Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/340

320

deuxième partie. — la relativité généralisée.

Le tenseur généralisé contracté s’écrit

(25-18)

${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }=\mathrm {R} _{\mu \nu }+2\varphi _{\mu \nu }-\left(\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\sigma }\right)_{\!\sigma }+\mathrm {S} _{\alpha \nu }^{\beta }\mathrm {S} _{\beta \mu }^{\alpha }-2\varphi _{\alpha }\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\alpha },$

en posant

(26-18)

$2\varphi _{\mu }=\mathrm {S} _{\sigma \mu }^{\sigma }\,;\qquad \varphi _{\mu \nu }=$ dérivée cov. de $\varphi _{\mu }.$

Enfin le scalaire ${}^{\star \!}\mathrm {R}$ a pour expression

(27-18)

${}^{\star \!}\mathrm {R} =\mathrm {R} +2\varphi _{\nu }^{\nu }+\lambda _{\nu }^{\nu }+\mathrm {S} _{\nu \alpha ,\beta }\mathrm {S} ^{\nu \beta ,\alpha }+2\varphi _{\alpha }\lambda ^{\alpha },$

оù

(28-18)

$\lambda _{\mu }=-\mathrm {S} _{\sigma ,\mu }^{\sigma }.$

Il est à remarquer que $2\varphi _{\mu }$ et $-\lambda _{\mu }$ sont des vecteurs différents ; dans (26) $\mu$ occupe une des places symétriques, ce qui n’a pas lieu dans (28)

$2\varphi _{\mu }=g^{\alpha \sigma }\mathrm {S} _{\sigma \mu ,\alpha }=\mathrm {S} _{\sigma \mu }^{\sigma }\quad$ et $\quad -\lambda _{\mu }=g^{\alpha \sigma }\mathrm {S} _{\alpha \sigma ,\mu }=\mathrm {S} _{\;\sigma \mu }^{\sigma }.$

Dans l’expression de ${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu },$ tous les termes sont symétriques en $\mu$ et $\nu ,$ sauf $2\varphi _{\mu \nu }.$ Écrivons

(29-18)

$2\varphi _{\mu }={\underset {\mathrm {Sym{\acute {e}}trique} }{(\varphi _{\mu \nu }+\varphi _{\nu \mu })}}+{\underset {\begin{array}{c}\mathrm {Sym{\acute {e}}trique} \\[-0.75ex]\mathrm {gauche} \end{array}}{(\varphi _{\mu \nu }-\varphi _{\nu \mu })}}$

nous obtenons

(30-18)

${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }=\mathrm {B} _{\mu \nu }+\mathrm {F} _{\mu \nu },$

$\mathrm {B} _{\mu \nu }$ étant un tenseur symétrique et $\mathrm {F} _{\mu \nu }$ étant le tenseur symétrique gauche,

(31-18)

$\mathrm {F} _{\mu \nu }=\varphi _{\mu \nu }-\varphi _{\nu \mu }={\frac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial \varphi _{\nu }}{\partial x_{\mu }}}\cdot$

Les tenseurs

(32-18)

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{\mu \nu }&={\frac {{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }+{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }}{2}},&\mathrm {F} _{\mu \nu }&={\frac {{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }-{}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu }}{2}}\end{aligned}}$

sont des tenseurs absolus.

Le tenseur ${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ se divise de même en deux tenseurs (voir 2-18) :

(33-18)

${}^{\star \!}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }=\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }+\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho },$