, un contour fermé infiniment petit, limitant l’élément de surface $d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }\,;$ d’après (7-14) sa variation est^[1]

(1-18)

d\mathrm {A} _{\mu }={\frac {1}{2}}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\varepsilon }\mathrm {A} _{\varepsilon }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }={\frac {1}{2}}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }.

Comme $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ est symétrique gauche par rapport à $\mu$ et $\rho$ (n^o 73), nous avons

\mathrm {A} ^{\mu }\,d\mathrm {A} _{\mu }={\frac {1}{2}}{\mathfrak {R}}_{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=0,

ce qui prouve que $d\mathrm {A} _{\mu }$ est orthogonal à $\mathrm {A} _{\mu }\,;$ la longueur généra-

↑ Le facteur ${\frac {1}{2}}$ est introduit à cause de la sommation qui fait écrire deux fois chacune des composantes du tenseur $d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }\,;$ on a en effet $d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=-d\mathrm {S} ^{\sigma \nu }$ et $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \tau }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=\mathrm {R} _{\mu \sigma \nu \rho }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\sigma \nu }.$

[1] Le facteur ${\frac {1}{2}}$ est introduit à cause de la sommation qui fait écrire deux fois chacune des composantes du tenseur $d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }\,;$ on a en effet $d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=-d\mathrm {S} ^{\sigma \nu }$ et $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \tau }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=\mathrm {R} _{\mu \sigma \nu \rho }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\sigma \nu }.$

[1]