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Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/152

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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

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Maintenant, le secteur elliptique compris entre deux rayons vecteurs et un arc d’ellipse est mais le triangle compris entre les mêmes rayons vecteurs et la corde c’est pourquoi le rapport du secteur au triangle est comme ou comme Cette remarque est d’une très-grande importance et éclaire en même temps très-bien les équations 12 et 12 ; de là, il est en effet évident que dans l’équation 12 les parties et dans l’équation 12 les parties sont respectivement proportionnelles à l’aire du secteur (compris entre les rayons vecteurs et l’arc d’ellipse), à l’aire du triangle (entre les rayons vecteurs et la corde), à l’aire du segment (entre l’arc et la corde), puisque la première aire est évidemment égale à la somme ou à la différence des deux autres, selon que tombe entre 0 et 180° ou entre 180° et 360°. Dans le cas où est plus grand que 360°, il faut concevoir l’aire de l’ellipse entière ajoutée à l’aire du secteur et aussi à l’aire du segment autant de fois que le mouvement contient de révolutions entières.

Puisque on trouve ensuite, par la combinaison des équations 1, 10, 10,

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d’où, en substituant à la place de et leurs valeurs de l’art. 89, il vient

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Cette formule n’est pas propre au calcul exact de l’excentricité toutes les fois que celle-ci a une petite valeur ; mais de cette relation