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NOTE IX.

des équinoxes. Joignons $\mathrm {K} a,\,\mathrm {S} a$ ($a$ étant la projection sur l’écliptique du point $\mathrm {A}$), joignons aussi $\mathrm {ST}$ et $\mathrm {SA} .$

On peut considérer $a\mathrm {S}$ comme la résultante des deux lignes $\mathrm {SK}$ et $\mathrm {K} a\,;$ en projetant ce système sur la ligne $\mathrm {SH}$ on aura

$a\mathrm {S} .\cos a\mathrm {SH} =\mathrm {R} '\cos(\mathrm {L} '-\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \cos(\lambda -\mathrm {N} ).$

En considérant $a\mathrm {S}$ comme la résultante des deux lignes $\mathrm {S} t$ et $at,$ on aura, en projetant ce système sur la ligne $\mathrm {SH} ,$

$a\mathrm {S} .\cos a\mathrm {SH} =\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\mathrm {L} -\mathrm {N} )+\pi \cos b\cos(l-\mathrm {N} ).$

d’où

$\mathrm {R} '\!\cos(\mathrm {L} '\!\!-\!\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {N} )=\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\mathrm {L} \!-\!\mathrm {N} )+\pi \cos b\cos(l\!-\!\mathrm {N} ).$

Si l’on fait les mêmes projections sur une perpendiculaire à $\mathrm {SH} ,$ on aura

$\mathrm {R} '\!\sin(\mathrm {L} '\!\!-\!\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \sin(\lambda \!-\!\mathrm {N} )=\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \sin(\mathrm {L} \!-\!\mathrm {N} )+\pi \cos b\sin(l\!-\!\mathrm {N} ).$

On trouve enfin, en menant $\mathrm {T} i$ parallèle à $ta,$

$\mathrm {A} a=\mathrm {A} i+ia,$

d’où

$\delta \sin \beta =\pi \sin b+\mathrm {R} \sin \mathrm {B} .$

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Note IX (art. 90 et 100).

Gauss a donné dans le Berliner Astronomische Jahrbuch de 1814, une autre méthode pour calculer $\xi$ et $\zeta .$

On a, dans l’art. 90,

$\xi =x-{\frac {5}{6}}+{\frac {10}{9\mathrm {X} }}={\frac {x\mathrm {X} -{\dfrac {5}{6}}\mathrm {X} +{\dfrac {10}{9}}}{\mathrm {X} }}.$

Si l’on substitue, dans le numérateur de cette fraction, à la place de $\mathrm {X}$ la série

$\mathrm {X} ={\frac {4}{3}}+{\frac {4.6}{3.5}}x+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}x^{2}+{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}x^{3}+\ldots \mathrm {etc.} ,$

on obtient

$x\mathrm {X} -{\frac {5}{6}}\mathrm {X} +{\frac {10}{9}}={\frac {8}{105}}x^{2}\left(1+{\frac {2.8}{9}}x+{\frac {3.8.10}{9.11}}x^{2}+{\frac {4.8.10.12}{9.11.13}}x^{3}+\mathrm {etc.} \!\right),$