Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/50

31

RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

26

Exemple. $e$ et $b$ étant les mêmes que dans l’exemple précédent, soit $t={}$65,41236 ; on demande $v$ et $r.$ En employant les logarithmes de Briggs, nous avons

$\log b..........$	1,8156598
$\log \lambda kb^{-{\frac {3}{2}}}.....$	6,9702758
$\log \mathrm {N} ..........$	8,7889356		d’où $\;\mathrm {N} ={}$0,06108514

On trouve alors qu’on satisfait à l’équation

$\mathrm {N} =\lambda e\operatorname {tang} \mathrm {F} -\operatorname {logtang} \left(45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \right)$

par

$\mathrm {F} =25^{\circ }\,24'\,27''\!,66,$

d’où l’on a, par la formule III,

$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\mathrm {F} ........$	9,3530120
$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\psi ........$	9,5318179
$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v........$	9,8211941	 et par suite ${\tfrac {1}{2}}v={}$	33° 31′ 29,89″
		et $v={}$	67° 02′ 59,78″.

On a ensuite, d’après cela,

C.	$\log \cos {\tfrac {1}{2}}(v+\psi )...$	0,2137476	$\left.{\begin{array}{c}\\\\\end{array}}\right\}$	 différence $........$	0,1992279
C.	$\log \cos {\tfrac {1}{2}}(v-\psi )...$	0,0145197
			$\log \operatorname {tang} (45^{\circ }\!\!\!+\!{\tfrac {1}{2}}\mathrm {F} )...$		0,1992280
	$\log {\frac {p}{2e}}.........$	9,9725868
	$\log r..........$	0,2008541

27

Si l’équation IV est différentiée en traitant $u,$ $v$ et $\psi$ comme variables, on trouve

${\frac {du}{u}}={\frac {\sin \psi \,dv+\sin v\,d\psi }{2\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}={\frac {2\operatorname {tang} \psi }{p}}\,dv+{\frac {r\sin v}{p\cos \psi }}\,d\psi$

En différentiant de même l’équation XI, on obtient la relation