Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/171

152

LIVRE I, SECTION III.

104

Il reste à déterminer les éléments eux-mêmes au moyen de $z,$ $n$ ou $c.$ En posant $\alpha {\sqrt {e^{2}-1}}=\beta ,$ on aura, d’après l’équation 6, art. 99,

[18]

$\beta ={\frac {\sin f\,{\sqrt {rr'}}}{\operatorname {tang} 2n}}.$

En combinant cette formule avec 12, 12^∗, art. 99, on trouve

[19]

${\sqrt {e^{2}-1}}=\operatorname {tang} \psi ={\frac {\operatorname {tang} f\operatorname {tang} 2n}{2(l-z)}},$

[19∗]

$\operatorname {tang} \psi ={\frac {\operatorname {tang} f\operatorname {tang} 2n}{2(\mathrm {L} +z)}},$

d’où l’excentricité sera commodément et exactement calculée ; de $\beta$ et ${\sqrt {e^{2}-1}}$ on obtiendra $\alpha$ par une division, et $p$ par une multiplication, de telle sorte que l’on a

${\begin{alignedat}{2}\alpha &={\frac {2(l\!-\!z)\cos f.{\sqrt {rr'}}}{\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}&&={\frac {2m^{2}\cos f.{\sqrt {rr'}}}{y^{2}\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}={\frac {k^{2}t^{2}}{4y^{2}rr'\cos ^{2}\!f\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}\\&={\frac {-2(\mathrm {L} \!+\!z)\cos \!f.{\sqrt {rr'}}}{\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}&&={\frac {-2\mathrm {M} ^{2}\!\cos \!f.{\sqrt {rr'}}}{\mathrm {Y} ^{2}\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}={\frac {k^{2}t^{2}}{4\mathrm {Y} ^{2}rr'\cos ^{2}\!\!f\operatorname {tang} ^{2}\!2n}},\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}p&={\frac {\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2(l-z)}}&&={\frac {-\mathrm {Y} ^{2}\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2m^{2}}}=\left({\frac {yrr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2}\\&={\frac {-\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2(\mathrm {L} +z)}}&&={\frac {-\mathrm {Y} ^{2}\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2\mathrm {M} ^{2}}}=\left({\frac {\mathrm {Y} rr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2}.\end{alignedat}}$

La troisième et la sixième expressions de $p,$ qui sont entièrement identiques avec les formules 18, 18^∗, art. 95, montrent que les remarques faites sur la signification des quantités $y$ et $\mathrm {Y} ,$ s’appliquent aussi à l’hyperbole.

En combinant les équations 6, 9, article 99, on déduit

$(r'-r){\sqrt {\frac {e^{2}-1}{rr'}}}=e\sin f.\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\,;$

c’est pourquoi en introduisant $\psi$ et $\omega ,$ et en posant $\mathrm {C} =\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\mathrm {N} ),$ on a