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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.
d’où l’on conclut facilement, que pour les valeurs de
aussi petites
que celles que nous supposons ici, on doit toujours avoir
Nous trouvons, en effet, en faisant le calcul, que pour que
devienne égal à cette limite, on doit avoir
mais il s’en
faut de beaucoup que nous voulions étendre notre méthode à des
voleurs si grandes de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
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Toutes les fois que
atteint une grande valeur dépassant les limites
de la table III, les équations 13 et 13∗ sont toujours complètement
et commodément résolues, sans modifier leur forme, à l’aide de tâtonnements, et, de fait, par des raisons semblables à celles que
nous avons données pour l’ellipse, dans l’art. 94. Dans un tel cas,
on pourra supposer les éléments de l’orbite au moins approximativement connus ; et alors, on aura aussitôt une valeur approchée de
par la formule
![{\displaystyle \operatorname {tang} 2n={\frac {\sin f\,{\sqrt {rr'}}}{\alpha {\sqrt {e^{2}-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d056c7f2d74db0b3d9e918bc3a74f5c729023ff)
qui découle immédiatement de l’équation 6, .
On aura aussi
au moyen de
par la formule
![{\displaystyle z={\frac {1-\cos 2n}{2\cos 2n}}={\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4abb2bc1cd87f94ef2e1c35399091685983a8210)
et de la valeur approchée de
on pourra déduire, à l’aide de quelques tâtonnements, celle qui satisfait exactement à l’équation 13 ou
13∗. Ces équations peuvent aussi être présentées sous cette forme :
![{\displaystyle {\begin{aligned}m&=\left(l-{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {1}{2}}\\&+2\left(l-{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {3}{2}}\!\left[{\frac {{\dfrac {\operatorname {tang} 2n}{\cos 2n}}-\operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!+n)}{\operatorname {tang} ^{3}2n}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9033c92bcc4079933f8e27ed3e932b82c8342b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} &=-\left(\mathrm {L} +{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {1}{2}}\\&+2\left(\mathrm {L} +{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {3}{2}}\!\left[{\frac {{\dfrac {\operatorname {tang} 2n}{\cos 2n}}-\operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!+n)}{\operatorname {tang} ^{3}2n}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74b874c8235d181b8f88e0875ba57b76816cdb3)
Et ainsi, sans avoir égard à
la valeur exacte de
pourra aussitôt
être obtenue :