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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

[20]

$\operatorname {tang} 2\mathrm {N} ={\frac {2\sin \psi \operatorname {tang} 2\omega }{\sin f\cos 2\omega }}.$

De là, $\mathrm {C}$ étant déterminé, on aura, pour l’un et l’autre lieu, les valeurs de la quantité exprimée par $u$ dans l’article 21 ; on a ensuite, par l’équation III, article 21,

${\begin{aligned}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v&={\frac {\mathrm {C} -c}{(\mathrm {C} +c)\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\psi }}\\\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v'&={\frac {\mathrm {C} c-1}{(\mathrm {C} c+1)\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\psi }},\end{aligned}}$

ou, en introduisant à la place de $\mathrm {C} ,\,c,$ les angles $\mathrm {N} ,\,n,$

[21]

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\frac {\sin(\mathrm {N} -n)}{\cos(\mathrm {N} +n)\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\psi }},$

[22]

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v'={\frac {\sin(\mathrm {N} +n)}{\cos(\mathrm {N} -n)\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\psi }}.$

Par là seront déterminées les anomalies vraies $v,\,v',$ dont la différence comparée à $2f,$ servira en même temps à confirmer le calcul.

Enfin, par la formule XI, art. 22, on déduira facilement que l’intervalle de temps compris entre le passage au périhélie et l’époque du premier lieu,

$={\frac {\alpha ^{\frac {3}{2}}}{k}}\left[{\frac {2e\cos(\mathrm {N} +n)\sin(\mathrm {N} -n)}{\cos 2\mathrm {N} \cos 2n}}-\operatorname {log\,hyp} {\frac {\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\mathrm {N} )}{\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+n)}}\right],$

et de même, l’intervalle de temps compris entre le passage au périhélie et l’époque du deuxième lieu,

$={\frac {\alpha ^{\frac {3}{2}}}{k}}\!\left[{\frac {2e\cos(\mathrm {N} \!-\!n)\sin(\mathrm {N} \!+\!n)}{\cos 2\mathrm {N} \cos 2n}}-\!\operatorname {log\,hyp} \operatorname {tang} (45^{\circ }\!\!+\!\mathrm {N} )\operatorname {tang} (45^{\circ }\!\!+\!n)\right],$

Si donc, on pose l’époque du premier lieu $=\mathrm {T} -{\frac {1}{2}}t,$ et par suite, l’époque du second $=\mathrm {T} +{\frac {1}{2}}t,$ on aura