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deuxième partie. — la relativité généralisée.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Le tenseur d’énergie et la loi de la gravitation. Désignons par $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$ le tenseur total d’énergie ; ce tenseur doit vérifier la loi de conservation exprimée par $\mathrm {T} _{\mu \nu }^{\nu }=0\,;$ il faut donc l’identifier à un tenseur géométrique dont la divergence soit nulle. Ici, il n’y a rien à changer à la théorie primitive, car la généralisation de Weyl-Eddington n’introduit pas de nouveau tenseur à divergence nulle qui puisse être adopté^[1]. On a donc, comme dans la théorie d’Einstein,

(42-18)

$\mathrm {R} _{\mu }^{\prime \,\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R} ^{\prime }=-\varkappa \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$

avec

$\mathrm {R} _{\mu }^{\prime \,\nu }=\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-\lambda g_{\mu }^{\nu },\qquad \mathrm {R} ^{\prime }=\mathrm {R} -4\lambda ,$

$\lambda$ est une constante qui n’est pas déterminée par la loi de conservation, mais qui est fixée par la condition que le tenseur $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$ disparaisse en l’absence de matière et de champ électromagnétique, ce qui donne dans le vide

$\mathrm {R} =4\lambda ,$

$\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-\lambda g_{\mu }^{\nu }=0\quad \;$ ou $\quad \;\mathrm {R} _{\mu \nu }-\lambda g_{\mu \nu }=0.$

D’après (37-18), la constante $\lambda$ est la même que celle qui s’introduit dans la définition du système de jauges naturel et qui est égale à ${\frac {1}{4}}{}^{\star \!}\mathrm {R} .$

Le champ électromagnétique. — Le tenseur $\mathrm {F} _{\mu \nu }$ des forces électrique et magnétique (n^o 98) doit satisfaire le premier groupe (15-15) des équations de Maxwell (généralisées)

(43-18)

${\frac {\partial \mathrm {F} _{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{\nu \sigma }}{\partial x_{\mu }}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{\sigma \mu }}{\partial x_{\nu }}}=0,$

et ces équations deviennent des identités si $\mathrm {F} _{\mu \nu }$ est le rotationnel d’un vecteur. Nous voyons donc qu’il n’y a qu’un tenseur géométrique que nous puissions identifier (à un facteur constant près) avec le tenseur des forces électriques et magnétiques : c’est celui que nous avons précisément désigné par $\mathrm {F} _{\mu \nu }$ dans la théorie géo-

1. La divergence de $\mathrm {R} ^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }{}^{\star \!}\mathrm {R}$ n’est pas identiquement nulle.