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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

d’où l’on conclut facilement, que pour les valeurs de $z$ aussi petites que celles que nous supposons ici, on doit toujours avoir $\mathrm {Y} >0,20601.$ Nous trouvons, en effet, en faisant le calcul, que pour que $(1+z)\mathrm {Z}$ devienne égal à cette limite, on doit avoir $z=0,79858\,;$ mais il s’en faut de beaucoup que nous voulions étendre notre méthode à des voleurs si grandes de $z.$

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Toutes les fois que $z$ atteint une grande valeur dépassant les limites de la table III, les équations 13 et 13^∗ sont toujours complètement et commodément résolues, sans modifier leur forme, à l’aide de tâtonnements, et, de fait, par des raisons semblables à celles que nous avons données pour l’ellipse, dans l’art. 94. Dans un tel cas, on pourra supposer les éléments de l’orbite au moins approximativement connus ; et alors, on aura aussitôt une valeur approchée de $n$ par la formule

$\operatorname {tang} 2n={\frac {\sin f\,{\sqrt {rr'}}}{\alpha {\sqrt {e^{2}-1}}}}$

qui découle immédiatement de l’équation 6, .

On aura aussi $z,$ au moyen de $n,$ par la formule

$z={\frac {1-\cos 2n}{2\cos 2n}}={\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\,;$

et de la valeur approchée de $z$ on pourra déduire, à l’aide de quelques tâtonnements, celle qui satisfait exactement à l’équation 13 ou 13^∗. Ces équations peuvent aussi être présentées sous cette forme :

${\begin{aligned}m&=\left(l-{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {1}{2}}\\&+2\left(l-{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {3}{2}}\!\left[{\frac {{\dfrac {\operatorname {tang} 2n}{\cos 2n}}-\operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!+n)}{\operatorname {tang} ^{3}2n}}\right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {M} &=-\left(\mathrm {L} +{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {1}{2}}\\&+2\left(\mathrm {L} +{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {3}{2}}\!\left[{\frac {{\dfrac {\operatorname {tang} 2n}{\cos 2n}}-\operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!+n)}{\operatorname {tang} ^{3}2n}}\right]\end{aligned}}$

Et ainsi, sans avoir égard à $z,$ la valeur exacte de $n$ pourra aussitôt être obtenue :