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LIVRE I, SECTION III.

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Il reste à déterminer les éléments eux-mêmes au moyen de $z,$ $n$ ou $c.$ En posant $\alpha \sqrt{e^2-1}=\beta ,$ on aura, d’après l’équation 6, art. 99,

[18]

$\beta =\frac{\sin f\sqrt{r{r}^{\prime }}}{\mathrm{tang}2n}.$

En combinant cette formule avec 12, 12^∗, art. 99, on trouve

[19]

$\sqrt{e^2-1}=\mathrm{tang}\psi =\frac{\mathrm{tang}f\mathrm{tang}2n}{2(l-z)},$

[19∗]

$\mathrm{tang}\psi =\frac{\mathrm{tang}f\mathrm{tang}2n}{2(\mathrm{L}+z)},$

d’où l’excentricité sera commodément et exactement calculée ; de $\beta$ et $\sqrt{e^2-1}$ on obtiendra $\alpha$ par une division, et $p$ par une multiplication, de telle sorte que l’on a

$\begin{array}{cccc}\alpha & =\frac{2(l-z)\cos f.\sqrt{r{r}^{\prime }}}{{\mathrm{tang}}^{2}2n}& & =\frac{2m^2\cos f.\sqrt{r{r}^{\prime }}}{y^2{\mathrm{tang}}^{2}2n}=\frac{k^2{t}^2}{4y^{2}r{r}^{\prime }{\cos }^{2}f{\mathrm{tang}}^{2}2n}\\ & =\frac{-2(\mathrm{L}+z)\cos f.\sqrt{r{r}^{\prime }}}{{\mathrm{tang}}^{2}2n}& & =\frac{-2{\mathrm{M}}^2\cos f.\sqrt{r{r}^{\prime }}}{{\mathrm{Y}}^2{\mathrm{tang}}^{2}2n}=\frac{k^2{t}^2}{4{\mathrm{Y}}^{2}r{r}^{\prime }{\cos }^{2}f{\mathrm{tang}}^{2}2n},\end{array}$

$\begin{array}{cccc}p& =\frac{\sin f.\mathrm{tang}f.\sqrt{r{r}^{\prime }}}{2(l-z)}& & =\frac{-{\mathrm{Y}}^2\sin f.\mathrm{tang}f.\sqrt{r{r}^{\prime }}}{2m^2}={\left(\frac{yr{r}^{\prime }\sin 2f}{kt}\right)}^2\\ & =\frac{-\sin f.\mathrm{tang}f.\sqrt{r{r}^{\prime }}}{2(\mathrm{L}+z)}& & =\frac{-{\mathrm{Y}}^2\sin f.\mathrm{tang}f.\sqrt{r{r}^{\prime }}}{2{\mathrm{M}}^2}={\left(\frac{\mathrm{Y}r{r}^{\prime }\sin 2f}{kt}\right)}^2.\end{array}$

La troisième et la sixième expressions de $p,$ qui sont entièrement identiques avec les formules 18, 18^∗, art. 95, montrent que les remarques faites sur la signification des quantités $y$ et $\mathrm{Y},$ s’appliquent aussi à l’hyperbole.

En combinant les équations 6, 9, article 99, on déduit

$(r^{\prime }-r)\sqrt{\frac{e^2-1}{r{r}^{\prime }}}=e\sin f.(\mathrm{C}-\frac{1}{\mathrm{C}});$

c’est pourquoi en introduisant $\psi$ et $\omega ,$ et en posant $\mathrm{C}=\mathrm{tang}(45^{\circ }+\mathrm{N}),$ on a