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DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

semblables à ceux développés dans l’art. 140, on obtiendra facilement l’équation suivante :

$0=n'{\frac {\sin(z-\sigma )}{\sin z}}.{\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''}}.{\frac {\sin(\mathrm {A''D} -\delta '')}{\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )}}-n''.$

Il sera donc permis de transporter ici tout ce qui a été exposé dans les art. 141, 142, pourvu que l’on pose $a=0,$ et que $b$ soit déterminé par l’équation 12, art. 140, et les quantités $z,$ $r',$ ${\frac {n'r'}{n}},$ ${\frac {n'r'}{n''}}$ seront calculées comme précédemment. Maintenant, aussitôt que $z$ et par suite la position du point $\mathrm {C} '$ seront connues, on pourra assigner la position du grand cercle $\mathrm {CC} ',$ son intersection avec le grand cercle $\mathrm {A''B} '',$ c’est-à-dire le point $\mathrm {C} '',$ et par conséquent les arcs $\mathrm {CC} ',$ $\mathrm {CC} '',$ $\mathrm {C'C} ''$ ou $2f'',$ $2f',$ $2f\,;$ et de là enfin, on aura

${\begin{aligned}r&={\frac {n'r'}{n}}.{\frac {\sin 2f}{\sin 2f'}},&r''&={\frac {n'r'}{n''}}.{\frac {\sin 2f''}{\sin 2f'}}.\end{aligned}}$

II. Tout ce que nous venons de dire pourra s’appliquer au cas dans lequel $\mathrm {B} ''$ coïncide avec $\mathrm {A} ''$ ou avec le point opposé, si l’on change seulement toutes les quantités qui concernent le premier lieu avec celles qui se rapportent au troisième.

III. Mais il est nécessaire de traiter un peu différemment le cas où $\mathrm {B} '$ coïncide avec $\mathrm {A} '$ ou avec le point opposé. Ici le point $\mathrm {C} '$ coïncidera avec le point $\mathrm {A} '\,;$ $\gamma ',$ $\varepsilon ,$ $\varepsilon ''$ et les points $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {D} '',$ $\mathrm {B} ^{\star }$ seront indéterminés ; on pourra au contraire déterminer l’intersection du grand cercle $\mathrm {BB} ''$ avec l’écliptique^[1], dont la longitude est posée $=l'+\pi .$

Par des raisonnements semblables à ceux développés dans l’art. 140, on obtiendra l’équation

$0=n{\frac {\mathrm {R} \sin \delta \sin(\mathrm {A''D} ''-\delta '')}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}}+n'r'{\frac {\sin \pi }{\mathrm {R} ''\sin(l''-l'-\pi )}}+n''.$

Désignons le coefficient de $n,$ qui s’accorde avec $a$ de l’art. 140, par la même lettre $a,$ et le coefficient de $n'r'$ par $\beta \,;$ $a$ peut aussi être ici déterminé par la formule

$a=-{\frac {\mathrm {R} \sin(l'+\pi -l)}{\mathrm {R} ''\sin(l''-l'-\pi )}}.$

1. Plus généralement, avec le grand cercle $\mathrm {AA} ''\,;$ mais pour être plus bref, nous considérons ici le cas seulement dans lequel l’écliptique est pris comme plan fondamental.