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LIVRE I, SECTION III.
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Il reste à déterminer les éléments eux-mêmes au moyen de
ou
En posant
on aura, d’après l’équation 6, art. 99,
[18]
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En combinant cette formule avec 12, 12∗, art. 99, on trouve
[19]
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[19∗]
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d’où l’excentricité sera commodément et exactement calculée ; de
et
on obtiendra
par une division, et
par une multiplication, de telle sorte que l’on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha &={\frac {2(l\!-\!z)\cos f.{\sqrt {rr'}}}{\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}&&={\frac {2m^{2}\cos f.{\sqrt {rr'}}}{y^{2}\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}={\frac {k^{2}t^{2}}{4y^{2}rr'\cos ^{2}\!f\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}\\&={\frac {-2(\mathrm {L} \!+\!z)\cos \!f.{\sqrt {rr'}}}{\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}&&={\frac {-2\mathrm {M} ^{2}\!\cos \!f.{\sqrt {rr'}}}{\mathrm {Y} ^{2}\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}={\frac {k^{2}t^{2}}{4\mathrm {Y} ^{2}rr'\cos ^{2}\!\!f\operatorname {tang} ^{2}\!2n}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529137ae2c2b7fd79ac705fe1207f7eae6c54906)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p&={\frac {\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2(l-z)}}&&={\frac {-\mathrm {Y} ^{2}\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2m^{2}}}=\left({\frac {yrr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2}\\&={\frac {-\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2(\mathrm {L} +z)}}&&={\frac {-\mathrm {Y} ^{2}\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2\mathrm {M} ^{2}}}=\left({\frac {\mathrm {Y} rr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb913d428f28e85237ae0b14e733a4450bd4f996)
La troisième et la sixième expressions de
qui sont entièrement
identiques avec les formules 18, 18∗, art. 95, montrent que les remarques faites sur la signification des quantités
et
s’appliquent
aussi à l’hyperbole.
En combinant les équations 6, 9, article 99, on déduit
![{\displaystyle (r'-r){\sqrt {\frac {e^{2}-1}{rr'}}}=e\sin f.\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd032f27f51e9897efa0317b2d759514ea1d185)
c’est pourquoi en introduisant
et
et en posant
on a