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CHAPITRE XXXI.

déterminant fonctionnel $\Delta$ de

$\psi _{1},\quad \psi _{2},\quad \psi _{3},\quad \mathrm {F}$

par rapport à

$\beta _{2},\quad \beta _{3},\quad \beta _{4},\quad \tau .$

Ce déterminant s’annule quand les $\beta ,$ $\mu$ et $\tau$ s’annulent ; mais en général les mineurs du premier ordre ne s’annuleront pas.

Considérons en effet les déterminants fonctionnels de $\mathrm {F}$ et de deux des quatre fonctions $\psi ,$ par rapport à $\tau$ et à deux des quatre variables $\beta .$ Peuvent-ils être tous nuls à la fois ?

D’après la théorie des déterminants cela ne pourrait arriver :

1^o Que si tous les mineurs des deux premiers ordres du déterminant des $\psi$ par rapport aux $\beta$ étaient nuls, à la fois, ce qui n’arrive pas en général et ce que nous ne supposerons pas.

2^o Ou si les dérivées de $\mathrm {F}$ étaient toutes nulles à la fois ; nous avons vu au n^o 64 qu’elles devraient l’être tout le long de la solution périodique ; nous ne supposerons pas cela non plus.

3^o Ou enfin si les dérivées des $\psi$ et de $\mathrm {F}$ par rapport à $\tau$ étaient toutes nulles à la fois ; alors les valeurs

$\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=0$

correspondraient non pas à une solution périodique proprement dite, mais à une position d’équilibre (Cf. n^o 68).

Nous ne supposerons pas cela non plus.

Nous pouvons donc toujours supposer que tous les mineurs du premier ordre de $\Delta$ ne sont pas nuls.

Éliminons alors quatre de nos inconnues $\beta$ et $\tau$ entre les équations (1).

Éliminons par exemple $\beta _{1},\,\beta _{3},\,\beta _{4},\,\tau$ il restera une équation de la forme

$\Psi (\beta _{2},\mu )=0\,;$

cette équation étant tout à fait de même forme que l’équation (5) du numéro précédent se traiterait de la même manière et nous arriverions aux mêmes résultats :

1^o Quand des solutions périodiques disparaissent après s’être confondues, il en disparaît toujours un nombre pair et autant de stables que d’instables.

2^o Quand une solution périodique perd ou acquiert la stabilité