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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

On verrait de même que la première intégrale est une fonction méromorphe de $q$ admettant pour pôles

$q=i\,{\frac {\mathrm {K} }{2}}\quad (\mathrm {K}$ entier positif$)$

avec le résidu

$-i\,\mathrm {B} _{\mathrm {K} }.$

Les pôles de $\theta (q)$ sont donc

$q=\pm i\,{\frac {\mathrm {K} }{2}}$

avec les résidus respectifs

${\frac {\mathrm {B} _{\mathrm {K} }}{2i\pi }},$

quand on prend le signe supérieur et

$-{\frac {\mathrm {A} _{\mathrm {K} }}{2i\pi }},$

quand on prend le signe inférieur.

Reprenons alors la formule (11) et supposons que l’intégrale soit prise le long de la courbe $\mathrm {C} .$

Construisons un cercle $\mathrm {K}$ ayant pour centre l’origine et pour rayon ${\tfrac {2m+1}{4}},$ $m$ étant très grand. Soit $\mathrm {K} _{1}$ la partie de ce cercle qui est située au-dessus de la courbe $\mathrm {C} .$ Soit $\mathrm {C} _{1}$ la partie de la courbe $\mathrm {C}$ qui est intérieure au cercle $\mathrm {K} .$

Les deux arcs $\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {K} _{1}$ formeront un contour fermé et l’intégrale (11), prise le long de ce contour, sera égale à $2i\pi$ multiplié par la somme des résidus relatifs aux pôles intérieurs au contour ; c’est-à-dire à la somme des $m$ premiers termes de la série (15).

On montrerait que l’intégrale (11) prise le long de $\mathrm {K} _{1}$ tend vers zéro quand $m$ croît indéfiniment ; le calcul se ferait sans difficulté, mais il est inutile puisque nous savons d’avance que la série (15) est convergente.

L’intégrale prise le long de $\mathrm {C} _{1}$ tend vers $\psi \,;$ donc $\psi$ est égal à la somme de la série (15).

Nous retrouvons ainsi le développement (14) ainsi que les développements (16) et (16 bis).

Ce qui précède suffira pour faire comprendre comment on peut passer des développements du n^o 226 à ceux du n^o 228.