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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

[18]

$p=\left({\frac {yrr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2},$

[18∗]

$p=\left({\frac {\mathrm {Y} rr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2}.$

Maintenant, le secteur elliptique compris entre deux rayons vecteurs et un arc d’ellipse est ${\frac {1}{2}}kt{\sqrt {\overset {}{p}}},$ mais le triangle compris entre les mêmes rayons vecteurs et la corde $={\frac {1}{2}}rr'\sin 2f\,;$ c’est pourquoi le rapport du secteur au triangle est comme $y:1$ ou comme $\mathrm {Y} :1.$ Cette remarque est d’une très-grande importance et éclaire en même temps très-bien les équations 12 et 12^∗ ; de là, il est en effet évident que dans l’équation 12 les parties $m,$ $(l+x)^{\frac {1}{2}},$ $\mathrm {X} (l+x)^{\frac {3}{2}},$ et dans l’équation 12^∗ les parties $\mathrm {M} ,$ $(\mathrm {L} -x)^{\frac {1}{2}},$ $(\mathrm {L} -x)^{\frac {3}{2}},$ sont respectivement proportionnelles à l’aire du secteur (compris entre les rayons vecteurs et l’arc d’ellipse), à l’aire du triangle (entre les rayons vecteurs et la corde), à l’aire du segment (entre l’arc et la corde), puisque la première aire est évidemment égale à la somme ou à la différence des deux autres, selon que $v'-v$ tombe entre 0 et 180° ou entre 180° et 360°. Dans le cas où $v'-v$ est plus grand que 360°, il faut concevoir l’aire de l’ellipse entière ajoutée à l’aire du secteur et aussi à l’aire du segment autant de fois que le mouvement contient de révolutions entières.

Puisque $b=a\cos \varphi ,$ on trouve ensuite, par la combinaison des équations 1, 10, 10^∗,

[19]

$\cos \varphi ={\frac {\sin g\operatorname {tang} f}{2\left(l+\sin ^{2}\!{\frac {1}{2}}g\right)}},$

[19∗]

$\cos \varphi ={\frac {-\sin g\operatorname {tang} f}{2\left(\mathrm {L} -\sin ^{2}\!{\frac {1}{2}}g\right)}}\,;$

d’où, en substituant à la place de $l$ et $\mathrm {L}$ leurs valeurs de l’art. 89, il vient

[20]

$\cos \varphi ={\frac {\sin f\sin g}{1-\cos f\cos g+2\operatorname {tang} ^{2}\!2\omega }}.$

Cette formule n’est pas propre au calcul exact de l’excentricité toutes les fois que celle-ci a une petite valeur ; mais de cette relation